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1 1函數(shù)1 2極限的概念1 3極限的運(yùn)算1 4函數(shù)的連續(xù)性 第1章函數(shù)極限與連續(xù) 結(jié)束 集合的概念1 集合的定義具有某種屬性的事物總體稱為一個(gè)集合 一般以大寫字母A B C 表示 集合中的每個(gè)個(gè)體都是集合中的元素 一般以小寫字母a b c 表示 集合和集合中元素a的關(guān)系是屬于的關(guān)系 記作a A 讀作 a屬于A 2 集合的表示法 1 列舉法把集合中所有元素列在一個(gè)大括號(hào)內(nèi) 例A 1 3 5 7 9 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 描述法用集合中元素所滿足的條件P a 來描述集合 例A x x 2n n為整數(shù) B x 3 x 4 C x x 5x 6 0 集合C也可以用列舉法來表示C 2 3 而集合B就不能用列舉法來表示 因?yàn)閷?shí)數(shù)是處處稠密的 它們無法窮舉的 3 集合及集合間的關(guān)系 1 全集 所考慮的對(duì)象全體 通常記作U 2 子集 集合中一部分元素所構(gòu)成的集合 子集和全集是相對(duì)的概念 3 空集 沒有任何元素的集合 記作 4 包含關(guān)系 集合A中元素都是集合B中的元素 則稱 集合A包含于集合B 記作A B 或稱 集合B包含集合A 記作B A 例A 1 3 5 B 1 2 3 4 5 則A B 即A是B的子集 5 相等 若A B 且B A 則A B 稱相等 6 真子集 若A B 且A B 則稱A是B的真子集 記作A B 空集是任何集合的真子集 即 A 4 集合的運(yùn)算 1 集合的并 集合A和集合B中所有的元素組成的集合 稱為集合A和集合B的并集 記作A B 例A 1 3 5 B 2 4 6 則A B 1 2 3 4 5 6 2 集合的交 集合A和集合B中公共的元素所組成的集合 稱為集合A與集合B的交集 記作A B 3 集合的差集 屬于A但不屬于B的元素組成的集合 稱為A與B的差集 記作A B 例A 1 2 3 B 2 4 6 則A B 1 3 B A 4 6 例A 0 1 2 B 1 2 則A B 0 4 集合的補(bǔ)集 全集U中不屬于集合A的元素組成的集合 稱為A的補(bǔ)集 記作A 例R 實(shí)數(shù)全體 P 有理數(shù)全體 Q 無理數(shù)全體 則P Q Q P P Q R 例U 1 2 3 4 10 A 2 5 則A 1 3 4 6 7 8 9 10 5 集合的運(yùn)算性質(zhì) 1 補(bǔ)的性質(zhì)A A U A A A A 2 交換律A B B A A B B A 3 結(jié)合律 A B C A B C A B C A B C 4 分配律 A B C A C U B C A B C A C B C 5 摩根律 A B A B A B A B 6 區(qū)間 鄰域區(qū)間 設(shè)a b是實(shí)數(shù) 且a b 則集合 x a x b 稱為閉區(qū)間 記作 a b x a x b 稱為左開右閉區(qū)間 記作 a b x a x b 稱為左閉右開區(qū)間 記作 a b x a x 稱為右無窮區(qū)間 記作 a x x a 稱為左無窮區(qū)間 記作 a R x x 稱為無窮區(qū)間 記作 絕對(duì)值 設(shè)a是實(shí)數(shù) 則 a 例 x 3 3 x 3 它們不同于 x x 3 鄰域 設(shè) 0 集合 x x x 稱為以x 為心的 鄰域 記作 x 即 x x x 設(shè) 0 集合 x 0 x x 稱為以x 為心的去心 鄰域 注意 集合和關(guān)系是不同的兩個(gè)概念 當(dāng)自變量x取數(shù)值時(shí) 與對(duì)應(yīng)的因變量y的值稱為函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值 記為或 當(dāng)x取遍D內(nèi)的各個(gè)數(shù)值時(shí) 對(duì)應(yīng)的變量y取值的全體組成 定義1設(shè)x與y是兩個(gè)變量 若當(dāng)變量x在非空數(shù)集D內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值時(shí) 