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1、5.7三角函數(shù)的應用途知識探究-素養(yǎng)啟迪 核心知識目標 核心素養(yǎng)目標 1. 會用三角函數(shù)解決簡單的實際問題. 2. 體會可以利用三角函數(shù)構(gòu)建刻畫事物周期變化的數(shù)學模型. 通過實際問題，構(gòu)建三角函數(shù)數(shù)學模型， 重點提升學生的數(shù)學抽象、數(shù)學運算和數(shù) 學建模的核心素養(yǎng). ?知識探究 三角函數(shù)的應用 梳理三角函數(shù)的應用 (1) 函數(shù)y=Asin(3x+。),A>0,?>0中參數(shù)的物理意義 (2) 三角函數(shù)模型的應用 ① 三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學模型，可以用來研究很多問題，在刻畫周期變化的規(guī)律、預測其未來等方面都發(fā)揮著重要作用. ② 實際問題的背景往往比較

2、復雜,而且需要綜合應用多門學科的知識才能完成，因此在應用數(shù)學知識解決實際問題時，不僅要注意從復雜的實際背景中抽取基本的數(shù)學關系，而且還要調(diào)動相關學科知識來解決問題. 即時訓練3-1:某海濱區(qū)域的某個觀測點觀測到該處水深y（米）是隨 著一天的時間t（0WtW24,單位小時）呈周期性變化，某天各時刻t的 水深數(shù)據(jù)的近似值如表： t/時 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/米 1.5 2.4 1.5 0.6 1.4 2.4 1.6 0.6 1.5 根據(jù)表中近似數(shù)據(jù)畫出散點圖.觀察散點圖，從①y二Asin（cot+Q,②y二Acos（3t+

3、伊）+b,③y=-Asin?t+b（A>0,3〉0,-jt<0〈O）中選擇一個合適的函數(shù)模型,并求出該擬合模型的函數(shù)解析式. 解:根據(jù)表中近似數(shù)據(jù)畫出散點圖，如圖所示： 依題意，選②y=Acos(31+伊)+b作為函數(shù)模型， rrk|a2.4一0.6八八12.4+0.6<- 所以A==0.9,b==1.5,22 因為T二竺二12,0) 所以3二6 所以y=0.9cosGt+e)+1.5. 6 又因為函數(shù)y=0.9cos(?t+0)+1.5的圖象過點(3,2.4),6 所以2.4=0.9Xcos(-X3+^)+l.5,6 所以cos(；+Q=1, 所以sin 又

4、因為-兀〈9<0,所以0=-p 所以y=0.9cos(:t-；)+1.5=0.9sin-t+l.5. 6寸方法總結(jié) 在處理曲線擬合和預測的問題時,通常需以下幾個步驟根據(jù)原始數(shù)據(jù)，繪出散點圖. (1) 通過散點圖，作出“最貼近”的直線或曲線，即擬合直線或擬合曲線. (2) 根據(jù)所學函數(shù)知識,求出擬合直線或擬合曲線的函數(shù)關系式. (3) 利用函數(shù)關系式，根據(jù)條件對所給問題進行預測和控制，以便為決策和管理提供依據(jù). ?備用例題 ［例1］圖為大型觀覽車主架示意圖.點0為輪軸中心，距地面高為32m(即OM=32m).巨輪半徑為30m,點P為吊艙與輪的連接點，吊艙高2M即PM=2m),巨輪

5、轉(zhuǎn)動一周需15min.某游客從點M進入吊艙后，巨輪開始按逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動3周后停止,記轉(zhuǎn)動過程中該游客所乘吊艙的底部為點W. 試建立點帕距地面的高度h(m)關于轉(zhuǎn)動時間t(min)的函數(shù)關系, 并寫出定義域；求轉(zhuǎn)動過程中點M'超過地面45m的總時長. 解：(1)如圖所示，以0為坐標原點,建立平面直角坐標系xOy, 設以Ox為始邊，按逆時針方向經(jīng)過時間t(min)轉(zhuǎn)動至終邊0Pz所形成的角為靠驀，則點P'的縱坐標為30sin(籍t-；), JL。乙所以此點距地面的高度為h=30sin(—t--)+32-2 =30(l-cos^t),te[0,45].⑵當點M'超過地面45m時,

