單元質(zhì)量測(cè)試(二) =　　時(shí)間：120分鐘　　　滿分：150分 第Ⅰ卷　(選擇題，共60分) 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分) 1．(2018廣東汕頭一模)函數(shù)f(x)＝＋lg (1＋x)的定義域?yàn)?　　) A．(－∞，－1) B．(1，＋∞) C．(－1，1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞) 答案　C 解析　由題意知1＋x>0且x≠1．故選C． 2．(2018河北保定一模)若f(x)是定義在R上的函數(shù)，則“f(0)＝0”是“函數(shù)f(x)為奇函數(shù)”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　B 解析　f(x)是定義在R上的奇函數(shù)可以推出f(0)＝0，但f(0)＝0不能推出函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，例如f(x)＝x2．故選B． 3．若f(x)是冪函數(shù)，且滿足＝3，則f＝(　　) A．3 B．－3 C． D．－ 答案　C 解析　設(shè)f(x)＝xn，則＝＝2n＝3， ∴f＝n＝＝，故選C． 4．(2018大連測(cè)試)下列函數(shù)中，與函數(shù)y＝－3|x|的奇偶性相同，且在(－∞，0)上單調(diào)性也相同的是(　　) A．y＝－ B．y＝log2|x| C．y＝1－x2 D．y＝x3－1 答案　C 解析　函數(shù)y＝－3|x|為偶函數(shù)，在(－∞，0)上為增函數(shù)，選項(xiàng)B的函數(shù)是偶函數(shù)，但其單調(diào)性不符合，只有選項(xiàng)C符合要求． 5．已知f(x)為偶函數(shù)且f(x)dx＝8，則－6f(x)dx等于(　　) A．0 B．4 C．8 D．16 答案　D 解析　因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以－6f(x)dx＝2f(x)dx＝82＝16． 6．(2018山東濟(jì)寧一中月考)某產(chǎn)品的總成本y(萬元)與產(chǎn)量x(臺(tái))之間的函數(shù)關(guān)系式是y＝3000＋20x－0．1x2(0<x<240，x∈N*)．若每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為25萬元，則生產(chǎn)者不虧本(銷售收入不少于總成本)時(shí)的最低產(chǎn)量是(　　) A．100臺(tái) B．120臺(tái) C．150臺(tái) D．180臺(tái) 答案　C 解析　設(shè)利潤(rùn)為S(萬元)，則S＝25x－(3000＋20x－0．1x2)＝0．1x2＋5x－3000．令S≥0，解得x≥150．故選C． 7．已知定義在區(qū)間[0，2]上的函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則y＝－f(2－x)的圖象為(　　) 答案　B 解析　解法一：由y＝f(x)的圖象知，f(x)＝ 當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，2－x∈[0，2]， 所以f(2－x)＝ 故y＝－f(2－x)＝圖象應(yīng)為B． 解法二：當(dāng)x＝0時(shí)，－f(2－x)＝－f(2)＝－1；當(dāng)x＝1時(shí)，－f(2－x)＝－f(1)＝－1．觀察各選項(xiàng)，可知應(yīng)選B． 8．(2018安慶二模)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝－f(x)，f(x－2)＝f(x＋2)且x∈(－1，0)時(shí)，f(x)＝2x＋，則f(log220)＝(　　) A．1 B． C．－1 D．－ 答案　C 解析　函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且周期為4，4<log220<5，則f(log220)＝f(log220－4)＝－f(4－log220)＝－flog2＝－2log2＋＝－1，故選C． 9．已知函數(shù)f(x)的圖象如圖，f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是(　　) A．0＜f′(2)＜f′(3)＜f(3)－f(2) B．0＜f′(3)＜f′(2)＜f(3)－f(2) C．0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2) D．0＜f(3)－f(2)＜f′(2)＜f′(3) 答案　C 解析　觀察圖象可知，該函數(shù)在(2，3)上為連續(xù)可導(dǎo)的增函數(shù)，且增長(zhǎng)的速度越來越慢．