變量x按照某種對(duì)應(yīng)法則f總有一個(gè)確定的數(shù)值y與之對(duì)應(yīng) 則稱變量y為變量x的函數(shù) 記作 稱D為該函數(shù)的定義域 記為D 稱x為自變量 稱y為因變量 1 1 1函數(shù)的概念 數(shù)集稱做這個(gè)函數(shù)的值域 記為Z 1 1函數(shù) 1 1 2函數(shù)的表示法 例1已知某商品的總成本函數(shù)為 例2某工廠全年1 6月原材料進(jìn)貨數(shù)量如下表 這里表達(dá)的是時(shí)間和原材料進(jìn)貨數(shù)量之間的關(guān)系 1 解析法用數(shù)學(xué)公式表示自變量和因變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系 是函數(shù)的公式表示法 如例1是用公式法表示函數(shù) 2 表格法自變量x與因變量y的一些對(duì)應(yīng)值用表格列出 3 圖示法用函數(shù)y f x 的圖形給出自變量x與因變量y 之間的關(guān)系 例3需求函數(shù)與供給函數(shù) 如圖 P表示商品價(jià)格 Q表示需求量 供給量 E點(diǎn)為需求和供給平衡點(diǎn) 說明三種表示法各有所長 缺一不可 如三角函數(shù) 三角函數(shù)表 三角函數(shù)圖像 都是表示三角函數(shù) 可以相互補(bǔ)充 例4求函數(shù)的定義域 1 函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則是函數(shù)的兩個(gè)主要要素 注 2 如果兩個(gè)函數(shù)具有相同的定義域和對(duì)應(yīng)法則 則它們是相同的函數(shù) 4 在研究由公式表達(dá)的函數(shù)時(shí) 我們約定 函數(shù)的定義域是使函數(shù)表達(dá)式有意義的自變量的一切實(shí)數(shù)值所組成的數(shù)集 3 在實(shí)際問題中 函數(shù)的定義域是由實(shí)際意義確定的 解當(dāng)分母時(shí) 此函數(shù)式都有意義 因此函數(shù)的定義域?yàn)?例5求函數(shù)的定義域 所以函數(shù)的定義域?yàn)?解要使函數(shù)y有定義 必須使 這兩個(gè)不等式的公共解為 解當(dāng)時(shí) 函數(shù) 設(shè)有函數(shù) 問它們是否為同一個(gè)函數(shù) 例6 由于與的定義域不同 所以它們不是同一個(gè)函數(shù) 但是的定義域 而在點(diǎn)無定義其定義域?yàn)?在實(shí)際問題中 有時(shí)會(huì)遇到一個(gè)函數(shù)在定義域的不同范圍內(nèi) 用不同的解析式表示的情形 這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù) 例如符號(hào)函數(shù) 是一個(gè)分段函數(shù) 它的定義域?yàn)?分段函數(shù)是用幾個(gè)公式合起來表示一個(gè)函數(shù) 而不是表示幾個(gè)函數(shù) f x 的定義域是 0 2 例7 當(dāng)時(shí) 當(dāng)時(shí) 1 1 3復(fù)合函數(shù) 并稱x為自變量 稱u為中間變量 定義域改變 例8分析函數(shù)是由哪幾個(gè)函數(shù)復(fù)合而成 解 復(fù)合而成 并易知其定義域?yàn)?定義設(shè)y是u的函數(shù) y f u u U 而u是x的函數(shù) 并且Z D f 則y通過u的聯(lián)系也是x的函數(shù) 稱此函數(shù)是由y f u 及u x 復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù) 記作 例9求由函數(shù)組成的復(fù)合函數(shù)并求其定義域 解由于的定義域?yàn)榕cu 3x 1的值域有公共部分 由于必須 從而 故復(fù)合函數(shù)的定義域是 所以由它們可以組成復(fù)合函數(shù) 例10設(shè) 解 1 冪函數(shù) 冪函數(shù)的定義域隨的不同而不同 1 基本初等函數(shù) 是常數(shù) 補(bǔ)圖形 當(dāng)為無理數(shù)時(shí) 規(guī)定的定義域?yàn)?指數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)?