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課時跟蹤訓練(九) 指數與指數函數
[基礎鞏固]
一、選擇題
1．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b為常數)的圖象經過點(2,1)，則f(x)的值域為( )
A．[9,81] B．[3,9]
C．[1,9] D．[1，＋∞)
[解析] 由題得32－b＝1，∴b＝2，∴f(x)＝3x－2，又x∈[2,4]，∴f(x)∈[1,9]，選C.
[答案] C
2．(2017北京卷)已知函數f(x)＝3x－x，則f(x)( )
A．是奇函數，且在R上是增函數
B．是偶函數，且在R上是增函數
C．是奇函數，且在R上是減函數
D．是偶函數，且在R上是減函數
[解析] 因為f(x)＝3x－x，且定義域為R，所以f(－x)＝3－x－－x＝x－3x＝－＝－f(x)，即函數f(x)是奇函數．又y＝3x在R上是增函數，y＝x在R上是減函數，所以f(x)＝3x－x在R上是增函數．故選A.
[答案] A
A．－ B．－
C．－ D．－6ab
[解析] ＝－，故選C.
[答案] C
4．設a＝40.8，b＝80.46，c＝－1.2，則a，b，c的大小關系為( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．c>b>a
[解析] ∵a＝40.8＝21.6，b＝80.46＝21.38，c＝－1.2＝21.2,1.6>1.38>1.2，y＝2x為R上的增函數，
∴a>b>c.
[答案] A
5．函數y＝的單調增區(qū)間是( )
A. B．(－∞，－1]
C．[2，＋∞) D．
[解析] 由－x2＋x＋2≥0，解得－1≤x≤2，故函數y＝的定義域為[－1,2]．根據復合函數“同增異減”原則，得所求增區(qū)間為.
[答案] D
6．(2017山東濰坊三模)已知a＝，b＝，c＝，則( )
A．a
x＋4的解集為________．
[解析] 2－x2＋2x >2－x－4，∴－x2＋2x>－x－4，即x2－3x－4<0，∴－10，且a≠1)，且f(－2)>f(－3)，則a的取值范圍是________．
[解析] 因為f(x)＝a－x＝x，
且f(－2)>f(－3)，
所以函數f(x)在定義域上單調遞增，
所以>1，解得00，a≠1)的定義域和值域都是[0,2]，則實數a＝________.
[解析] 當a>1時，f(x)為增函數，
∴，∴a＝；
當00，且a≠1)，滿足f(1)＝，則f(x)的單調遞減區(qū)間是( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
[解析] 由f(1)＝，得a2＝，解得a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝|2x－4|.由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上遞減，在[2，＋∞)上遞增，所以f(x)在(－∞，2]上遞增，在[2，＋∞)上遞減．
[答案] B
12．(2017河南安陽模擬)已知函數f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，如果以P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))為端點的線段的中點在y軸上，那么f(x1)f(x2)等于( )
A．1 B．a
C．2 D．a2
[解析] ∵以P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))為端點的線段的中點在y軸上，
∴x1＋x2＝0.
又∵f(x)＝ax，
∴f(x1)f(x2)＝a x1a x2＝a x1＋x2＝a0＝1.
[答案] A
13．(2017四川巴中檢測)定義在R上的奇函數f(x)和偶函數g(x)滿足f(x)＋g(x)＝ex，給出如下結論：
①f(x)＝且02f(x0)g(x0)．其中所有正確結論的序號是( )
A．①②③ B．②③
C．①③④ D．①②③④
[解析] 由題意得，
?
①：00且a≠1)對應的圖象如圖所示，那么g(x)＝__________.
[解析] 函數f(x)的圖象過點，所以a＝.當x<0時，g(x)＝－f(－x)＝－－x＝－2x.
[答案]?。?x
15．(2017陜西西安二模)若函數f(x)＝ax－2－2a(a>0，a≠1)的圖象恒過定點，則函數f(x)在[0,3]上的最小值等于________．
[解析] 令x－2＝0得x＝2，且f(2)＝1－2a，所以函數f(x)的圖象恒過定點(2,1－2a)，因此x0＝2，a＝，于是f(x)＝x－2－，f(x)在R上單調遞減，故函數f(x)在[0,3]上的最小值為f(3)＝－.
[答案]?。?
16．(2017天津期末)已知函數f(x)＝ex－e－x(x∈R，且e為自然對數的底數)．
(1)判斷函數f(x)的單調性與奇偶性；
(2)是否存在實數t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0對一切x∈R都成立？若存在，求出t；若不存在，請說明理由．
[解] (1)∵f(x)＝ex－x，
∴f′(x)＝ex＋x，
∴f′(x)>0對任意x∈R都成立，
∴f(x)在R上是增函數．
又∵f(x)的定義域為R，且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，
∴f(x)是奇函數．
(2)存在．由(1)知f(x)在R上是增函數和奇函數，則f(x－t)＋f(x2－t2)≥0對一切x∈R都成立，
?f(x2－t2)≥f(t－x)對一切x∈R都成立，
?x2－t2≥t－x對一切x∈R都成立，
?t2＋t≤x2＋x＝2－對一切x∈R都成立，
?t2＋t≤(x2＋x)min＝－?t2＋t＋＝2≤0，
又2≥0，
∴2＝0，∴t＝－.
∴存在t＝－，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0對一切x∈R都成立．
[延伸拓展]
設[x]表示不超過實數x的最大整數，如[2.6]＝2，[－2.6]＝－3.設g(x)＝(a>0，且a≠1)，那么函數f(x)＝＋的值域為( )
A．{－1,0,1} B．{0,1}
C．{1，－1} D．{－1,0}
[解析] ∵g(x)＝，∴g(－x)＝，
∴0
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