所以各點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)在(2，3)上處處為正，且導(dǎo)數(shù)的值逐漸減小，所以f′(2)>f′(3)，而f(3)－f(2)＝，表示連接點(diǎn)(2，f(2))與點(diǎn)(3，f(3))割線的斜率，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，一定可以在(2，3)之間找到一點(diǎn)，該點(diǎn)處的切線與割線平行，則割線的斜率就是該點(diǎn)處的切線的斜率，即該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，則必有0<f′(3)<<f′(2)．故選C． 10．(2018河南鄭州一模)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x＋2e)＝－f(x)(其中e＝2．7182…)，且在區(qū)間[e，2e]上是減函數(shù)，令a＝，b＝，c＝，則f(a)，f(b)，f(c)的大小關(guān)系(用不等號(hào)連接)為(　　) A．f(b)>f(a)>f(c) B．f(b)>f(c)>f(a) C．f(a)>f(b)>f(c) D．f(a)>f(c)>f(b) 答案　A 解析　∵f(x)是R上的奇函數(shù)，滿足f(x＋2e)＝－f(x)，∴f(x＋2e)＝f(－x)，∴函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝e對(duì)稱，∵f(x)在區(qū)間[e，2e]上為減函數(shù)，∴f(x)在區(qū)間[0，e]上為增函數(shù)，又易知0<c<a<b<e，∴f(c)<f(a)<f(b)，故選A． 11．(2018河南開封模擬)已知不等式xy≤ax2＋2y2對(duì)x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．[－1，＋∞) B．(－∞，1] C．(0，2] D．[－1，2] 答案　A 解析　不等式xy≤ax2＋2y2對(duì)x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，即a≥－22對(duì)x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，令t＝，則1≤t≤3，∴a≥t－2t2在[1，3]上恒成立，設(shè)y＝－2t2＋t＝－2t－2＋(t∈[1，3])， ∴ymax＝－1，∴a≥－1．故選A． 12．(2018河南安陽一模)已知函數(shù)f(x)＝ (e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，則函數(shù)F(x)＝f[f(x)]－f(x)－1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　) A．8 B．6 C．4 D．3 答案　B 解析　令f(x)＝t，則由F(x)＝0得f(t)＝t＋1．作出y＝f(x)的函數(shù)圖象如圖所示： 設(shè)直線y＝k1x＋1與曲線y＝ex相切，切點(diǎn)為(x0，y0)，則解得x0＝0，k1＝1． 設(shè)直線y＝k2x＋1與曲線y＝lnx相切，切點(diǎn)為(x1，y1)，則解得x1＝e2，k2＝． ∴直線y＝t＋1與f(t)的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，不妨設(shè)4個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為t1，t2，t3，t4，且t1<t2<t3<t4，由圖象可知t1<0，t2＝0，0<t3<1，t4＝e2．由f(x)的函數(shù)圖象可知f(x)＝t1無解，f(x)＝t2有一個(gè)解，f(x)＝t3有三個(gè)解，f(x)＝t4有兩個(gè)解．∴F(x)有6個(gè)零點(diǎn)．故選B． 第Ⅱ卷　(非選擇題，共90分) 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分) 13．(2018成都市診測(cè))(＋x＋x3)dx＝________． 答案　 解析　因?yàn)?＋x＋x3)dx＝dx＋(x＋x3)dx， 由幾何意義知dx＝，又(x＋x3)dx＝x2＋x410＝，所以(＋x＋x3)dx＝． 14．若函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)閇0，2]，則函數(shù)g(x)＝f(x＋1)－f(x－1)的定義域?yàn)開_______． 答案　{1} 解析　由條件可得解得x＝1，所以g(x)的定義域?yàn)閧1}． 15．(2018江淮十校聯(lián)考)已知f(x)＝ 若f(x)有最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 答案　(－∞，3]∪(4，＋∞) 解析　當(dāng)x≤2時(shí)，y＝x3－3x，y′＝3(x＋1)(x－1)，所以y＝x3－3x在(－∞，－1)上單調(diào)遞增，在(－1，1)上單調(diào)遞減，在(1，2)上單調(diào)遞增，又f(－1)＝f(2)＝2，所以f(x)在(－∞，2]上的最大值為2；當(dāng)>2，即a>4時(shí)，f(x)在(2，＋∞)上的最大值為f，所以f(x)的最大值為maxf(2)，f，故最大值一定存在；當(dāng)≤2時(shí)，f(x)在(2，＋∞)上單調(diào)遞減，若f(x)有最大值，則即a≤3，綜上可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，3]∪(4，＋∞)． 