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新編高考數(shù)學(xué)江蘇專用理科專題復(fù)習(xí):專題8 立體幾何與空間向量 第54練 Word版含解析

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1、 訓(xùn)練目標(biāo) 會用空間向量解決立體幾何的證明、求空間角、求距離問題. 訓(xùn)練題型 (1)用空間向量證明平行與垂直;(2)用空間向量求空間角;(3)求長度與距離. 解題策略 (1)選擇適當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系;(2)求出相關(guān)點的坐標(biāo),用坐標(biāo)表示直線的方向向量及平面的法向量;(3)理解并記住用向量表示的空間角和距離的求解公式;(4)探索性問題,可利用共線關(guān)系設(shè)變量,引入?yún)?shù),列方程求解. 1.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4. (1)設(shè)=λ,異面直線AC1與CD所成角的余弦值為,求實數(shù)λ的值; (2)若點D是AB的中點,求二面角D-CB

2、1-B的余弦值. 2.(20xx·甘肅天水一模)如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD為梯形,AD∥BC,AD⊥平面SCD,AD=DC=2,BC=1,SD=2,∠SDC=120°. (1)求SC與平面SAB所成角的正弦值; (2)求平面SAD與平面SAB所成的銳二面角的余弦值. 3.(20xx·南昌月考)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,B1B=B1A=AB=BC,∠B1BC=90°,D為AC的中點,AB⊥B1D. (1)求證:平面ABB1A1⊥平面ABC; (2)在線段CC1(不含端點)上,是否存在點E,使得二面角E-B1D-B的余弦值為-?若存在,求出的值;

3、若不存在,說明理由. 4.(20xx·太原質(zhì)檢) 如圖所示,該幾何體是由一個直三棱柱ADE-BCF和一個正四棱錐P-ABCD組合而成的,AD⊥AF,AE=AD=2. (1)證明:平面PAD⊥平面ABFE; (2)求正四棱錐P-ABCD的高h,使得二面角C-AF-P的余弦值是. 答案精析 立體幾何問題 1.解 (1)由AC=3,BC=4,AB=5得∠ACB=90°, 以C為原點,CA,CB,CC1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz. 則A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0), 設(shè)D(x,y,z),

4、 則由=λ,得=(3-3λ,4λ,0), 又=(-3,0,4), 由題意知|cos〈,〉|= =, 解得λ=或λ=-. (2)由題意得D(,2,0),=(,2,0),=(0,4,4), 設(shè)平面CDB1的法向量為n1, 因為·n1=0,·n1=0,所以可取n1=(4,-3,3); 同理,平面CBB1的一個法向量為n2=(1,0,0), 并且〈n1,n2〉與二面角D-CB1-B相等或互補, 所以二面角D-CB1-B的余弦值為 |cos〈n1,n2〉|=. 2.解 如圖,在平面SCD中,過點D作DC的垂線交SC于E,以D為原點,DA,DC,DE所在直線分別為x軸,y軸,z軸

5、建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz. 則有D(0,0,0),S(0,-1,),A(2,0,0),C(0,2,0),B(1,2,0). (1)設(shè)平面SAB的法向量為n=(x,y,z), ∵=(-1,2,0),=(-2,-1,),·n=0,·n=0, ∴ 取y=,得n=(2,,5). 又=(0,3,-), 設(shè)SC與平面SAB所成角為θ,則sinθ =|cos〈,n〉|==, 故SC與平面SAB所成角的正弦值為. (2)設(shè)平面SAD的法向量為m=(a,b,c), ∵=(2,0,0),=(0,-1,), 則有即 取b=,得m=(0,,1). ∴cos〈n,m〉== =,

6、故平面SAD與平面SAB所成的銳二面角的余弦值是. 3.(1)證明 取AB的中點O,連結(jié)OD,OB1. 因為B1B=B1A,所以O(shè)B1⊥AB. 又AB⊥B1D,OB1∩B1D=B1,OB1?平面B1OD, B1D?平面B1OD, 所以AB⊥平面B1OD, 因為OD?平面B1OD,所以AB⊥OD. 由已知條件知,BC⊥BB1, 又OD∥BC,所以O(shè)D⊥BB1. 因為AB∩BB1=B,AB?平面ABB1A1,BB1?平面ABB1A1, 所以O(shè)D⊥平面ABB1A1. 因為OD?平面ABC, 所以平面ABB1A1⊥平面ABC. (2)解  由(1)知OB,OD,OB1兩

7、兩垂直,所以以O(shè)為坐標(biāo)原點,,,的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向, ||為單位長度1,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz,連結(jié)B1C. 由題設(shè)知,B1(0,0,),B(1,0,0),D(0,1,0),A(-1,0,0),C(1,2,0),C1(0,2,),∴=(0,1,-),=(1,0,-),=(-1,0,),(1,2,-), 設(shè)=λ(0<λ<1), 由=+=(1-λ,2,(λ-1)), 設(shè)平面BB1D的法向量為m=(x1,y1,z1), 則得 令z1=1,則x1=y(tǒng)1=, 所以平面BB1D的法向量為m=(,,1). 設(shè)平面B1DE的法向量為n=(x2,y2,z2),

8、 則 得 令z2=1,則x2=,y2=, 所以平面B1DE的一個法向量 n=(,,1). 設(shè)二面角E-B1D-B的大小為θ, 則cosθ===-, 解得λ=. 所以在線段CC1上存在點E,使得二面角E-B1D-B的余弦值為-,此時=(負(fù)值舍去). 4.(1)證明 在直三棱柱ADE-BCF中,AB⊥平面ADE,AD?平面ADE,所以AB⊥AD. 又AD⊥AF,AB∩AF=A,AB?平面ABFE,AF?平面ABFE, 所以AD⊥平面ABFE. 因為AD?平面PAD,所以平面PAD⊥平面ABFE. (2) 解 由(1)知AD⊥平面ABFE,以A為原點,AB,AE,A

9、D所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz, 則A(0,0,0), F(2,2,0),C(2,0,2),P(1,-h(huán),1),其中h為點P到平面ABCD的距離. =(2,2,0),=(2,0,2),=(1,-h(huán),1). 設(shè)平面AFC的一個法向量為m=(x1,y1,z1), 則 取x1=1,則y1=z1=-1, 所以m=(1,-1,-1). 設(shè)平面AFP的一個法向量為n=(x2,y2,z2), 則 取x2=1,則y2=-1,z2=-1-h(huán), 所以n=(1,-1,-1-h(huán)). 因為二面角C-AF-P的余弦值為, 所以|cos〈m,n〉|= ==, 解得h=1(負(fù)值舍去).

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