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考點59 空間直角坐標系 要點闡述 1．如圖所示，為了確定空間點的位置，我們建立空間直角坐標系：以單位正方體為載體，以O(shè)為原點，分別以射線OA、OC、OD′的方向為正方向，以線段OA、OC、OD′的長為單位長，建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，這時我們說建立了一個空間直角坐標系Oxyz，其中點O叫做坐標原點，x軸、y軸、z軸叫做坐標軸，通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面，分別稱為xOy平面、yOz平面、zOx平面，通常建立的坐標系為右手直角坐標系，即右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，中指指向z軸的正方向． 2．空間一點M的坐標可用有序?qū)崝?shù)組（x，y，z）來表示，有序?qū)崝?shù)組（x，y，z）叫做點M在此空間直角坐標系中的坐標，記作M（x，y，z），其中x叫做點M的橫坐標，y叫做點M的縱坐標，z叫做點M的豎坐標． 典型例題 【例】如圖，在正方體OABC－O1A1B1C1中，棱長為2，E是B1B上的點，且|EB|＝2|EB1|，則點E的坐標為(　　) A．(2,2,1) B．(2,2，) C．(2,2，) D．(2,2，) 【答案】D 【解題技巧】對于長方體或正方體，一般取相鄰的三條棱為x，y，z軸建立空間直角坐標系；確定點的坐標時，最常用的方法就是求某些與軸平行的線段的長度，即將坐標轉(zhuǎn)化為與軸平行的線段長度，同時要注意坐標的符號，這也是求空間點坐標的關(guān)鍵． 小試牛刀 1．軸上的點的坐標的特點是（　?。? A．豎坐標是0 B．橫坐標、縱坐標都是0 C．橫坐標是0 D．橫、縱、豎坐標不可能都是0 【答案】B 【解析】軸上任一點的坐標為（0，0，c）． 【規(guī)律總結(jié)】空間中確定點M坐標的三種方法： （1）過點M作MM1垂直于平面xOy，垂足為M1，求出M1的x坐標和y坐標，再由射線M1M的指向和線段MM1的長度確定z的坐標． （2）構(gòu)造以O(shè)M為體對角線的長方體，由長方體的三個棱長結(jié)合點M的位置，可以確定點M的坐標． （3）若題中所給的圖形中存在垂直于坐標軸的平面，或點M在坐標軸或坐標平面上，則利用這一條件，再作軸的垂線即可確定點M的坐標． 2．點A（–1，2，1）在軸上的投影點和在平面上的投影點的坐標分別為（　?。? A．（–1，0，1），（–1，2，0） B．（–1，0，0），（–1，2，0） C．（–1，0，0），（–1，0，0） D．（–1，2，0），（–1，2，0） 【答案】B 【解析】點A（–1，2，1）在軸上的投影點的橫坐標是–1，縱坐標和豎坐標都為0，故為（–1，0，0）；點A（–1，2，1）在平面上的投影點的橫、縱坐標不變且豎坐標是0，故為（–1，2，0）． 3．在空間直角坐標系中，點P（1，，），過點P作平面xOy的垂線PQ，則垂足Q的坐標為（　?。? A．（0，，0） B．（0，，） C．（1，0，） D．（1，，0） 【答案】D 【解析】Q在過P（1，，）且垂直于面xOy的線上，故Q的橫縱坐標與P相等，Q在面xOy上，故Q 的豎坐標為0，應(yīng)選D． 【解題技巧】求某點的坐標時，一般先找這一點在某一坐標平面上的射影，確定其兩個坐標，再找出它在另一軸上的射影（或者它到這個坐標平面的距離加上正負號），確定第三個坐標． 4．設(shè)為任意實數(shù)，相應(yīng)的所有點P（x，y，3）的集合是（　?。? A．軸上的兩個點 B．過軸上的（0，0，3）點且與軸垂直的直線 C．過軸上的（0，0，3）點且與軸垂直的平面 D．以上答案都有可能 【答案】C 【解析】由于點的豎坐標為定值3，當時，點組成的集合為過（0，0，3）且與軸垂直的平面． 5．點P（1，2，–1）在xOz平面內(nèi)的射影為B（x，y，z），則x＋y＋z的值為（ ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】A 6．如圖，在空間直角坐標系中，BC＝2，原點O是BC的中點，點D在平面yOz內(nèi)，且∠BDC＝90，∠DCB＝30，求點D的坐標． 【解析】過點D作DE⊥BC，垂足為E． 在Rt△BDC中，∠BDC＝90，∠DCB＝30，BC＝2，得|BD|＝1，|CD|＝，∴|DE|＝|CD|sin 30＝，|OE|＝|OB|－|BE|＝|OB|－|BD|cos 60＝1－＝， ∴點D的坐標為． 考題速遞 1．點(2,0,3)在空間直角坐標系中的(　　) A．y軸上 B．xOy面上 C．xOz面上 D．第一象限內(nèi) 【答案】C 【解析】因為該點的y坐標為0，根據(jù)坐標平面上點的特點可知該點在xOz面上． 2．設(shè)y∈R，則點P(1，y,2)構(gòu)成的集合為(　　) A．垂直于xOz平面的一條直線 B．平行于xOz平面的一條直線 C．垂直于y軸的一個平面 D．平行于y軸的一個平面 3．在空間直角坐標系中，已知點P(1，，)，過點P作平面yOz的垂線PQ，則垂足Q的坐標為(　　) A．(0，，0) B．(0，，) C．(1,0，) D．(1,0,0) 【答案】B 【解析】平面yOz內(nèi)點的橫坐標為0． 4．如圖，有一個棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1，以點D為坐標原點，分別以射線DA，DC，DD1的方向為正方向，以線段DA，DC，DD1的長度為單位長，建立三條數(shù)軸：x軸，y軸，z軸，從而建立起一個空間直角坐標系Oxyz．一只小螞蟻從點D出發(fā)，不返回地沿著棱爬行了2個單位長．請用坐標表示小螞蟻現(xiàn)在爬到了什么位置． 數(shù)學文化 3D電影的原理 人的兩眼之間大約有6厘米的距離，所以在觀看除了正前方的物體外，兩只眼睛必然有角度的不同，這個差別在大腦中就能自動形成上下、左右、前后、遠近的區(qū)別，從而產(chǎn)生立體視覺．所以如果能制作出同一場景、影像的不同側(cè)面（僅有微小的視差）讓雙眼各看一邊，那么在大腦中就能自動形成這一場景的立體影像．而 3D電影的拍攝、制作和放映，就是模擬人眼觀察景物的過程．它在拍攝時用兩個電影攝影機，按人眼兩瞳之間的距離（約65mm）拍攝同一景物，從而得到的不同角度的畫幅（左、右眼圖像），放映時再將圖像同時放映到銀幕上，這時銀幕上會出現(xiàn)重疊交錯的兩個影像．觀眾在看3D電影時，只要戴上“立體眼鏡”，就可以讓左眼看到左圖像，右眼看到右圖像，此時在大腦中就會自動復(fù)現(xiàn)為觸手可及立體影像．這就是3D的原理．