當(dāng)a 1時(shí) 它嚴(yán)格單調(diào)增加 當(dāng)0 a 1時(shí) 它嚴(yán)格單調(diào)減少 對(duì)于任何的a 的值域都是 函數(shù)的圖形都過 0 1 點(diǎn) 對(duì)數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù) 它的定義域?yàn)?當(dāng)a 1時(shí) 它嚴(yán)格單調(diào)增加 當(dāng)0 a 1時(shí) 它嚴(yán)格單調(diào)減少 對(duì)于任何限定的a 的值域都是 函數(shù)的圖形都過 1 0 點(diǎn) 2 指數(shù)函數(shù)是常數(shù) 補(bǔ)圖形 在高等數(shù)學(xué)中 常用到以e為底的指數(shù)函數(shù)和以e為底的對(duì)數(shù)函數(shù) 記作lnx lnx稱為自然對(duì)數(shù) 這里e 2 7182818 是一個(gè)無理數(shù) 4 三角函數(shù) 常用的三角函數(shù)有 正弦函數(shù)y sinx 余弦函數(shù)y cosx y sinx與y cosx的定義域均為 它們都是以為周期的函數(shù) 都是有界函數(shù) 其它圖形 數(shù) 并且在開區(qū)間內(nèi)都是無界函數(shù) 正切函數(shù)y tanx 余切函數(shù)y cotx tanx與cotx是以為周期的周期函數(shù) 并且在其定義域內(nèi)是無界函數(shù) sinx tanx及cotx是奇函數(shù) cosx是偶函數(shù) 此外還有正割函數(shù)y secx 余割函數(shù)y cscx 其中 它們都是以為周期的函 5 反三角函數(shù) 補(bǔ)圖形 三角函數(shù)y sinx y cosx y tanx和y cotx的反函數(shù)都是多值函數(shù) 我們按下列區(qū)間取其一個(gè)單值分支 稱為主值分支 分別記作 反正弦函數(shù) 反余弦函數(shù) 反正切函數(shù) 反余切函數(shù) 2初等函數(shù) 定義由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算或經(jīng)過有限次復(fù)合運(yùn)算所構(gòu)成 并可用一個(gè)式子表示的函數(shù) 稱為初等函數(shù) 初等函數(shù)都可以用一個(gè)公式表示 大部分分段函數(shù)不是初等函數(shù) 是非初等函數(shù) 定義3設(shè)函數(shù)y f x 是定義在Df上的一個(gè)函數(shù) 其值域?yàn)閆f 對(duì)任意y Zf 如果有唯一確定的滿足y f x 的x Df與之對(duì)應(yīng) 則得到一個(gè)定義在Zf上以y為自變量的函數(shù) 我們稱它為函數(shù)y f x 的反函數(shù) 記作 1 1 5反函數(shù)與隱函數(shù) 1反函數(shù) 習(xí)慣上 常用x來表示自變量 y表示因變量 所以我們可以將反函數(shù)改寫成 在直角坐標(biāo)系中的圖形與y f x 的圖形是 關(guān)于直線y x對(duì)稱的 例11設(shè)函數(shù)y 2x 3 求它的反函數(shù)并畫出圖形 解 于是得反函數(shù) 變量之間的函數(shù)關(guān)系 是由某個(gè)二元方程給出的 這樣的函數(shù)稱為隱函數(shù) 例有些隱函數(shù)可以改寫成顯函數(shù)的形式 而有些隱函數(shù)不能改寫成顯函數(shù)的形式 把隱函數(shù)改寫成顯函數(shù)叫做 隱函數(shù)的顯化 2隱函數(shù) 1奇偶性 補(bǔ)奇偶積性質(zhì) 設(shè)函數(shù)y f x 的定義域D是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的 即當(dāng)時(shí) 有 則稱f x 為偶函數(shù) 偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對(duì)稱 如果對(duì)于任意的 均有 則稱函數(shù)f x 為奇函數(shù) 奇函數(shù)的圖形關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱 如果對(duì)任意的 均有 1 1 6函數(shù)的基本性質(zhì) 例12討論下列函數(shù)的奇偶性 解 設(shè)函數(shù)y f x 