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1、 1

2、 1 學(xué)案29　等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.3.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.4.能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題． 自主梳理 1．等差數(shù)列的有關(guān)定義 (1)一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第____項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的____等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就

3、叫做等差數(shù)列．符號(hào)表示為_(kāi)___________ (n∈N*，d為常數(shù))． (2)數(shù)列a，A，b成等差數(shù)列的充要條件是__________，其中A叫做a，b的__________． 2．等差數(shù)列的有關(guān)公式 (1)通項(xiàng)公式：an＝________，an＝am＋________ (m，n∈N*)． (2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝__________＝____________. 3．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系 Sn＝n2＋n. 數(shù)列{an}是等差數(shù)列的充要條件是其前n項(xiàng)和公式Sn＝__________. 4．等差數(shù)列的性質(zhì) (1)若m＋n＝p＋q (m，n，p，q∈N*)，則有

4、__________，特別地，當(dāng)m＋n＝2p時(shí)，______________. (2)等差數(shù)列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差數(shù)列． (3)等差數(shù)列的單調(diào)性：若公差d>0，則數(shù)列為_(kāi)___________；若d<0，則數(shù)列為_(kāi)_________；若d＝0，則數(shù)列為_(kāi)_______． 自我檢測(cè) 1．(20xx·北京海淀區(qū)模擬)已知等差數(shù)列{an}中，a5＋a9－a7＝10，記Sn＝a1＋a2＋…＋an，則S13的值為 (　　) A．130

5、 B．260 C．156 D．168 2．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S3＝6，a3＝4，則公差d等于 (　　) A．1 B. C．2 D．3 3．(20xx·泰安一模)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若＝，則等于 (　　) A．1 B．－1 C．2 D. 4．(20xx·湖南師大附中)若等差數(shù)列{an}的前5項(xiàng)之和S5＝25，且a2＝3，則a7等于 (　　) A．12 B．13 C．14 D．15 5．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.

6、若S9＝72，則a2＋a4＋a9＝________. 探究點(diǎn)一　等差數(shù)列的基本量運(yùn)算 例1　等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn.已知a10＝30，a20＝50， (1)求通項(xiàng)an； (2)若Sn＝242，求n. 變式遷移1　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d (d≠0)，它的前10項(xiàng)和S10＝110，且a1，a2，a4成等比數(shù)列，求公差d和通項(xiàng)公式an. 探究點(diǎn)二　等差數(shù)列的判定 例2　已知數(shù)列{an}中，a1＝，an＝2－ (n≥2，n∈N*)，數(shù)列{bn}滿(mǎn)足bn＝ (n∈N*)． (1)求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}中的最

7、大值和最小值，并說(shuō)明理由． 變式遷移2　已知數(shù)列{an}中，a1＝5且an＝2an－1＋2n－1(n≥2且n∈N*)． (1)求a2，a3的值． (2)是否存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{}為等差數(shù)列？若存在，求出λ的值；若不存在，說(shuō)明理由． 探究點(diǎn)三　等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用 例3　若一個(gè)等差數(shù)列的前5項(xiàng)之和為34，最后5項(xiàng)之和為146，且所有項(xiàng)的和為360，求這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)． 變式遷移3　已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列． (1)前四項(xiàng)和為21，末四項(xiàng)和為67，且前n項(xiàng)和為286，求n； (2)若Sn＝20，S2n＝38，求S3n； (3)若項(xiàng)數(shù)

8、為奇數(shù)，且奇數(shù)項(xiàng)和為44，偶數(shù)項(xiàng)和為33，求數(shù)列的中間項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)． 探究點(diǎn)四　等差數(shù)列的綜合應(yīng)用 例4　(20xx·廈門(mén)月考)已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足2an＋1＝an＋an＋2 (n∈N*)，它的前n項(xiàng)和為Sn，且a3＝10，S6＝72.若bn＝an－30，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和的最小值． 變式遷移4　在等差數(shù)列{an}中，a16＋a17＋a18＝a9＝－36，其前n項(xiàng)和為Sn. (1)求Sn的最小值，并求出Sn取最小值時(shí)n的值． (2)求Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|. 1．等差數(shù)列的判斷方法有： (1)定義法：an＋1－an

