（浙江專(zhuān)版）2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 基本初等函數(shù)（Ⅰ）2.2 對(duì)數(shù)函數(shù)學(xué)案 新人教A版必修1.doc
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2.2 2．2.1 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算 第一課時(shí) 對(duì)數(shù) 預(yù)習(xí)課本P62～63，思考并完成以下問(wèn)題 (1) 對(duì)數(shù)的定義是什么？底數(shù)和真數(shù)又分別是什么？ (2)什么是常用對(duì)數(shù)和自然對(duì)數(shù)？ (3)如何進(jìn)行對(duì)數(shù)式和指數(shù)式的互化？ 1．對(duì)數(shù)的概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)． [點(diǎn)睛] logaN是一個(gè)數(shù)，是一種取對(duì)數(shù)的運(yùn)算，結(jié)果仍是一個(gè)數(shù)，不可分開(kāi)書(shū)寫(xiě)． 2．常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù) 通常將以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，以e為底的對(duì)數(shù)稱(chēng)為自然對(duì)數(shù)，log10N可簡(jiǎn)記為lg_N，logeN簡(jiǎn)記為ln_N. 3．對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系 若a＞0，且a≠1，則ax＝N?logaN＝x. 對(duì)數(shù)恒等式：alogaN＝N；logaax＝x(a＞0，且a≠1)． 4．對(duì)數(shù)的性質(zhì) (1)1的對(duì)數(shù)為零； (2)底的對(duì)數(shù)為1； (3)零和負(fù)數(shù)沒(méi)有對(duì)數(shù)． 1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“”) (1)logaN是loga與N的乘積．( ) (2)(－2)3＝－8可化為log(－2)(－8)＝3.( ) (3)對(duì)數(shù)運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是求冪指數(shù)．( ) 答案：(1) (2) (3)√ 2．若a2＝M(a＞0且a≠1)，則有( ) A．log2M＝a B．logaM＝2 C．loga2＝M D．.log2a＝M 答案：B 3．log21＋log22＝( ) A．3 B．2 C．1 D．.0 答案：C 4．已知log3＝0，則x＝________. 答案：3 指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化 [例1] 將下列指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式： (1)3－2＝； (2)－2＝16； (3)log27＝－3; (4)log64＝－6. [解] (1)∵3－2＝，∴l(xiāng)og3＝－2. (2)∵－2＝16，∴l(xiāng)og16＝－2. (3)∵log27＝－3，∴－3＝27. (4)∵log64＝－6，∴()－6＝64. 指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化的方法 (1)將指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，只需要將冪作為真數(shù)，指數(shù)當(dāng)成對(duì)數(shù)值，底數(shù)不變，寫(xiě)出對(duì)數(shù)式； (2)將對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式，只需將真數(shù)作為冪，對(duì)數(shù)作為指數(shù)，底數(shù)不變，寫(xiě)出指數(shù)式． [活學(xué)活用] 1．將下列指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式： (1)2－7＝； (2)3a＝27； (3)10－1＝0.1; (4)log32＝－5； (5)lg 0.001＝－3. 解：(1)log2＝－7. (2)log327＝a. (3)lg 0.1＝－1. (4)－5＝32. 對(duì)數(shù)的計(jì)算 (5)10－3＝0.001. [例2] 求下列各式中的x的值： (1)log64x＝－； (2)logx8＝6； (3)lg 100＝x; (4)－ln e2＝x. [解] (1)x＝(64)＝(43) ＝4－2＝. (2)x6＝8，所以x＝(x6)＝8＝(23) ＝2＝. (3)10x＝100＝102，于是x＝2. (4)由－ln e2＝x，得－x＝ln e2，即e－x＝e2.所以x＝－2. 