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第4講 證明不等式的基本方法
[考綱解讀] 了解不等式證明的基本方法：比較法、綜合法、分析法，并能應(yīng)用它們證明一些簡單的不等式．(重點(diǎn)、難點(diǎn))
[考向預(yù)測] 從近三年高考情況來看，本講是高考命題的一個熱點(diǎn). 預(yù)測2020年將會考查：①與基本不等式結(jié)合證明不等式；②與恒成立、探索性問題結(jié)合，題型為解答題，屬中檔題型.
1．基本不等式
定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．
定理2：如果a，b>0，那么≥，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立，即兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于(即大于或等于)它們的幾何平均數(shù)．
定理3：如果a，b，c∈R＋，那么≥，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時，等號成立．
2．比較法
3．綜合法與分析法
(1)綜合法：一般地，從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過一系列的推理、論證而得出命題成立．
(2)分析法：從要證的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實(shí)(定義，公理或已證明的定理，性質(zhì)等)，從而得出要證的命題成立．
1．概念辨析
(1)設(shè)x＝a＋2b，S＝a＋b2＋1則S≥x.( )
(2)若>1，則x＋2y>x－y.( )
(3)|a＋b|＋|a－b|≥|2a|.( )
(4)若實(shí)數(shù)x，y適合不等式xy>1，x＋y>－2，則x>0，y>0.( )
答案 (1)√ (2) (3)√ (4)√
2．小題熱身
(1)下列四個不等式：①logx10＋lg x≥2(x>1)；②|a－b|<|a|＋|b|；③≥2(ab≠0)；④|x－1|＋|x－2|≥1，其中恒成立的個數(shù)是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 logx10＋lg x＝＋lg x≥2(x>1)，①正確．
ab≤0時，|a－b|＝|a|＋|b|，②不正確；
因?yàn)閍b≠0，與同號，
所以＝＋≥2，③正確；
由|x－1|＋|x－2|的幾何意義知，
|x－1|＋|x－2|≥1恒成立，④正確，
綜上①③④正確．故選C.
(2)已知a，b是不相等的正數(shù)，x＝，y＝，z＝(ab)0.25，則x，y，z的大小關(guān)系是( )
A．x>y>z B．x
x>z D．yz2，y2－x2＝＝>0，
∴y2>x2>z2，又x>0，y>0，z>0，∴y>x>z.
(3)設(shè)x＝a2b2＋5，y＝2ab－a2－4a，若x>y，則實(shí)數(shù)a，b應(yīng)滿足的條件為________．
答案 ab≠1或a≠－2
解析 因?yàn)閤－y＝(a2b2＋5)－(2ab－a2－4a)
＝(a2b2－2ab＋1)＋(a2＋4a＋4)
＝(ab－1)2＋(a＋2)2>0，
若x>y，則實(shí)數(shù)a，b應(yīng)滿足的條件為ab≠1或a≠－2.
題型 比較法證明不等式
1．設(shè)函數(shù)f(x)＝|x－2|＋2x－3，記f(x)≤－1的解集為M.
(1)求M；
(2)當(dāng)x∈M時，證明：x[f(x)]2≤x2f(x)．
解 (1)由已知，得f(x)＝
當(dāng)x≤2時，由f(x)＝x－1≤－1，
解得x≤0，此時x≤0；
當(dāng)x>2時，由f(x)＝3x－5≤－1，
解得x≤，顯然不成立．
故f(x)≤－1的解集為M＝{x|x≤0}．
(2)證明：當(dāng)x∈M時，f(x)＝x－1，
于是x[f(x)]2－x2f(x)＝x(x－1)2－x2(x－1)
＝－x2＋x＝－2＋.
令g(x)＝－2＋，
則函數(shù)g(x)在(－∞，0]上是增函數(shù)，
∴g(x)≤g(0)＝0.
x[f(x)]2－x2f(x)≤0，故x[f(x)]2≤x2f(x)．
2．(2018吉林長春模擬)(1)如果關(guān)于x的不等式|x＋1|＋|x－5|≤m的解集不是空集，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(2)若a，b均為正數(shù)，求證：aabb≥abba.
解 (1)令y＝|x＋1|＋|x－5|＝可知|x＋1|＋|x－5|≥6，故要使不等式|x＋1|＋|x－5|≤m的解集不是空集，有m≥6.
(2)證明：由a，b均為正數(shù)，則要證aabb≥abba，
只要證aa－bbb－a≥1，整理得a－b≥1.
當(dāng)a≥b時，a－b≥0，可得a－b≥1；
當(dāng)a1.
可知a，b均為正數(shù)時，a－b≥1，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立，從而aabb≥abba成立．
1．作差比較法
(1)作差比較法證明不等式的四步驟
(2)作差比較法的應(yīng)用范圍
當(dāng)被證的不等式兩端是多項(xiàng)式、分式或?qū)?shù)式時，一般使用作差比較法．
2．作商比較法
(1)作商比較法證明不等式的一般步驟
(2)作商比較法的應(yīng)用范圍
當(dāng)被證的不等式兩邊含有冪式或指數(shù)式或乘積式時，一般使用作商比較法．
已知函數(shù)f(x)＝|x－1|＋|x＋1|，P為不等式f(x)>4的解集．
(1)求P；
(2)證明：當(dāng)m，n∈P時，|mn＋4|>2|m＋n|.