如果存在正常數(shù)T 使得對(duì)于定義域內(nèi)的任何x均有f x T f x 成立 則稱函數(shù)y f x 為 顯然 若T是周期函數(shù)f x 的周期 則kT也是f x 的周期 k 1 2 3 通常我們說的周期函數(shù)的周期就是指最小正周期 2周期性 周期函數(shù) T為f x 的周期 例如 函數(shù)y sinx及y cosx都是以為周期的周期函數(shù) 函數(shù)y tanx及y cotx都是以為周期的周期函數(shù) 解設(shè)所求的周期為T 由于 例13 求函數(shù)的周期 其中為常數(shù) 并注意到的周期為 只需 使上式成立的最小正數(shù)為 所以函數(shù)的周期為 3單調(diào)性 設(shè)函數(shù)y f x 在區(qū)間I上有定義 即 是函數(shù)y f x 的定義域或者是定義域的一部分 如果對(duì)于任意的 當(dāng)時(shí) 均有 則稱函數(shù)y f x 在區(qū)間 上單調(diào)增加 或單調(diào)減少 單調(diào)增加 或單調(diào)減少 的函數(shù)又稱為單調(diào)遞增 單調(diào)遞減 函數(shù) 統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù) 使函數(shù)保持單調(diào)性的自變量的取值區(qū)間稱為該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 函數(shù)內(nèi)是單調(diào)減少的 在區(qū)間上是單調(diào)增加的 而在區(qū)間內(nèi)則不是單調(diào)函數(shù) 單調(diào)增加的函數(shù)的圖形是沿x軸正向上升的 單調(diào)減少的函數(shù)的圖形是沿x軸正向下降的 例如 函數(shù)內(nèi)是單調(diào)增加的 4有界性 設(shè)函數(shù)y f x 的定義域?yàn)镈 數(shù)集 如果存在正數(shù)M 使得對(duì)于任意的 都有不等式 成立 則稱f x 在X上有界 如果這樣的M不存在 就稱函數(shù)f x 在X上無界 如果M為f x 的一個(gè)界 易知比M大的任何一個(gè)正數(shù)都是f x 的界 如果f x 在x上無界 那么對(duì)于任意一個(gè)給定的正數(shù)M X中總有相應(yīng)的點(diǎn) 使 當(dāng)函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 上有界時(shí) 函數(shù)y f x 的圖形恰好位于直線y M和y 之間 這里取 1 函數(shù)y sinx的圖形位于直線y 1與y 1之間 例如 函數(shù)f x sinx在內(nèi)是有界的 這是因?yàn)閷?duì)于任意的 都有成立 應(yīng)該注意 函數(shù)的有界性 不僅僅要注意函數(shù)的特點(diǎn) 還要注意自變量的變化范圍 例如 函數(shù)在區(qū)間 1 2 內(nèi)是有界的 事實(shí)上 若取 1 則對(duì)于任何 而在區(qū)間 0 1 內(nèi)是無界的 1 1 7函數(shù)關(guān)系的建立 例14某運(yùn)輸公司規(guī)定貨物的噸千米運(yùn)價(jià)為 在千米以內(nèi) 每千米k元 超過千米 超過部分每千米元 求運(yùn)價(jià)P和運(yùn)送里程s之間的函數(shù)關(guān)系 解根據(jù)題意可列出函數(shù)關(guān)系如下 這里運(yùn)價(jià)P和運(yùn)送里程s之間的函數(shù)關(guān)系是用分段函數(shù)表示的 總成本函數(shù) 平均成本函數(shù) 1總成本函數(shù)某商品的總成本是指生產(chǎn)一定數(shù)量的產(chǎn)品所需的全部經(jīng)濟(jì)資源投入 勞力 原料 設(shè)備等 的價(jià)格或費(fèi)用總額 它由固定成本與可變成本組成 平均成本是生產(chǎn)一定數(shù)量的產(chǎn)品 平均每單位產(chǎn)品的成本 在生產(chǎn)技術(shù)水平和生產(chǎn)要素的價(jià)格固定不變的條件下 產(chǎn)品的總成本與平均成本都是產(chǎn)量的函數(shù) 1 1 8常見的經(jīng)濟(jì)函數(shù) 2總收益函數(shù)總收益是生產(chǎn)者出售一定量產(chǎn)品所得到的全部收入 