16．(2018江西七校二模)設(shè)x，y∈R，定義x?y＝x(a－y)(a∈R，且a為常數(shù))，若f(x)＝ex，g(x)＝e－x＋2x2，F(xiàn)(x)＝f(x)?g(x)． ①g(x)不存在極值； ②若f(x)的反函數(shù)為h(x)，且函數(shù)y＝kx與函數(shù)y＝|h(x)|有兩個(gè)交點(diǎn)，則k＝； ③若F(x)在R上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－2]； ④若a＝－3，在F(x)的曲線上存在兩點(diǎn)，使得過這兩點(diǎn)的切線互相垂直． 其中真命題的序號(hào)有________(把所有真命題的序號(hào)都寫上)． 答案?、冖? 解析　由題意可得F(x)＝f(x)?g(x)＝ex(a－e－x－2x2)，則F′(x)＝－ex(2x2＋4x－a)．g′(x)＝－e－x＋4x，當(dāng)g′(x)＝0，即4x＝x時(shí)，由函數(shù)y＝4x，y＝x的圖象可知g′(x)＝0有一解x0，且x<x0時(shí)，g′(x)<0，x>x0時(shí)，g′(x)>0，則g(x)存在極小值g(x0)，①錯(cuò)誤；函數(shù)f(x)＝ex的反函數(shù)為h(x)＝ln x，若函數(shù)y＝kx與y＝|ln x|有兩個(gè)交點(diǎn)，則y＝kx與y＝ln x(x>1)相切，設(shè)切點(diǎn)(x0，ln x0)，則＝，解得x0＝e，即切線斜率k＝，②正確；若F(x)在R上是減函數(shù)，則F′(x)＝－ex(2x2＋4x－a)≤0在R上恒成立，即2x2＋4x－a≥0在R上恒成立，則Δ＝16＋8a≤0，a≤－2，③正確；當(dāng)a＝－3時(shí)，F(xiàn)′(x)＝－ex(2x2＋4x＋3)＝－ex[2(x＋1)2＋1]<0，即F(x)的曲線上任意點(diǎn)的切線斜率都是負(fù)數(shù)，所以不存在兩點(diǎn)的切線斜率乘積為－1，④錯(cuò)誤．綜上所述，真命題序號(hào)是②③． 三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(本小題滿分10分)函數(shù)f(x)＝－(a>0，x>0)． (1)判斷函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上的單調(diào)性； (2)若函數(shù)f(x)在上的值域是，求a，m的值． 解　(1)設(shè)x1>x2>0，則x1－x2>0，x1x2>0， ∵f(x1)－f(x2)＝－＝－＝>0，∴f(x1)>f(x2)． ∴函數(shù)f(x)是(0，＋∞)上的單調(diào)遞增函數(shù)． (2)由(1)得f(x)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，∵函數(shù)f(x)在上的值域是，∴f＝，f(2)＝m，即－2＝，且－＝m， 解得a＝，m＝2． 18．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝ax2－4x＋3． (1)若a＝－1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若f(x)有最大值3，求a的值； (3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值． 解　(1)當(dāng)a＝－1時(shí)，f(x)＝－x2－4x＋3， 令g(x)＝－x2－4x＋3，由于g(x)在(－∞，－2)上單調(diào)遞增，在(－2，＋∞)上單調(diào)遞減，而y＝t在R上單調(diào)遞減，所以f(x)在(－∞，－2)上單調(diào)遞減，在(－2，＋∞)上單調(diào)遞增，即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－2，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－2)． (2)令h(x)＝ax2－4x＋3，則f(x)＝h(x)， 由于f(x)有最大值3，所以h(x)應(yīng)有最小值－1， 因此＝－1，解得a＝1． (3)由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，要使函數(shù)f(x)的值域是(0，＋∞)，則需函數(shù)h(x)＝ax2－4x＋3的值域?yàn)镽，因?yàn)槎魏瘮?shù)的值域不可能為R，所以a＝0． 19．(2018河北邢臺(tái)一中月考)(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)，且f(x)的圖象關(guān)于x＝1對(duì)稱，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)＝2x－1． (1)當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，求f(x)的解析式； (2)計(jì)算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2018)的值． 