6、h=30(l-cos|^t)>45,即cos—1<--, 152所以竺+2kn<—1<—+2kn,kGZ, 3153即5+15k

7、動物體的初相是 JL\JO(D) (A)三x-?陰 1033(C)三g 103解析:運動物體的相位是-X-?,初相是-?.故選D. JLUK_ZK-Z如圖所示，單擺從某點開始來回擺動，離開平衡位置0的位移s(cm) 與時間t(s)的函數(shù)關系式為s=6sin(2Jit+?),則單擺來回擺動一次所需的時間為s. 解析：因為單擺運動的周期為T二尹二1,故單擺來回擺動一次所需時間271 為1S. 答案:1如圖表示相對于平均海平面的某海灣的水面高度h(ni)在某天0? 24時的變化情況，則水面高度h關于時間t的函數(shù)解析式為? 解析:根據(jù)題圖設h二Asin(st+。),則A=6,T二

8、12,竺二12,所以。二匕點(6,0)為“五點”作圖法中的第一點,所以蘭X6+o二0,6 所以0二一Ji,所以h=6sin(-t-n)=-6sin^t,te[0,24]. 答案:h=-6sin-t,[0,24]6 sin(n 解析：由題意可知點P運動的角速度是牙二n(弧度/秒),那么點P運動t秒后ZPOx=ITt+號,又三角函數(shù)的定義可知，點P的縱坐標是sin(IT因此該質(zhì)點到X軸的距離y關于時間t的函數(shù)解析式是y二故選A. 3.在兩個彈簧上各有一個質(zhì)量分別為Mi和M2的小球做上下自由振動. 已知它們在時間t(s)離開平衡位置的位移sjcm)和s2(cm)分別由Si=5sin(2t

9、+￡),s2=10cos2t確定，則當t二籍s時,Si與S2的大小關系 63是(C)(A)si>s2(B)si

10、k=5,6 故這段時間水深的最大值為3+5=8(m).故選C. 顯課堂探究-素養(yǎng)培育 三Q探究點一三角函數(shù)在生活中的應用 ［例1］已知某海濱浴場的海浪高度y(米)是時間t(時)的函數(shù)，其中0 WtW24,記y二f(t),下表是某日各時的浪高數(shù)據(jù)： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1 0.5 0.99 1.5 經(jīng)長期觀測,y二f(t)的圖象可近似地看成是函數(shù)y二Acos?t+b的圖象 (1) 根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求其最小正周期、振幅及函數(shù)解析式； ⑵根據(jù)規(guī)定，當海浪高度大于1米時才對沖

11、浪愛好者開放，請依據(jù)⑴的結(jié)論，判斷一天內(nèi)的8:00到20:00之間，有多少時間可供沖浪者進行活動？ 解：(1)由表中數(shù)據(jù)可知,T=12, 所以3二6 又t=0時，y=l.5, 所以A+b=1.5; t=3時，y=l.0,得b=l.0, 所以振幅為!， 函數(shù)解析式為y=|cos^t+l(OWtW24). (2) 因為y>l時，才對沖浪愛好者開放， 所以y=；cos?t+l〉l,26 cos-t>0,2kn--<-t<2kJi+-,6262 即12k-3

12、個小時沖浪愛好者可以進行活動，即 即時訓練1_1:海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮. 一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐?在通常情況下,船在漲潮時駛進航道，靠 近碼頭;卸貨后，在落潮時返回海洋.下面是某港口在某季節(jié)每天的時間與水深的關系表: 時刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 水深/米 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 時刻 15:00 18:00 21:00 24:00 水深/米 7.5 5.0 2.5 5.0 ⑴若用函數(shù)f(t)=Asin(ot+)+h(A>0,co>0,9I〈；）來近似描述這 個

13、港口的水深和時間之間的對應關系，根據(jù)表中數(shù)據(jù)確定函數(shù)表 達式; ⑵一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4米,安全條例規(guī)定 要有2.25米的安全間隙（船底與洋底的距離），該船何時能進入港口? 解：（1）水深和時間之間的對應關系，周期T=12. 所以％ —a7.5一2.5517.5+2.5(- 可知—虧h=—一二5. 所以f(t)二:sin(?t+Q+5. 26 當t二3時f(3)=7.5. 即sin(3X-+^)=l. 6 因為I9I<7,所以。二0. 所以函數(shù)表達式為f(t)=Esin蘭t+5.(0〈tW24)26 (2)船底與水面的距離為4米,船底與洋底的