是銷售量的函數(shù) 設(shè)p為商品價(jià)格 為Q銷售量 為總收益 則有 總收益函數(shù) 平均收益函數(shù) 3總利潤函數(shù)設(shè)某商品的成本函數(shù)為C 銷售收益函數(shù)R為 則銷售某商品個(gè)單位時(shí)的總利潤函數(shù)為 例15已知某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為求當(dāng)生產(chǎn)100個(gè)該種產(chǎn)品時(shí)的總成本和平均成本 平均成本為 解由題意 產(chǎn)量為100時(shí)的總成本函數(shù)為 1數(shù)列的概念 定義1自變量為正整數(shù)的函數(shù) 將其函數(shù)值按自變量n由小到大排成一列數(shù) 稱為數(shù)列 將其簡記為 稱為數(shù)列的通項(xiàng)或一般項(xiàng) 1 2 1數(shù)列的極限 1 2極限的概念 1 3 4 2 即 數(shù)列 數(shù)列 數(shù)列 2 數(shù)列的極限 數(shù)列 1 當(dāng)n無限增大時(shí) 無限趨近于0 即數(shù)列 1 以0為它的變化趨向 數(shù)列 2 當(dāng)n無限增大時(shí) un 無限趨近于常數(shù)1 即數(shù)列 2 以1為它的變化趨向 數(shù)列 3 當(dāng)n無限增大時(shí) 其奇數(shù)項(xiàng)為1 偶數(shù)項(xiàng)為 1 隨著n的增大 它的通項(xiàng)在 1 1之間變動(dòng) 所以當(dāng)n無限增大時(shí) 沒有確定的變化趨向 數(shù)列 4 當(dāng)n無限增大時(shí) un也無限增大 定義2如果當(dāng)n無限地增大時(shí) 通項(xiàng)un無限地趨向于某個(gè)確定的常數(shù)a 則說當(dāng)n趨于無窮大時(shí) un以a為極限 記成 但是 像數(shù)列等 當(dāng)n越來越大時(shí) 它們各自是否有確定的變化趨勢(shì) 如果有 極限是什么 直觀上可以看出 單調(diào)增加或單調(diào)減少的數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列 成立 則稱數(shù)列是單調(diào)減少的 若有 3 單調(diào)數(shù)列與有界數(shù)列 數(shù)列 2 4 是單調(diào)增加的 數(shù)列 1 單調(diào)減少的 對(duì)于數(shù)列 若有 成立 則稱數(shù)列是單調(diào)增加的 對(duì)于數(shù)列 若存在正數(shù)M 使得對(duì)于一切的n都有 成立 則稱數(shù)列是有界的 否則稱是無界的 容易驗(yàn)證數(shù)列 1 2 3 是有界的 而數(shù)列 4 是無界的 無界數(shù)列一定是發(fā)散的 注意數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件 但不是充分條件 例如 數(shù)列是有界的 而卻是發(fā)散數(shù)列 定理1單調(diào)有界數(shù)列必有極限 1 當(dāng)x 時(shí) 函數(shù)f x 的極限 函數(shù) 當(dāng)x 時(shí) 函數(shù)f x 無限趨近于常數(shù)1 此時(shí)我們稱1為當(dāng)x 時(shí)函數(shù)f x 的極限 定義3如果當(dāng)自變量x無限增大時(shí) 函數(shù)f x 無限趨近于某個(gè)確定的常數(shù)A 則稱常數(shù)A為函數(shù)f x 當(dāng)x 時(shí)的極限 記為 或 1 2 2函數(shù)的極限 1 1 當(dāng)x 時(shí) 函數(shù)f x 無限趨近于常數(shù)1 此時(shí)我們稱1為當(dāng)x 時(shí)函數(shù)f x 的極限 定義4如果當(dāng)無限增大時(shí) 函數(shù)f x 無限趨近于某個(gè)確定的常數(shù)A 則稱常數(shù)A為函數(shù)f x 當(dāng)x 時(shí)的極限 記為 x 或 定理2 的充要條件是 2當(dāng)x x0時(shí) 函數(shù)f x 的極限 當(dāng)x 1時(shí) 的值無限趨近于常數(shù)2 此時(shí)我們稱當(dāng)x趨近于1時(shí) 函數(shù) 極限為2 定義5設(shè)函數(shù)f