解　(1)當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，2－x∈[0，1]， 又f(x)的圖象關(guān)于x＝1對(duì)稱， 則f(x)＝f(2－x)＝22－x－1，x∈[1，2]． (2)已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則f(－x)＝－f(x)， 又函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x＝1對(duì)稱， 則f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)， 所以f(4＋x)＝f[(2＋x)＋2]＝－f(2＋x)＝f(x)， 所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù)． 因?yàn)閒(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1， 又f(x)是以4為周期的周期函數(shù)． 所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2018)＝504(0＋1＋0－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＝1． 20．(2018山東臨沂一中月考)(本小題滿分12分)據(jù)某氣象中心觀察和預(yù)測(cè)：發(fā)生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動(dòng)，其移動(dòng)速度v(單位：km/h)與時(shí)間t(單位：h)的函數(shù)圖象如圖所示．過線段OC上一點(diǎn)T(t，0)作橫軸的垂線l，梯形OABC在直線l左側(cè)部分的面積即時(shí)間t內(nèi)沙塵暴所經(jīng)過的路程s(單位：km)． (1)當(dāng)t＝4時(shí)，求s的值； (2)將s隨t變化的規(guī)律用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示出來； (3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，試判斷這場(chǎng)沙塵暴是否會(huì)侵襲到N城，如果會(huì)，在沙塵暴發(fā)生后多長(zhǎng)時(shí)間它將侵襲到N城？如果不會(huì)，請(qǐng)說明理由． 解　(1)由題中給出的函數(shù)圖象可知，當(dāng)t＝4時(shí)，v＝34＝12(km/h)， ∴s＝412＝24(km)． (2)當(dāng)0≤t≤10時(shí)，s＝t3t＝t2； 當(dāng)10<t≤20時(shí)，s＝1030＋30(t－10)＝30t－150； 當(dāng)20<t≤35時(shí)，s＝1030＋1030＋(t－20)30－(t－20)2(t－20)＝－t2＋70t－550． 綜上可知，s＝ (3)∵t∈[0，10]時(shí)，smax＝102＝150<650， t∈(10，20]時(shí)，smax＝3020－150＝450<650， ∴當(dāng)t∈(20，35]時(shí)，令－t2＋70t－550＝650， 解得t＝30． 故沙塵暴發(fā)生30 h后將侵襲到N城． 21．(2018南昌二模)(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝ex－x2－ax有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))． (1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍； (2)求證：f(x1)＋f(x2)>2． 解　(1)∵f(x)＝ex－x2－ax，∴f′(x)＝ex－x－a． 設(shè)g(x)＝ex－x－a，則g′(x)＝ex－1． 令g′(x)＝ex－1＝0，解得x＝0． ∴當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，g′(x)<0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減； 當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，g′(x)>0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增． ∴g(x)min＝g(0)＝1－a． 當(dāng)a≤1時(shí)，f′(x)＝g(x)≥0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)； 當(dāng)a>1時(shí)，g(0)＝1－a<0，且當(dāng)x→＋∞時(shí)，g(x)→＋∞； 當(dāng)x→－∞時(shí)，g(x)→＋∞． ∴當(dāng)a>1時(shí)，f′(x)＝g(x)＝ex－x－a有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2． 