14、距離為2.25米, 所以yN6.25,BP-sin-t+5^6.25. 26 可得62 所以蘭+2knC-tW竺+2kn,keZ. 666 解得lWtW5或13WtW17. 故得該船lWtW5或13WtW17,能進入港口滿足安全要求. 寸方法總結(jié) 解三角函數(shù)應用問題的基本步驟 申清題意 建立函數(shù)模型 解答函數(shù)模型 讀憧題目中的“文字”“圖象”“符號”等語言,理解所反映的實際問題的背景，提煉出相應的數(shù)學問建 整理數(shù)據(jù)，引入變量,找出變化規(guī)律，運用巳掌握的三角函數(shù)知識、物理知識及其他相關知識建立關系式，即建立三角函數(shù)模型 利用所學的三角函數(shù)知識解答得到的三角函數(shù)模型，

15、求得結(jié)果得出結(jié)論 得出結(jié)論 將所得結(jié)論翻譯成實際問題的答案 拿易錯警示 (1) 實際問題中要注意函數(shù)的定義域. (2) 建立數(shù)學模型解決實際問題，所得的模型是近似的,并且得到的解也是近似的，這就需要根據(jù)實際背景對問題的解進行具體分析. 三。探究點二三角函數(shù)在物理中的應用［例2］已知電流I與時間t的關系為I二Asin(3t+9). 在一個周期內(nèi)的圖 (1) 如圖所示的是I二Asin(3t+e)(3>0,象根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求I=Asin(3t+0)的解析式;⑵如果t在任意-段看秒的時間內(nèi)，電流I=Asin(3t+Q都能取得最大值和最小值，那么①的最小正整數(shù)值是多少？解：⑴

16、由題圖知A=300,設tl=-—,t2=—, 900180則周期T=2（t2-tj=2（土+上）二土 18090075所以3二?二150兀.又當t二僉時，I=0,即sin(150Ji?— 180所以0二?? 6故所求的解析式為I=300sin(150n (2) 依題意，周期TW志,即滂制3＞。),所以3N300兀＞942,又3仁N*,故所求最小正整數(shù)①=943. 即時訓練2-1:交流電的電壓E(單位:V)與時間t(單位:s)的關系可用 E=220V3sin(100兀t+-)來表示，求： 6 (1) 開始時的電壓； (2) 電壓值重復出現(xiàn)一次的時間間隔； (3) 電壓的最大

17、值和第一次獲得最大值的時間. 解：⑴當t=0時,E=110V3, 即開始時的電壓為110必V. (2) T二嘉二土(s),即時間間隔為0.02s. 1001150 (3) 電壓的最大值為220V3V, 由100ITt+-=-,解得t=—. 62300 故當t二&S時，電壓第一次取得最大值. OUU寸方法總結(jié) 在物理學中,物體做簡諧運動時可用正弦型函數(shù)y=Asin(3x+Q表示物體振動的位移y隨時間x的變化規(guī)律,A為振幅，表示物體離開平衡位置的最大距離,T二竺為周期，表示物體往復振動一次所需的時間,f*為頻率，表示物體在單位時間內(nèi)往復運動的次數(shù). 三Q探究點三數(shù)據(jù)擬合模型

18、 ［例3］下表是某地某年月平均氣溫(華氏): 月份 1 2 3 4 5 6 平均 氣溫 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6  月份 7 8 9 10 11 12 平均 氣溫 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7 以月份為X軸(X二月份-1),以平均氣溫為y軸. (1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)畫出月份和溫度構(gòu)成的散點圖; (2)估計這個正弦曲線的周期T和振幅A; (3) 下面三個函數(shù)模型中，哪一個最適合這些數(shù)據(jù)? 解：(1)如圖. nx 6 7TX 6 日1r8070605040302010O ?% ?2 ? O It ? 8 ⑵最低氣溫為1月份21.4,最高氣溫為7月份73.0,故:二7-1二6,所以 T=12. 因為2A的值等于最高氣溫與最低氣溫的差， 即2A二73.0-21.4=51.6, 所以A二25.8. (3) 因為x二月份-1, 所以不妨取x=2-l=l,y=26.0.代入①,得三二籍當〉筋cos故①不適A25.86 合;代入②,得A^W：：6〈0Ucos三,故②不適合;代入③，得A25.86 絲二近性〉0且近竺&1,故③適合.所以應選③. -A-25.8-25.8