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模塊檢測 一、選擇題 1．“金導電、銀導電、銅導電、錫導電，所以一切金屬都導電”．此推理方法是 (　　) A．完全歸納推理 B．歸納推理 C．類比推理 D．演繹推理 答案　B 解析　由特殊到一般的推理為歸納推理．故選B. 2．(2013浙江)已知i是虛數單位，則(－1＋i)(2－i) (　　) A．－3＋i B．－1＋3i C．－3＋3i D．－1＋i 答案　B 解析　(－1＋i)(2－i)＝－2＋i＋2i＋1＝－1＋3i，故選B. 3．設f(x)＝10x＋lg x，則f′(1)等于 (　　) A．10 B．10ln 10＋lg e C.＋ln 10 D．11ln 10 答案　B 解析　∵f′(x)＝10xln 10＋，∴f′(1)＝10ln 10＋lg e，故選B. 4．若大前提：任何實數的平方都大于0，小前提：a∈R，結論：a2>0，那么這個演繹推理出錯在 (　　) A．大前提 B．小前提 C．推理形式 D．沒有出錯 答案　A 5．觀察下列數表規(guī)律 則數2 007的箭頭方向是 (　　) 答案　D 解析　因上行奇數是首項為3，公差為4的等差數列，若2 007在上行，則2 007＝3＋(n－1)4?n＝502∈N*.故2 007在上行，又因為在上行奇數的箭頭為→an，故選D. 6．函數f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1處有極值10，則a，b的值為 (　　) A.或 B. C. D．以上都不對 答案　B 解析　∵f′(x)＝3x2－2ax－b，∴，解得或.經檢驗a＝3，b＝－3不合題意，應舍去． 7．給出下列命題： ①dx＝dt＝b－a(a，b為常數且a0，且a＋b＋c＝1， 求證：(1)a2＋b2＋c2≥；(2)＋＋≤. 證明　(1)∵a2＋≥a，b2＋≥b，c2＋≥c， ∴＋＋≥a＋b＋c＝.∴a2＋b2＋c2≥. (2)∵≤，≤，≤，三式相加得＋＋ ≤(a＋b＋c)＋＝1，∴＋＋≤. 17．是否存在常數a，b，使等式＋＋…＋＝對一切n∈N*都成立？若不存在，說明理由；若存在，請用數學歸納法證明． 解　若存在常數a，b使等式成立， 則將n＝1，n＝2代入上式， 有得a＝1，b＝4， 即有＋＋…＋ ＝對于一切n∈N*都成立． 證明如下： (1)當n＝1時，左邊＝＝， 右邊＝＝，所以等式成立． (2)假設n＝k(k≥1，且k∈N*)時等式成立，即 ＋＋…＋＝， 當n＝k＋1時， ＋＋…＋＋ ＝＋＝ ＝＝ ＝＝， 也就是說，當n＝k＋1時，等式成立， 綜上所述，等式對任何n∈N*都成立． 18．(2013廣東)設函數f(x)＝(x－1)ex－kx2(其中k∈R)． (1)當k＝1時，求函數f(x)的單調區(qū)間； (2)當k∈時，求函數f(x)在[0，k]上的最大值M. 解　(1)當k＝1時，f(x)＝(x－1)ex－x2，f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2x＝xex－2x＝x(ex－2)． 令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝ln 2. 當x變化時，f′(x)，f(x)的變化如下表 x (－∞，0) 0 (0，ln 2) ln 2 (ln 2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 單調遞增 極大值 單調遞減 極小值 單調遞增 由表可知，函數f(x)的遞減區(qū)間為(0，ln 2)，遞增區(qū)間為(－∞，0)， (ln 2，＋∞)． (2)f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2kx＝xex－2kx＝x(ex－2k)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝ln (2k)， 令g(k)＝ln(2k)－k，則g′(k)＝－1＝＞0，所以g(k)在上遞增， 所以g(k)≤ln 2－1＝ln 2－ln e＜0， 從而ln (2k)＜k，所以ln(2k)∈[0，k]， 所以當x∈(0，ln(2k))時， f′(x)＜0；當x∈(ln(2k)，＋∞)時，f′(x)＞0； 所以M＝max{f(0)，f(k)}＝max{－1，(k－1)ek－k3} 令h(k)＝(k－1)ek－k3＋1，則h′(k)＝k(ek－3k)， 令φ(k)＝ek－3k，則φ′(k)＝ek－3＜e－3＜0， 所以φ(k)在上遞減， 而φφ(1)＝(e－3)＜0， 所以存在x0∈使得φ(x0)＝0， 且當k∈時，φ(k)＞0，當k∈(x0,1)時φ(k)＜0， 所以φ(k)在上單調遞增， 在(x0,1)上單調遞減． 因為h＝－＋＞0，h(1)＝0， 所以h(k)≥0在上恒成立， 當且僅當k＝1時取得“＝”． 綜上，函數f(x)在[0，k]上的最大值M＝(k－1)ek－k3.