不妨設(shè)x1<x2，則x1<0<x2． ∴函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1，＋∞)． (2)證明：由(1)知，x1，x2為g(x)＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根， x1<0<x2，且g(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減． 下面先證x1<－x2<0，只需證g(－x2)<0． ∵g(x2)＝ex2－x2－a＝0，得a＝ex2－x2， ∴g(－x2)＝e－x2＋x2－a＝e－x2－ex2＋2x2． 設(shè)h(x)＝e－x－ex＋2x(x>0)， 則h′(x)＝－－ex＋2<0， ∴h(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減， ∴h(x)<h(0)＝0，∴g(－x2)<0，即x1<－x2<0． ∵函數(shù)f(x)在(x1，0)上單調(diào)遞減， ∴f(x1)>f(－x2)， ∴要證f(x1)＋f(x2)>2， 只需證f(－x2)＋f(x2)>2， 即證ex2＋e－x2－x－2>0． 設(shè)函數(shù)k(x)＝ex＋e－x－x2－2(x>0)， 則k′(x)＝ex－e－x－2x． 設(shè)φ(x)＝k′(x)＝ex－e－x－2x， φ′(x)＝ex＋e－x－2>0， ∴φ(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增， ∴φ(x)>φ(0)＝0，即k′(x)>0， ∴k(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，k(x)>k(0)＝0， ∴當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，ex＋e－x－x2－2>0， 則ex2＋e－x2－x－2>0， ∴f(－x2)＋f(x2)>2，∴f(x1)＋f(x2)>2． 22．(2018太原五中模擬)(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝aex，g(x)＝ln (ax)＋，a>0． (1)若y＝f(x)的圖象在x＝1處的切線過點(diǎn)(3，3)，求a的值并討論h(x)＝xf(x)＋m(x2＋2x－1)(m∈R)在(0，＋∞)上的單調(diào)遞增區(qū)間； (2)定義：若直線l：y＝kx＋b與曲線C1：f1(x，y)＝0，C2：f2(x，y)＝0都相切，則我們稱直線l為曲線C1，C2的公切線．若曲線y＝f(x)與y＝g(x)存在公切線，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解　(1)由f(x)＝aex，得f′(x)＝aex． 又f(1)＝ae， 故f(x)在x＝1處的切線方程為y－ae＝ae(x－1)． 將點(diǎn)(3，3)代入切線方程，得a＝． 所以f(x)＝ex－1． 從而h(x)＝xex－1＋m(x2＋2x－1)(m∈R)， h′(x)＝(x＋1)(ex－1＋2m)． ①當(dāng)m≥0時(shí)，h′(x)>0在x∈(0，＋∞)上恒成立，故h(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)； ②當(dāng)1＋ln (－2m)≤0，即－≤m<0時(shí)，h′(x)≥0，x∈(0，＋∞)，故h(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)； ③當(dāng)1＋ln (－2m)>0，即m<－時(shí)， 由h′(x)>0得x>1＋ln (－2m)， 故h(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1＋ln (－2m)，＋∞)． 綜上，當(dāng)m≥－時(shí)，h(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)； 當(dāng)m<－時(shí)，h(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1＋ln (－2m)，＋∞)． (2)設(shè)f(x)＝aex的切點(diǎn)橫坐標(biāo)為x＝x1，f′(x)＝aex，則f(x)在x＝x1處的切線方程為 y－aex1＝aex1(x－x1)．① 設(shè)g(x)＝ln (ax)＋的切點(diǎn)橫坐標(biāo)為x＝x2，g′(x)＝， 則g(x)在x＝x2處的切線方程為 y－ln (ax2)－＝(x－x2)．② 聯(lián)立①②，得 消去x2得a＝(x1≠1)． 考慮函數(shù)φ(x)＝， φ′(x)＝－． 令φ′(x)＝0，得x＝或2． 當(dāng)x<或x>2時(shí)，φ′(x)<0，函數(shù)y＝φ(x)在－∞，，(2，＋∞)上單調(diào)遞減；當(dāng)<x<2且x≠1時(shí)，φ′(x)>0，函數(shù)y＝φ(x)在，1，(1，2)上單調(diào)遞增． 而φ＝，φ(2)＝， 故當(dāng)a∈0，∪，＋∞時(shí)，方程a＝有解， 從而，若函數(shù)f(x)＝aex與g(x)＝ln (ax)＋存在公切線，則a的取值范圍為0，∪，＋∞．