解 (1)f(x)＝|x－1|＋|x＋1|＝
由f(x)的單調(diào)性及f(x)>4，得x>2或x<－2.
所以不等式f(x)>4的解集P＝{x|x>2或x<－2}．
(2)證明：由(1)可知|m|>2，|n|>2，
所以m2>4，n2>4，
所以(mn＋4)2－4(m＋n)2＝(m2－4)(n2－4)>0，
所以(mn＋4)2>4(m＋n)2，
從而有|mn＋4|>2|m＋n|.
題型 綜合法證明不等式
(2018合肥三模)已知函數(shù)f(x)＝|x－1|＋|x－3|.
(1)解不等式f(x)≤x＋1；
(2)設(shè)函數(shù)f(x)的最小值為c，實(shí)數(shù)a，b滿足a>0，b>0，a＋b＝c.求證：＋≥1.
解 (1)f(x)≤x＋1，即|x－1|＋|x－3|≤x＋1.
①當(dāng)x<1時，不等式可化為4－2x≤x＋1，x≥1.
又∵x<1，∴x∈?；
②當(dāng)1≤x≤3時，不等式可化為2≤x＋1，x≥1.
又∵1≤x≤3，∴1≤x≤3.
③當(dāng)x>3時，不等式可化為2x－4≤x＋1，x≤5.
又∵x>3，∴31，n>1，a＝m－1，b＝n－1，m＋n＝4，
＋＝＋
＝m＋n＋＋－4
＝≥＝1，原不等式得證．
1．綜合法證明不等式的方法
(1)綜合法證明不等式，要著力分析已知與求證之間，不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系．合理進(jìn)行轉(zhuǎn)換，恰當(dāng)選擇已知不等式，這是證明的關(guān)鍵；
(2)在用綜合法證明不等式時，不等式的性質(zhì)和基本不等式是最常用的．在運(yùn)用這些性質(zhì)時，要注意性質(zhì)成立的前提條件．
2．綜合法證明時常用的不等式
(1)a2≥0.
(2)|a|≥0.
(3)a2＋b2≥2ab，它的變形形式有
a2＋b2≥2|ab|；a2＋b2≥－2ab；(a＋b)2≥4ab；
a2＋b2≥(a＋b)2；≥2.
(4)≥，它的變形形式有
a＋≥2(a>0)；＋≥2(ab>0)；
＋≤－2(ab<0).
設(shè)函數(shù)f(x)＝|x－1|＋|x＋2|，若不等式f(x)≥9的解集是{x|x≤p或x≥q}．
(1)求p，q的值；
(2)若實(shí)數(shù)a，b，c滿足a(b＋c)＝q，證明：2a2＋b2＋c2－p≥13.
解 (1)由f(x)≥9，得|x－1|＋|x＋2|≥9，
得或
或解得x≤－5或x≥4，
所以不等式f(x)≥9的解集是{x|x≤－5或x≥4}．
又不等式f(x)≥9的解集是{x|x≤p或x≥q}，
所以p＝－5，q＝4.
(2)若a(b＋c)＝q，則a(b＋c)＝4，
即ab＋ac＝4.
因?yàn)閍b≤，ac≤，
所以ab＋ac≤＋，
即ab＋ac≤，
即4≤，
所以2a2＋b2＋c2≥8，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時取等號．
而p＝－5，所以2a2＋b2＋c2－p≥13.原命題得證．
題型 分析法證明不等式
已知函數(shù)f(x)＝|x－3|.
(1)若不等式f(x－1)＋f(x)f.
證明：要證>f，
只需證|ab－3|>|b－3a|，
即證(ab－3)2>(b－3a)2，
又(ab－3)2－(b－3a)2＝a2b2－9a2－b2＋9
＝(a2－1)(b2－9)．
因?yàn)閨a|<1，|b|<3，所以(ab－3)2>(b－3a)2成立，所以原不等式成立．
1．分析法的應(yīng)用條件
當(dāng)所證明的不等式不能使用比較法，且和重要不等式(a2＋b2≥2ab)、基本不等式?jīng)]有直接聯(lián)系，較難發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的關(guān)系時，可用分析法來尋找證明途徑，使用分析法證明的關(guān)鍵是推理的每一步必須可逆．
2．用分析法證“若A則B”這個命題的模式
為了證明命題B為真，
只需證明命題B1為真，從而有……
只需證明命題B2為真，從而有……
……
只需證明命題A為真，而已知A為真，故B必真．
某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下5個不等關(guān)系式子：
①－1>2－；②2－>－；③－>－2；④－2>－；⑤－>2－.
(1)上述五個式子有相同的不等關(guān)系，分析其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，請你再寫出一個類似的不等式；
(2)請寫出一個更一般的不等式，使以上不等式為它的特殊情況，并證明．
解 (1)－2>－3(答案不唯一)．
(2)－>－.
證明：要證原不等式，只需證
＋>＋，
因?yàn)椴坏仁絻蛇叾即笥?，只需證
2a＋3＋2>2a＋3＋2，
只需證>，
只需證a2＋3a＋2>a2＋3a，
只需證2>0，顯然成立，所以原不等式成立．
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