考點(diǎn)測試34　二元一次不等式組與簡單的線性規(guī)劃 高考概覽 考綱研讀 1.會(huì)從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組 2．了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組 3．會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決 一、基礎(chǔ)小題 1．不等式y(tǒng)(x＋y－2)≥0在平面直角坐標(biāo)系中表示的區(qū)域(用陰影部分表示)是(　　) 答案　C 解析　由y(x＋y－2)≥0，得或 所以不等式y(tǒng)(x＋y－2)≥0在平面直角坐標(biāo)系中表示的區(qū)域是C項(xiàng)． 2.已知點(diǎn)A(－3，－1)與點(diǎn)B(4，－6)在直線3x－2y－a＝0的兩側(cè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－24，7) B．(－7，24) C．(－∞，－24)∪(7，＋∞) D．(－∞，－7)∪(24，＋∞) 答案　B 解析　(－9＋2－a)(12＋12－a)＜0，所以－7＜a＜24.故選B. 3．若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組則該約束條件所圍成的平面區(qū)域的面積是(　　) A．3 B. C．2 D．2 答案　C 解析　因?yàn)橹本€x－y＝－1與x＋y＝1互相垂直，所以如圖所示的可行域?yàn)橹苯侨切?，易得A(0，1)，B(1，0)，C(2，3)，故|AB|＝，|AC|＝2，所以其面積為|AB||AC|＝2. 4．若變量x，y滿足約束條件則3x＋2y的最大值是(　　) A．0 B．2 C．5 D．6 答案　C 解析　作不等式組的可行域，如圖： 令z＝3x＋2y，則y＝－x＋表示一系列平行于y＝－x的直線，并且表示該直線的縱截距．顯然，把直線y＝－x平移至點(diǎn)A處，z最大．由得A(1，1)．所以zmax＝3x＋2y＝3＋2＝5.故選C. 5．已知點(diǎn)(a，b)是平面區(qū)域內(nèi)的任意一點(diǎn)，則3a－b的最小值為(　　) A．－3 B．－2 C．－1 D．0 答案　B 解析　根據(jù)題意可知(a，b)在如圖陰影中，設(shè)z＝3a－b.則b＝3a－z，所以－z可以理解為y＝3x＋t中的縱截距t.因而當(dāng)y＝3x＋t過點(diǎn)(0，2)時(shí)，t最大為2.即－z最大為2，所以z最小為－2. 6．若x，y滿足約束條件則z＝x＋3y的取值范圍是(　　) A．(－∞，2] B．[2，3] C．[3，＋∞) D．[2，＋∞) 答案　D 解析　作不等式組表示的平面區(qū)域，如圖． 平移直線x＋3y＝0到點(diǎn)A時(shí)，z取得最小值， 由解得點(diǎn)A，，所以zmin＝＋＝2，無最大值．故選D. 7．在如圖所示的平面區(qū)域內(nèi)有A(5，3)，B(1，1)，C(1，5)三點(diǎn)，若使目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋y(a>0)取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個(gè)，則實(shí)數(shù)a的值是(　　) A. B. C．2 D. 答案　B 解析　由題意知，當(dāng)z＝ax＋y與直線AC重合時(shí)最優(yōu)解有無窮多個(gè)．因?yàn)閗AC＝－，所以－a＝－，即a＝.故選B. 8．已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件則|y－x|的最大值是(　　) A．2 B. C．4 D．3 答案　D 解析　 畫出不等式組表示的平面區(qū)域(如圖)，計(jì)算得A(1，2)，B(4，1)，當(dāng)直線z＝x－y過點(diǎn)A時(shí)zmin＝－1，過點(diǎn)B時(shí)zmax＝3，則－1≤x－y≤3，則|y－x|≤3. 9．不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案　C 解析　由不等式2x＋y<6，得y<6－2x，且x>0，y>0，則當(dāng)x＝1時(shí)，0<y<4，則y＝1，2，3，此時(shí)整點(diǎn)有(1，1)，(1，2)，(1，3)；當(dāng)x＝2時(shí)，0<y<2，則y＝1，此時(shí)整點(diǎn)有(2，1)；當(dāng)x＝3時(shí)，y無解．故平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為4.故選C. 10．某蔬菜收購點(diǎn)租用車輛，將100噸新鮮黃瓜運(yùn)往某市銷售，可供租用的卡車和農(nóng)用車分別為10輛和20輛．若每輛卡車載重8噸，運(yùn)費(fèi)960元，每輛農(nóng)用車載重2.5噸，運(yùn)費(fèi)360元，則蔬菜收購點(diǎn)運(yùn)完全部黃瓜支出的最低運(yùn)費(fèi)為(　　) A．