9、＝d (d是常數(shù))?{an}是等差數(shù)列． (2)中項(xiàng)公式：2an＋1＝an＋an＋2 (n∈N*)?{an}是等差數(shù)列． (3)通項(xiàng)公式：an＝pn＋q (p，q為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列． (4)前n項(xiàng)和公式：Sn＝An2＋Bn(A、B為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列． 2．對(duì)于等差數(shù)列有關(guān)計(jì)算問(wèn)題主要圍繞著通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，在兩個(gè)公式中共五個(gè)量a1、d、n、an、Sn，已知其中三個(gè)量可求出剩余的量，而a與d是最基本的，它可以確定等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式． 3．要注意等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的靈活應(yīng)用，如an＝am＋(n－m)d，S2n－1＝(2n－1)an等．

10、 4．在遇到三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列問(wèn)題時(shí)，可設(shè)三個(gè)數(shù)為①a，a＋d，a＋2d；②a－d，a，a＋d；③a－d，a＋d，a＋3d等可視具體情況而定． (滿(mǎn)分：75分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．(20xx·重慶)在等差數(shù)列{an}中，a1＋a9＝10，則a5的值為 (　　) A．5 B．6 C．8 D．10 2．(20xx·全國(guó)Ⅱ)如果等差數(shù)列中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝ (　　) A．14 B．21 C．28 D．35 3．(20xx·山東濰坊五校聯(lián)合高三期中)已知{an

11、}是等差數(shù)列，a1＝－9，S3＝S7，那么使其前n項(xiàng)和Sn最小的n是 (　　) A．4 B．5 C．6 D．7 4．在等差數(shù)列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，則a9－a11的值為 (　　) A．14 B．15 C．16 D．17 5．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和滿(mǎn)足S20＝S40，下列結(jié)論中正確的是 (　　) A．S30是Sn中的最大值 B．S30是Sn中的最小值 C．S30＝

12、0 D．S60＝0 題號(hào) 1 2 3 4 5 答案 二、填空題(每小題4分，共12分) 6．(20xx·遼寧)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S3＝3，S6＝24，則a9＝________. 7．(2009·海南，寧夏)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，則m＝________. 8．在數(shù)列{an}中，若點(diǎn)(n，an)在經(jīng)過(guò)點(diǎn)(5,3)的定直線(xiàn)l上，則數(shù)列{an}的前9項(xiàng)和S9＝________. 三、解答題(共38分) 9．(12分)(20xx·莆田模擬)設(shè){an}是一個(gè)公差為d (

13、d≠0)的等差數(shù)列，它的前10項(xiàng)和S10＝110，且a＝a1a4. (1)證明：a1＝d； (2)求公差d的值和數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． 10．(12分)(20xx·山東)已知等差數(shù)列{an}滿(mǎn)足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n項(xiàng)和為Sn. (1)求an及Sn； (2)令bn＝ (n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 11．(14分)(20xx·廣東湛師附中第六次月考)在數(shù)列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)． (1)證明數(shù)列{}是等差數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)； (3)若λan＋≥λ對(duì)

14、任意n≥2的整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍． 答案 自主梳理 1．(1)2　差　an＋1－an＝d　(2)A＝　等差中項(xiàng) 2．(1)a1＋(n－1)d　(n－m)d　(2)na1＋d　　3.An2＋Bn　4.(1)am＋an＝ap＋aq　am＋an＝2ap　(3)遞增數(shù)列　遞減數(shù)列　常數(shù)列 自我檢測(cè) 1．A　2.C　3.A　4.B　5.24 課堂活動(dòng)區(qū) 例1　解題導(dǎo)引　(1)等差數(shù)列{an}中，a1和d是兩個(gè)基本量，用它們可以表示數(shù)列中的任何一項(xiàng)，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，列方程組解a1和d，是解決等差數(shù)列問(wèn)題的常用方法；(2)由a1，d，n，an，