x 在的某鄰域內(nèi)有定義 x0可以除外 如果當(dāng)自變量x趨近于x0時(shí) 函數(shù)f x 的函數(shù)值無限趨近于某個(gè)確定的常數(shù)A 則稱A為函數(shù)f x 當(dāng)x x0時(shí)的極限 或 考查函數(shù) 記為 2在定義5中 x是以任意方式趨近于的 但在有些問題中 往往只需要考慮點(diǎn)x從的一側(cè)趨近于時(shí) 函數(shù)f x 的變化趨向 注 1 在時(shí)的極限是否存在 與在點(diǎn)處有無定義以及在點(diǎn)處的函數(shù)值無關(guān) 如果當(dāng)從的左側(cè)趨近于 記為 時(shí) 以A為極限 則稱A為函數(shù)當(dāng)時(shí)的左極限 記為 或 如果當(dāng)從的右側(cè)趨近于 記為 時(shí) 以A為極限 則稱A為函數(shù)當(dāng)時(shí)的右極 或 限 記為 注 定理3常用來判斷分段函數(shù)在分段點(diǎn)的極限是否存在 解 因?yàn)?所以 定理4 唯一性定理 如果函數(shù)在某一變化過程中有極限 則其極限是唯一的 2函數(shù)極限的性質(zhì) 定理5 有界性定理 若函數(shù)f x 當(dāng)x x0時(shí)極限存在 則必存在x0的某一鄰域 使得函數(shù)f x 在該鄰域內(nèi)有界 定理6 兩邊夾定理 如果對(duì)于x0的某鄰域內(nèi)的一切x 可以除外 有 且 則 1 無窮小量定義7若變量Y在某過程下以零為極限 則稱變量Y在此過程下為無窮小量 簡稱無窮小 1 2 3無窮小量與無窮大量 例3 例4 時(shí)的無窮小量 時(shí)的無窮小量 因?yàn)樗?因?yàn)樗?例如函數(shù)時(shí)的無窮小 但當(dāng)時(shí)不是無窮小 當(dāng)時(shí) 的極限不為零 所以當(dāng)時(shí) 函數(shù)不是無窮小 而當(dāng)時(shí)是無窮小量 應(yīng)該注意無窮小量是在某一過程中 以零為極限的變量 而不是絕對(duì)值很小的數(shù) 因此應(yīng)明確指出其變化過程 定理7在自變量的同一變化過程中 1 有限個(gè)無窮小的代數(shù)和仍為無窮小 4 有界函數(shù)與無窮小的乘積仍為無窮小 3 常量與無窮小的乘積仍為無窮小 2 有限個(gè)無窮小的乘積仍為無窮小 2 無窮小的性質(zhì) 例5 解 注意這個(gè)極限不能用極限的四則運(yùn)算法則求得 因?yàn)椴淮嬖?所以 時(shí)的無窮小量 為有界變量 3 無窮大量 定義8在自變量x的某一變化過程中 若函數(shù)值的絕對(duì)值無限增大 則稱f x 為此變化過程中的無窮大量 簡稱無窮大 記作 4無窮小與無窮大的關(guān)系 簡言之無窮小與無窮大的關(guān)系為 在自變量的同一變化過程中 無窮大的倒數(shù)是無窮小 無窮小 不等于0 的倒數(shù)是無窮大 定理9在自變量的同一變化過程中 若f x 為無窮大 則為無窮小 反之 若f x 為無窮小且f x 不等于0 則為無窮大 例如 以后 遇到類似例6的題目 可直接寫出結(jié)果 例6 解 例7考察 定理1設(shè) 則 1 3 1極限的運(yùn)算法則 下面的定理 僅就函數(shù)極限的情形給出 所得的結(jié)論對(duì)數(shù)列極限也成立 1 3極限的運(yùn)算 其中自變量x的趨勢(shì)可以是等各種情形 定理1中的 1 和 2 可以推廣到有限個(gè)函數(shù)的代數(shù)和及乘積的極限情況 結(jié)論 2 還有如下常用的推論 推論1設(shè)limf x 存在 則對(duì)于常數(shù)c 有 推論2設(shè)limf x 存在 則對(duì)于正整數(shù)k 有 例1 解 一般地 設(shè)有多項(xiàng)式 有理整函數(shù) 則有 即 例2 解 設(shè)有理分式函數(shù) 式 1 與式 2 說明對(duì)于有理函數(shù)求關(guān)于的極限時(shí) 如果有理函數(shù)在點(diǎn)有定義 其極限值就是在點(diǎn)處的函數(shù)值 以后可以當(dāng)做公式使用 例3 解 例4 解 例5 解 例6 解 1 3 2兩個(gè)重要極限 重要極限1 其中的兩個(gè)等號(hào)只在x 0時(shí)成立 證 設(shè)圓心角過點(diǎn)A作圓的切線與OB的延長線交于點(diǎn)C 又作 則sinx BD tanx AC 當(dāng)時(shí) 