11280元 B．12480元 C．10280元 D．11480元 答案　B 解析　設(shè)租用的卡車和農(nóng)用車分別為x輛和y輛，運(yùn)完全部黃瓜支出的運(yùn)費(fèi)為z元，則目標(biāo)函數(shù)z＝960x＋360y，此不等式組表示的可行域是△ABC(其中A(10，8)，B(10，20)，C(6.25，20))內(nèi)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)．當(dāng)直線l：z＝960x＋360y經(jīng)過點(diǎn)A(10，8)時(shí)，運(yùn)費(fèi)最低，且其最低運(yùn)費(fèi)zmin＝96010＋3608＝12480(元)，選B. 11．設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈，若在區(qū)域D上存在函數(shù)y＝logax(a>1)的圖象上的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(3，＋∞) B．(1，3) C．[3，＋∞) D．(1，3] 答案　C 解析　作不等式組表示的平面區(qū)域D，如圖中陰影部分所示． 由解得點(diǎn)A(3，1)．由a>1，對數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過可行域，此時(shí)滿足loga3≤1，解得a≥3，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[3，＋∞)，故選C. 12．已知實(shí)數(shù)x，y滿足則w＝x2＋y2－4x－4y＋8的最小值為________． 答案　 解析　 目標(biāo)函數(shù)w＝x2＋y2－4x－4y＋8＝(x－2)2＋(y－2)2，其幾何意義是點(diǎn)(2，2)與可行域內(nèi)的點(diǎn)的距離的平方．由實(shí)數(shù)x，y所滿足的不等式組作出可行域如圖中陰影部分所示，由圖可知，點(diǎn)(2，2)到直線x＋y－1＝0的距離為其到可行域內(nèi)點(diǎn)的距離的最小值，又＝，所以wmin＝. 二、高考小題 13．(2018天津高考)設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z＝3x＋5y的最大值為(　　) A．6 B．19 C．21 D．45 答案　C 解析　 由變量x，y滿足的約束條件畫出可行域(如圖中陰影部分所示)．作出基本直線l0：3x＋5y＝0，平移直線l0，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A(2，3)時(shí)，z取最大值，即zmax＝32＋53＝21.故選C. 14．(2018全國卷Ⅱ)若x，y滿足約束條件 則z＝x＋y的最大值為________． 答案　9 解析　不等式組表示的可行域是以A(5，4)，B(1，2)，C(5，0)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，如圖所示，由圖可知目標(biāo)函數(shù)z＝x＋y的最大值在頂點(diǎn)A處取得，即當(dāng)x＝5，y＝4時(shí)，zmax＝9. 15．(2018全國卷Ⅰ)若x，y滿足約束條件 則z＝3x＋2y的最大值為________． 答案　6 解析　根據(jù)題中所給的約束條件，畫出其對應(yīng)的可行域，如圖所示： 由z＝3x＋2y可得y＝－x＋z，畫出直線y＝－x，將其上下移動(dòng)，結(jié)合的幾何意義，可知當(dāng)直線過點(diǎn)B時(shí)，z取得最大值，由解得B(2，0)，此時(shí)zmax＝32＋0＝6. 16．(2018全國卷Ⅲ)若變量x，y滿足約束條件則z＝x＋y的最大值是________． 答案　3 解析　作出可行域如圖陰影部分． 由圖可知目標(biāo)函數(shù)在直線x－2y＋4＝0與x＝2的交點(diǎn)(2，3)處取得最大值3. 17．(2018浙江高考)若x，y滿足約束條件則z＝x＋3y的最小值是________，最大值是________． 答案　－2　8 解析　由約束條件得可行域是以A(1，1)，B(2，2)，C(4，－2)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域(含邊界)，如圖．當(dāng)直線y＝－x＋過點(diǎn)C(4，－2)時(shí)，z＝x＋3y取得最小值－2，過點(diǎn)B(2，2)時(shí)，z＝x＋3y取得最大值8. 18．(2018北京高考)若x，y滿足x＋1≤y≤2x，則2y－x的最小值是________． 答案　3 解析　由x＋1≤y≤2x作出可行域，如圖中陰影部分所示．設(shè)z＝2y－x，則y＝x＋z，當(dāng)直線y＝x＋z過A(1，2)時(shí)，z取得最小值3. 三、模擬小題 19．(2018山西太原模擬)已知實(shí)數(shù)x，y滿足 則z＝2x－2y－1的取值范圍是(　　) A.，5 B．