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新版高三數(shù)學(xué) 第33練 平面向量的數(shù)量積練習(xí)

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1、 1

2、 1 第33練 平面向量的數(shù)量積 訓(xùn)練目標(biāo) (1)平面向量數(shù)量積的概念;(2)數(shù)量積的應(yīng)用. 訓(xùn)練題型 (1)向量數(shù)量積的運(yùn)算;(2)求向量的夾角;(3)求向量的模. 解題策略 (1)數(shù)量積計(jì)算的三種方法:定義、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積的幾何意義;(2)求兩向量的夾角時(shí),要注意夾角θ為銳角和cos θ>0的區(qū)別,不能漏解或增解;(3)求向量的模的基本思想是利用|a|2=a·a,

3、靈活運(yùn)用數(shù)量積的運(yùn)算律. 一、選擇題 1.(20xx·玉溪月考)若向量a,b滿足|a|=1,|b|=,且a⊥(a+b),則a與b的夾角為(  ) A. B. C. D. 2.(20xx·淄博月考)已知矩形ABCD中,AB=,BC=1,則·等于(  ) A.1 B.-1 C. D.2 3.已知平面上A,B,C三點(diǎn)不共線,O是不同于A,B,C的任意一點(diǎn),若(-)·(+)=0,則△ABC是(  ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等邊三角形 4.(20xx·安徽)△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,已知向量a,b滿足=2a,=2a+b,則下列結(jié)論正確的是

4、(  ) A.|b|=1 B.a(chǎn)⊥b C.a(chǎn)·b=1 D.(4a+b)⊥ 5.已知向量a,b,c滿足|a|=2,|b|=a·b=3,若(c-2a)·(c-b)=0,則|b-c|的最小值是(  ) A.2- B.2+ C.1 D.2 6.(20xx·太原五中模擬)已知△DEF的外接圓的圓心為O,半徑R=4,如果++=0,且||=||,則向量在方向上的投影為(  ) A.6 B.-6 C.2 D.-2 7.(20xx·延邊期中)點(diǎn)O在△ABC所在平面內(nèi),給出下列關(guān)系式:①++=0; ②·=·=·;③·=·;④(+)·=(+)·=0.則點(diǎn)O依次為△ABC的(  )

5、 A.內(nèi)心、外心、重心、垂心 B.重心、外心、內(nèi)心、垂心 C.重心、垂心、內(nèi)心、外心 D.外心、內(nèi)心、垂心、重心 8.已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2,∠BAD=120°,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在邊BC,DC上,BE=λBC,DF=μDC.若·=1,·=-,則λ+μ等于(  ) A. B. C. D. 二、填空題 9.(20xx·高安段考)已知向量a,b滿足a+b=(5,-10),a-b=(3,6),則b在a方向上的投影為_(kāi)_______. 10.已知向量a=(cos θ,sin θ),向量b=(,-1),則|2a-b|的最大值與最小值的和為_(kāi)_______. 11.(20xx·開(kāi)封沖刺模擬

6、)若等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2,平面內(nèi)一點(diǎn)M滿足=+,則·=________. 12.已知△ABC中,AB=2,AC=1,當(dāng)2x+y=t(t>0)時(shí),|x+y|≥t恒成立,則△ABC的面積為_(kāi)_____,在上述條件下,對(duì)于△ABC內(nèi)一點(diǎn)P,·(+)的最小值是________. 答案精析 1.C [由題意,得a·(a+b)=0, 即a2+a·b=0,∴1+cos〈a,b〉=0, 解得cos〈a,b〉=-. 再由〈a,b〉∈[0,π],可得〈a,b〉=.] 2.A [方法一 如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB為x軸,AD為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則A(0,0),B(,0),C(,1),

7、D(0,1),∴=(,1),=(,-1), 則·=2-1=1. 方法二 記=a,=b,則a·b=0,∵|a|=,|b|=1, ∴·=(a+b)·(a-b)=a2-b2=2-1=1.故選A.] 3.A [(-)·(+)=0?·(+)=0?⊥(+),所以△ABC是等腰三角形,故選A.] 4.D [如圖,在△ABC中,由=-=2a+b-2a=b,得|b|=2. 又|a|=1,所以a·b=|a||b|cos 120°=-1,所以(4a+b)·=(4a+b)·b=4a·b+|b|2=4×(-1)+4=0,所以(4a+b)⊥,故選D.] 5.A [由題意得,〈a,b〉=,故如圖所示建

8、立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)a=(1,),b=(3,0),c=(x,y),∴(c-2a)·(c-b)=0?(x-2)2+y(y-2)=0?(x-2)2+(y-)2=3,其幾何意義為以點(diǎn)(2,)為圓心,為半徑的圓,故其到點(diǎn)(3,0)的距離的最小值是2-,故選A.] 6.B [由++=0得,=+.∴DO經(jīng)過(guò)邊EF的中點(diǎn), ∴DO⊥EF.連接OF,∵||=||=||=4, ∴△DOF為等邊三角形, ∴∠ODF=60°.∴∠DFE=30°,且EF=4×sin 60°×2=4. ∴向量在方向上的投影為 ||cos〈,〉=4cos 150°=-6,故選B.] 7.C [由三角形“五心”的定義,我

9、們可得:①當(dāng)++=0時(shí),O為△ABC的重心;②當(dāng)·=·=·時(shí),O為△ABC的垂心;③當(dāng)·=· 時(shí),O為△ABC的內(nèi)心;④當(dāng)(+)·=(+)·=0時(shí),O為△ABC的外心.故選C.] 8.C [建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則A(-1,0),B(0,-),C(1,0),D(0,).設(shè)E(x1,y1),F(xiàn)(x2,y2).由=λ,得(x1,y1+)=λ(1,),解得 即點(diǎn)E(λ,(λ-1)).由=μ,得(x2,y2-)=μ(1,-), 解得即點(diǎn)F(μ,(1-μ)). 又·=(λ+1,(λ-1))·(μ+1,(1-μ))=1,① ·=(λ-1,(λ-1))·(μ-1,(1-μ))=-,②

10、 由①-②,得λ+μ=.] 9.2 解析 根據(jù)a+b=(5,-10),a-b=(3,6),求得a=(4,-2),b=(1,-8),根據(jù)投影公式可得b在a方向上的投影為==2. 10.4 解析 由題意可得a·b=cos θ-sin θ=2cos, 則|2a-b|== =∈[0,4], 所以|2a-b|的最大值與最小值的和為4. 11.- 解析 由于=-=-+,=-=-, 故·=·=-2-2+· =-×22-×22+×2×2×cos 60°=-. 12.1?。? 解析 因?yàn)閨x+y|= =≥t恒成立,則由兩邊平方, 得x22+y22+2xy·≥t2,又t=2x+y, 則4x2+y2+4xy(2cos A-1)≥0, 則Δ=16y2(2cos A-1)2-16y2≤0, 則cos A(cos A-1)≤0,則cos A≥0,A的最大值為. 當(dāng)cos A=0時(shí),|x+y|=≥(2x+y)滿足題意,所以此時(shí)S△ABC=·AB·AC=1; 在Rt△ABC中,取BC的中點(diǎn)D,連接PD, 則+=2,即·(+)=2·, 當(dāng)A,P,D三點(diǎn)共線時(shí),·<0,又此時(shí)AD=BC=, 即有2·=-2||||≥-2×2=-,即有最小值為-.

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