首先證明不等式 當(dāng)時(shí)有 即當(dāng)時(shí) 而當(dāng)時(shí)有 從而 即當(dāng)時(shí)有 這就證明了不等式 從而有 由夾逼準(zhǔn)則 即得 例7 解 例8 解 例9 解 這是重要極限2常用的另一種形式 補(bǔ)推導(dǎo) 重要極限2 例10 解令 則當(dāng)時(shí) 因此 例11 解 例12設(shè)有本金1000元 若用連續(xù)復(fù)利計(jì)算 年利率為8 問5年末可得本利和為多少 解設(shè)復(fù)利一年計(jì)算一次 則一年末本利和為 若復(fù)利一年計(jì)算n次 則x年末本利和為 x 年末本利和為 所以 1 3 3無窮小的比較 兩個(gè)無窮小的和 差 積都是無窮小 那么 兩個(gè)無窮小的商是否仍是無窮小呢 請(qǐng)看下面的例子 這些情形表明 同為無窮小 但它們趨于0的速度有快有慢 為了比較不同的無窮小趨于0的速度 我們引入無窮小量階的概念 此時(shí)也稱是比低階的無窮小 3 如果 則稱是比高階的無窮小 記作 2 如果 則稱與是等價(jià)無窮小 記作 1 如果是常數(shù) 則稱是同階無窮小 定義設(shè)時(shí)為無窮小 且 所以當(dāng)時(shí) 與x是等價(jià)無窮小 即 所以當(dāng)時(shí) 是比x高階的無窮小 即 例13 例14因?yàn)?同理可知 當(dāng)時(shí) 所以當(dāng)時(shí) 是同階無窮小 關(guān)于等價(jià)無窮小在求極限中的應(yīng)用 有如下定理 證 定理2 根據(jù)此定理 在求兩個(gè)無窮小之比的極限時(shí) 若此極限不好求 可用分子 分母各自的等價(jià)無窮小來代替 如果選擇適當(dāng) 可簡化運(yùn)算 用定理2求極限 需要預(yù)先知道一些等價(jià)無窮小 一些常用的等價(jià)無窮小如下 當(dāng)時(shí) 例15 解 例16 解 例17 解 注意 相乘 除 的無窮小都可用各自的等價(jià)無窮小代換 但是相加 減 的無窮小的項(xiàng)不能作等價(jià)代換 例如 是完全錯(cuò)誤的 1 4 1函數(shù)連續(xù)性的概念 相應(yīng)的函數(shù)的改變量 增量 函數(shù)的終值與初值之差稱為函數(shù)的改變量 記為 1 改變量 增量 1 4函數(shù)的連續(xù)性 當(dāng)自變量由初值變化到終值時(shí) 終值與初值之差稱為自變量的改變量 記為 定義1 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義 當(dāng)自變量在點(diǎn)處有增量時(shí) 相應(yīng)的函數(shù)有增量 如果當(dāng)自變量的增量趨于零時(shí) 函數(shù)的增量也趨于零 即則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù) 點(diǎn)稱為函數(shù)的連續(xù)點(diǎn) 2 連續(xù) 若記 則 且當(dāng)時(shí) 故定義1又可敘述為 注 定義2 設(shè)函數(shù)y f x 在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義 若有 則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù) 1 定義1與定義2是等價(jià)的 即 由左右極限定義可定義左右連續(xù)定義 2 由定義2可知若函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù) 則函數(shù)在點(diǎn)處的極限一定存在 反之不一定連續(xù) 3 當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)時(shí) 求時(shí) 只需求出即可 定義3 若函數(shù)滿足 則稱函數(shù)在點(diǎn)處左連續(xù) 同理可以定義右連續(xù) 3 左右連續(xù) 4 區(qū)間連續(xù) 定義4 若函數(shù)在 a b 內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù) 則稱函數(shù)在 a b 內(nèi)連續(xù) 由定理3可知 函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)既左連續(xù)又右連續(xù)即 證明y sinx在內(nèi)連續(xù) 例1 證 對(duì)任意 有 因?yàn)?