[0，5] C.，5 D．－，5 答案　D 解析　作出不等式組表示的可行域，如圖陰影部分所示，可知2－2－1≤z<22－2(－1)－1，即z的取值范圍是－，5. 20．(2018南昌一模)設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镸，若直線y＝kx經(jīng)過區(qū)域M內(nèi)的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為(　　) A.，2 B.， C.，2 D.，2 答案　C 解析　作不等式組表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示： 由得A(1，2)，由得B(2，1)，平面區(qū)域M即為圖中陰影部分△ABC，直線y＝kx經(jīng)過區(qū)域M內(nèi)的點(diǎn)A時(shí)，k＝2，直線y＝kx經(jīng)過區(qū)域M內(nèi)的點(diǎn)B時(shí)，k＝，故≤k≤2，故選C. 21．(2018長沙統(tǒng)考)已知x，y滿足約束條件若z＝ax＋y的最大值為4，則a＝(　　) A．2 B. C．－2 D．－ 答案　A 解析　 作不等式組表示的平面區(qū)域如圖．當(dāng)直線l：y＝－ax＋z經(jīng)過△AOB區(qū)域時(shí)，l在y軸上的最大截距為4，則點(diǎn)B(2，0)為最優(yōu)解，所以z＝2a＝4，即a＝2，故選A. 22．(2018太原模擬)已知不等式ax－2by≤2在平面區(qū)域{(x，y)||x|≤1且|y|≤1}上恒成立，則動(dòng)點(diǎn)P(a，b)所形成平面區(qū)域的面積為(　　) A．4 B．8 C．16 D．32 答案　A 解析　作平面區(qū)域{(x，y)||x|≤1且|y|≤1}，如圖1所示．該平面區(qū)域表示正方形ABCD內(nèi)部(含邊界)．令z＝ax－2by，因?yàn)閍x－2by≤2恒成立，則函數(shù)z＝ax－2by在該平面區(qū)域要求的條件下，zmax＝2恒成立．當(dāng)直線ax－2by－z＝0過點(diǎn)A(－1，1)或B(1，1)或C(1，－1)或D(－1，－1)時(shí)，有 再作該不等式組表示的可行域，即菱形EFGH內(nèi)部(含邊界)．如圖2所示．其中H(－2，0)，F(xiàn)(2，0)，E(0，1)，G(0，－1)，所以動(dòng)點(diǎn)P(a，b)所形成平面區(qū)域的面積為42＝4.故選A. 23．(2018湖北八市聯(lián)考)已知x，y滿足若z＝x＋2y有最大值4，則實(shí)數(shù)m的值為(　　) A．－4 B．－2 C．－1 D．1 答案　B 解析　可行域所表示區(qū)域?yàn)槿龡l直線所封閉的三角形區(qū)域(含邊界)，如圖陰影部分所示．依題意，有直線y＝－x＋的縱截距有最大值2，則結(jié)合圖形可知需滿足直線2x－y＝m過點(diǎn)(0，2)，從而m＝20－2＝－2，故選B. 24．(2018河北石家莊質(zhì)檢)在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組(r為常數(shù))表示的平面區(qū)域的面積為π，若x，y滿足上述約束條件，則z＝的最小值為(　　) A．－1 B．－ C. D．－ 答案　D 解析　作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示，由題意知πr2＝π，解得r＝2.z＝＝1＋，易知表示可行域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)P(－3，2)的連線的斜率，由圖可知當(dāng)點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)P的連線與圓x2＋y2＝r2相切時(shí)斜率最?。O(shè)切線方程為y－2＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＋2＝0，則有＝2，解得k＝－或k＝0(舍)，所以zmin＝1－＝－.故選D. 25．(2018河北石家莊質(zhì)檢)設(shè)變量x，y滿足約束條件則的最大值為________． 答案　3 解析　題設(shè)中的約束條件如圖中陰影部分所表示的區(qū)域，則表示可行域內(nèi)點(diǎn)P(x，y)與B(0，－1)的連線的斜率，由圖知，當(dāng)P位于A(1，2)時(shí)，取得最大值＝3. 26．(2018福州模擬)某工廠制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工兩個(gè)工種，已知生產(chǎn)一把椅子需要木工4個(gè)工作時(shí)，漆工2個(gè)工作時(shí)；生產(chǎn)一張桌子需要木工8個(gè)工作時(shí)，漆工1個(gè)工作時(shí)．生產(chǎn)一把椅子的利潤為1500元，生產(chǎn)一張桌子的利潤為2000元，該廠每個(gè)月木工最多完成8000個(gè)工作時(shí)，漆工最多完成1300個(gè)工作時(shí)，根據(jù)以上條件，該廠安排生產(chǎn)每個(gè)月所能獲得的最大利潤是________元． 