15、Sn這五個(gè)量中的三個(gè)量可求出其余兩個(gè)量，需選用恰當(dāng)?shù)墓剑梅匠探M觀點(diǎn)求解． 解　(1)由an＝a1＋(n－1)d，a10＝30，a20＝50， 得方程組　解得 所以an＝2n＋10. (2)由Sn＝na1＋d，Sn＝242. 得12n＋×2＝242. 解得n＝11或n＝－22(舍去)． 變式遷移1　解　由題意，知 即 ∵d≠0，∴a1＝d.解得a1＝d＝2，∴an＝2n. 例2　解題導(dǎo)引　1.等差數(shù)列的判定通常有兩種方法： 第一種是利用定義，即an－an－1＝d(常數(shù))(n≥2)，第二種是利用等差中項(xiàng)，即2an＝an＋1＋an－1 (n≥2)． 2．解選擇、填空題

16、時(shí)，亦可用通項(xiàng)或前n項(xiàng)和直接判斷． (1)通項(xiàng)法：若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù)，即an＝An＋B，則{an}是等差數(shù)列． (2)前n項(xiàng)和法：若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn是Sn＝An2＋Bn的形式(A，B是常數(shù))，則{an}為等差數(shù)列． 3．若判斷一個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列，則只需說(shuō)明任意連續(xù)三項(xiàng)不是等差數(shù)列即可． (1)證明　∵an＝2－ (n≥2，n∈N*)，bn＝， ∴當(dāng)n≥2時(shí)，bn－bn－1＝－ ＝－ ＝－＝1. 又b1＝＝－. ∴數(shù)列{bn}是以－為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列． (2)解　由(1)知，bn＝n－，則an＝1＋ ＝1＋，設(shè)函數(shù)f(x)＝1＋，

17、 易知f(x)在區(qū)間和內(nèi)為減函數(shù)． ∴當(dāng)n＝3時(shí)，an取得最小值－1； 當(dāng)n＝4時(shí)，an取得最大值3. 變式遷移2　解　(1)∵a1＝5，∴a2＝2a1＋22－1＝13， a3＝2a2＋23－1＝33. (2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{}為等差數(shù)列． 設(shè)bn＝，由{bn}為等差數(shù)列，則有2b2＝b1＋b3. ∴2×＝＋. ∴＝＋， 解得λ＝－1. 事實(shí)上，bn＋1－bn＝－ ＝[(an＋1－2an)＋1]＝[(2n＋1－1)＋1]＝1. 綜上可知，存在實(shí)數(shù)λ＝－1，使得數(shù)列{}為首項(xiàng)為2、公差為1的等差數(shù)列． 例3　解題導(dǎo)引　本題可運(yùn)用倒序求和的方法和等差數(shù)列的性質(zhì)：

18、若m＋n＝p＋q (m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq，從中我們可以體會(huì)運(yùn)用性質(zhì)解決問(wèn)題的方便與簡(jiǎn)捷，應(yīng)注意運(yùn)用；也可用整體思想(把a(bǔ)1＋d看作整體)． 解　方法一　設(shè)此等差數(shù)列為{an}共n項(xiàng)， 依題意有a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝34，① an＋an－1＋an－2＋an－3＋an－4＝146. ② 根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)，得 a5＋an－4＝a4＋an－3＝a3＋an－2＝a2＋an－1＝a1＋an. 將①②兩式相加，得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋(a3＋an－2)＋(a4＋an－3)＋(a5＋an－4)＝5(a1＋an)＝180， ∴a1＋an＝36.

19、 由Sn＝＝＝360，得n＝20. 所以該等差數(shù)列有20項(xiàng)． 方法二　設(shè)此等差數(shù)列共有n項(xiàng)，首項(xiàng)為a1，公差為d， 則S5＝5a1＋d＝34，① Sn－Sn－5＝[＋na1]－[(n－5)a1＋d] ＝5a1＋(5n－15)d＝146.② ①②兩式相加可得10a1＋5(n－1)d＝180， ∴a1＋d＝18， 代入Sn＝na1＋d ＝n＝360， 得18n＝360，∴n＝20. 所以該數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為20項(xiàng)． 變式遷移3　解　(1)依題意，知a1＋a2＋a3＋a4＝21， an－3＋an－2＋an－1＋an＝67， ∴a1＋a2＋a3＋a4＋an－3＋an－2＋an－1