所以 故在內(nèi)連續(xù) 定義5若函數(shù)y f x 在 a b 內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù) 且在左端點(diǎn)a處右連續(xù) 在右端點(diǎn)b處左連續(xù) 則稱函數(shù)y f x 在 a b 上連續(xù) 1 4 2函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類 則一定滿足以下條件 如果f x 在點(diǎn)不能滿足以上任何一個(gè)條件 則點(diǎn)是函數(shù)的間斷點(diǎn) 1 可去間斷點(diǎn) 如果函數(shù)在點(diǎn)的極限存在 但不等于 即 則稱為的可去間斷點(diǎn) 例2 解 所以x 1為可去間斷點(diǎn)重新定義新的函數(shù) 下式表示法 則x 1成為函數(shù)的連續(xù)點(diǎn) 2 跳躍間斷點(diǎn) 例3 所以x 1為跳躍間斷點(diǎn) 左右極限存在不相等 當(dāng)時(shí) 函數(shù)值不斷地在兩點(diǎn)之間跳動(dòng) 左右極限均不存在 3 無窮間斷點(diǎn) f x 在點(diǎn)的左 右極限至少有一個(gè)是無窮大 則稱為f x 的無窮間斷點(diǎn) 例4x 0為無窮間斷點(diǎn) 4 振蕩間斷點(diǎn) 例5 x 0是其振蕩間斷點(diǎn) 間斷點(diǎn)的類型 第一類間斷點(diǎn) 我們把左右極限都存在的間斷點(diǎn)稱為第一類間斷點(diǎn) 第二類間斷點(diǎn) 除第一類以外的間斷點(diǎn) 即左右極限至少有一個(gè)不存在的間斷點(diǎn)稱為第二類間斷點(diǎn) 例6 解 函數(shù)在x 1 x 0 x 1處沒有定義 所以x 1 x 0 x 1是函數(shù)的間斷點(diǎn) 所以x 1是函數(shù)的無窮間斷點(diǎn) 所以x 0是函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn) 所以x 1是函數(shù)的可去間斷點(diǎn) 解 分界點(diǎn)為x 1 x 2 i 當(dāng)x 1時(shí) 所以x 1是函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn) 例7 ii 討論x 2 而f 2 5 所以x 2是函數(shù)的連續(xù)的點(diǎn) 因此 分段函數(shù)的分界點(diǎn)是可能間斷點(diǎn) 設(shè)函數(shù)y f u 在點(diǎn)處連續(xù) u x 在點(diǎn)處連續(xù) 且 則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù) 1 4 3初等函數(shù)的連續(xù)性 補(bǔ)充冪 三角 對(duì)數(shù)函數(shù)連續(xù)性 定理1 單調(diào)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)在其對(duì)應(yīng)區(qū)間上也是單調(diào)連續(xù)函數(shù) 設(shè)f x g x 均在點(diǎn)處連續(xù) 則也在處連續(xù) 因此 基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù) 定理2 定理3 即 因此 一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù) 1 4 4閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 定理4 最值定理 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最大值和最小值 注 對(duì)于在開區(qū)間或在閉區(qū)間上有間斷點(diǎn)的函數(shù) 結(jié)論不一定成立 定理5 介值定理 設(shè)函數(shù)f x 在 a b 上連續(xù) 且 為介于f a 與f b 之間的任一實(shí)數(shù) 則至少存在一點(diǎn) 使得 推論 如果函數(shù)f x 在 a b 上連續(xù) 且則至少存在一點(diǎn) 使得