答案　2100000 解析　依題意，設(shè)每個(gè)月生產(chǎn)x把椅子、y張桌子，那么利潤t＝1500x＋2000y.其中x，y滿足約束條件可行域如圖中陰影部分所示，對于不同的t值，t＝1500x＋2000y表示一組斜率為－的平行線，且t越大，相應(yīng)的直線位置越高；t越小，相應(yīng)的直線位置越低．依題意，要求t的最大值，需把直線t＝1500x＋2000y盡量地往上平移，又考慮到x，y的允許范圍，顯然當(dāng)直線通過點(diǎn)B時(shí)，處在這組平行線的最高位置，此時(shí)t取最大值．由得點(diǎn)B(200，900)，從而tmax＝1500200＋2000900＝2100000(元)，即生產(chǎn)200把椅子、900張桌子可獲得最大利潤2100000元． 一、高考大題 1．(2017天津高考)電視臺(tái)播放甲、乙兩套連續(xù)劇，每次播放連續(xù)劇時(shí)，需要播放廣告．已知每次播放甲、乙兩套連續(xù)劇時(shí)，連續(xù)劇播放時(shí)長、廣告播放時(shí)長、收視人次如下表所示： 連續(xù)劇播放時(shí)長(分鐘) 廣告播放時(shí)長(分鐘) 收視人次(萬) 甲 70 5 60 乙 60 5 25 已知電視臺(tái)每周安排的甲、乙連續(xù)劇的總播放時(shí)間不多于600分鐘，廣告的總播放時(shí)間不少于30分鐘，且甲連續(xù)劇播放的次數(shù)不多于乙連續(xù)劇播放次數(shù)的2倍．分別用x，y表示每周計(jì)劃播出的甲、乙兩套連續(xù)劇的次數(shù)． (1)用x，y列出滿足題目條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域； (2)問電視臺(tái)每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇各多少次，才能使總收視人次最多？ 解　(1)由已知，x，y滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為 即 該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)閳D①中的陰影部分中的整數(shù)點(diǎn)． (2)設(shè)總收視人次為z萬，則目標(biāo)函數(shù)為z＝60x＋25y. 考慮z＝60x＋25y，將它變形為y＝－x＋，這是斜率為－，隨z變化的一族平行直線.為直線在y軸上的截距，當(dāng)取得最大值時(shí)，z的值就最大． 又因?yàn)閤，y滿足約束條件，所以由圖②可知，當(dāng)直線z＝60x＋25y經(jīng)過可行域上的點(diǎn)M時(shí)，截距最大，即z最大．解方程組得則點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6，3)．所以，電視臺(tái)每周播出甲連續(xù)劇6次、乙連續(xù)劇3次時(shí)，才能使總收視人次最多． 二、模擬大題 2．(2018廣東佛山月考)若x，y滿足約束條件 (1)求目標(biāo)函數(shù)z＝x－y＋的最值； (2)若目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋2y僅在點(diǎn)(1，0)處取得最小值，求a的取值范圍． 解　(1)作出可行域如圖，可求得A(3，4)，B(0，1)，C(1，0)． 平移初始直線x－y＝0，過A(3，4)取最小值－2，過C(1，0)取最大值1.∴z的最大值為1，最小值為－2. (2)直線ax＋2y＝z僅在點(diǎn)(1，0)處取得最小值，由圖象可知－1<－<2，解得－4<a<2.故所求a的取值范圍是(－4，2)． 3．(2018福建泉州質(zhì)檢)畫出不等式組表示的平面區(qū)域，并回答下列問題： (1)指出x，y的取值范圍； (2)平面區(qū)域內(nèi)有多少個(gè)整點(diǎn)？ 解　(1)不等式x－y＋5≥0表示直線x－y＋5＝0上及右下方的點(diǎn)的集合．x＋y≥0表示直線x＋y＝0上及右上方的點(diǎn)的集合，x≤3表示直線x＝3上及左方的點(diǎn)的集合． 所以，不等式組 表示的平面區(qū)域如圖所示． 結(jié)合圖中可行域得 x∈，y∈[－3，8]． (2)由圖形及不等式組知 當(dāng)x＝3時(shí)，－3≤y≤8，有12個(gè)整點(diǎn)； 當(dāng)x＝2時(shí)，－2≤y≤7，有10個(gè)整點(diǎn)； 當(dāng)x＝1時(shí)，－1≤y≤6，有8個(gè)整點(diǎn)； 當(dāng)x＝0時(shí)，0≤y≤5，有6個(gè)整點(diǎn)； 當(dāng)x＝－1時(shí)，1≤y≤4，有4個(gè)整點(diǎn)； 當(dāng)x＝－2時(shí)，2≤y≤3，有2個(gè)整點(diǎn)． 所以平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(個(gè))．