20、＋an＝88. ∴a1＋an＝＝22. ∵Sn＝＝286，∴n＝26. (2)∵Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差數(shù)列， ∴S3n＝3(S2n－Sn)＝54. (3)設(shè)項(xiàng)數(shù)為2n－1 (n∈N*)，則奇數(shù)項(xiàng)有n項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)有n－1項(xiàng)，中間項(xiàng)為an，則 S奇＝＝n·an＝44， S偶＝＝(n－1)·an＝33， ∴＝. ∴n＝4，an＝11. ∴數(shù)列的中間項(xiàng)為11，項(xiàng)數(shù)為7. 例4　解題導(dǎo)引　若{an}是等差數(shù)列， 求前n項(xiàng)和的最值時(shí)， (1)若a1>0，d<0，且滿(mǎn)足，前n項(xiàng)和Sn最大； (2)若a1<0，d>0，且滿(mǎn)足，前n項(xiàng)和Sn最??； (3)除上面方法外

21、，還可將{an}的前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題看作Sn關(guān)于n的二次函數(shù)最值問(wèn)題，利用二次函數(shù)的圖象或配方法求解，注意n∈N*. 解　方法一　∵2an＋1＝an＋an＋2，∴{an}是等差數(shù)列． 設(shè){an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，由a3＝10，S6＝72， 得，∴. ∴an＝4n－2.則bn＝an－30＝2n－31. 解得≤n≤. ∵n∈N*，∴n＝15.∴{bn}前15項(xiàng)為負(fù)值. ∴S15最?。? 可知b1＝－29，d＝2， ∴S15＝＝－225. 方法二　同方法一求出bn＝2n－31. ∵Sn＝＝n2－30n＝(n－15)2－225， ∴當(dāng)n＝15時(shí)，Sn有最小值，且最小值為－22

22、5. 變式遷移4　解　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d， ∵a16＋a17＋a18＝3a17＝－36， ∴a17＝－12，∴d＝＝3， ∴an＝a9＋(n－9)·d＝3n－63， an＋1＝3n－60， 令，得20≤n≤21， ∴S20＝S21＝－630， ∴n＝20或21時(shí)，Sn最小且最小值為－630. (2)由(1)知前20項(xiàng)小于零，第21項(xiàng)等于0，以后各項(xiàng)均為正數(shù)． 當(dāng)n≤21時(shí)，Tn＝－Sn＝－n2＋n. 當(dāng)n>21時(shí)，Tn＝Sn－2S21＝n2－n＋1 260. 綜上，Tn＝. 課后練習(xí)區(qū) 1．A　2.C　3.B　4.C　5.D 6．15　

23、7.10　8.27 9．(1)證明　∵{an}是等差數(shù)列，∴a2＝a1＋d，a4＝a1＋3d，又a＝a1a4，于是(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，即a＋2a1d＋d2＝a＋3a1d (d≠0)．化簡(jiǎn)得a1＝d.…………………………(6分) (2)解　由條件S10＝110和S10＝10a1＋d，得到10a1＋45d＝110. 由(1)知，a1＝d，代入上式得55d＝110， 故d＝2，an＝a1＋(n－1)d＝2n. 因此，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n，n∈N*.…………………………………………(12分) 10．解　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，由于a3＝

24、7，a5＋a7＝26， 所以a1＋2d＝7,2a1＋10d＝26， 解得a1＝3，d＝2.…………………………………………………………………………(4分) 由于an＝a1＋(n－1)d，Sn＝， 所以an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)．…………………………………………………………(6分) (2)因?yàn)閍n＝2n＋1，所以a－1＝4n(n＋1)， 因此bn＝＝.………………………………………………………(8分) 故Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝ ＝＝. 所以數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn＝.…………………………………………………(12分) 11．(1)證明　將3anan－1＋an

25、－an－1＝0(n≥2)整理得－＝3(n≥2)． 所以數(shù)列{}為以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列．…………………………………(4分) (2)解　由(1)可得＝1＋3(n－1)＝3n－2， 所以an＝.……………………………………………………………………………(7分) (3)解　若λan＋≥λ對(duì)n≥2的整數(shù)恒成立， 即＋3n＋1≥λ對(duì)n≥2的整數(shù)恒成立． 整理得λ≤………………………………………………………………(9分) 令cn＝ cn＋1－cn＝－＝.………………………(11分) 因?yàn)閚≥2，所以cn＋1－cn>0， 即數(shù)列{cn}為單調(diào)遞增數(shù)列，所以c2最小，c2＝. 所以λ的取值范圍為(－∞，]．……………………………………………………(14分)