求對(duì)數(shù)值的3個(gè)步驟 (1)設(shè)出所求對(duì)數(shù)值； (2)把對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式； (3)解有關(guān)方程，求得結(jié)果． [活學(xué)活用] 2．求下列各式中的x值： (1)logx27＝； (2)log2x＝－； (3)x＝log27； (4)x＝log16. 解：(1)由logx27＝，可得x＝27， ∴x＝27＝＝32＝9. (2)由log2x＝－，可得x＝2. ∴x＝＝＝. (3)由x＝log27，可得27x＝， ∴33x＝3－2，∴x＝－. (4)由x＝log16，可得x＝16. ∴2－x＝24，∴x＝－4. 對(duì)數(shù)的性質(zhì) [例3] 求下列各式中x的值： (1)log2(log5x)＝0； (2)log3(lg x)＝1； (3)log3(log4(log5x))＝0. [解] (1)∵log2(log5x)＝0， ∴l(xiāng)og5x＝20＝1，∴x＝51＝5. (2)∵log3(lg x)＝1，∴l(xiāng)g x＝31＝3， ∴x＝103＝1 000. (3)由log3(log4(log5x))＝0可得log4(log5x)＝1，故log5x＝4，所以x＝54＝625. [一題多變] 1．[變條件]本例(3)中若將“l(fā)og3(log4(log5x))＝0”改為“l(fā)og3(log4(log5x))＝1”，又如何求解x呢？ 解：由log3(log4(log5x))＝1可得，log4(log5x)＝3，則log5x＝43＝64，所以x＝564. 2．[變?cè)O(shè)問(wèn)]在本例(3)條件下，計(jì)算625的值． 解：因?yàn)閤＝625，則625＝3. 3．[變條件]本例(3)中若將“l(fā)og3(log4(log5x))＝0”改為“3＝1”，又如何求解x呢？ 解：由3＝1可得log4(log5x)＝1，故log5x＝4，所以x＝54＝625. 1．利用對(duì)數(shù)性質(zhì)求解的2類(lèi)問(wèn)題的解法 (1)求多重對(duì)數(shù)式的值解題方法是由內(nèi)到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值． (2)已知多重對(duì)數(shù)式的值，求變量值，應(yīng)從外到內(nèi)求，逐步脫去“l(fā)og”后再求解． 2．性質(zhì)alogaN＝N與logaab＝b的作用 (1)alogaN＝N的作用在于能把任意一個(gè)正實(shí)數(shù)轉(zhuǎn)化為以a為底的指數(shù)形式． (2)logaab＝b的作用在于能把以a為底的指數(shù)轉(zhuǎn)化為一個(gè)實(shí)數(shù)． 層級(jí)一 學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo) 1．將－2＝9寫(xiě)成對(duì)數(shù)式，正確的是( ) A．log9＝－2 B．log9＝－2 C．log (－2)＝9 D．log9(－2)＝ 解析：選B 根據(jù)對(duì)數(shù)的定義，得log9＝－2，故選 B. 2．方程2log3x＝的解是( ) A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝9 解析：選A ∵2log3x＝2－2，∴l(xiāng)og3x＝－2， ∴x＝3－2＝. 3．使對(duì)數(shù)loga(－2a＋1)有意義的a的取值范圍為( ) A．a(chǎn)＞且a≠1 B．0＜a＜ C．a(chǎn)＞0且a≠1 D．a(chǎn)＜ 解析：選B 由對(duì)數(shù)的概念可知使對(duì)數(shù)loga(－2a＋1)有意義的a需滿足解得0＜a＜. 4．下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化不正確的一組是( ) A．e0＝1與ln 1＝0 B．8－＝與log8＝－ C．log39＝2與9＝3 D．.log77＝1與71＝7 解析：選C 由指對(duì)互化的關(guān)系： ax＝N?x＝logaN可知A、B、D都正確；C中l(wèi)og39＝2?9＝32. 5．已知x2＋y2－4x－2y＋5＝0，則logx(yx)的值是( ) A．1 B．0 C．x D. y 解析：選B 由x2＋y2－4x－2y＋5＝0，得(x－2)2＋(y－1)2＝0，∴x＝2，y＝1，∴l(xiāng)ogx(yx)＝log2(12)＝0. 6．lg 10 000＝________；lg 0.001＝________. 解析：由104＝10 000知lg 10 000＝4,10－3＝0.001得lg 0.001＝－3. 答案：4 －3 7．方程log2(1－2x)＝1的解x＝________. 解析：∵log2(1－2x)＝1＝log22， ∴1－2x＝2， ∴x＝－. 經(jīng)檢驗(yàn)滿足1－2x>0. 答案：－ 8．已知log7(log3(log2x))＝0，那么x＝________. 解析：由題意得：log3(log2x)＝1，即log2x＝3， 轉(zhuǎn)化為指數(shù)式則有x＝23＝8， ∴x－＝8－＝＝＝＝. 答案： 9．將下列指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式． (1)53＝125； (2)4－2＝； (3)log8＝－3； (4)log3＝－3. 解：(1)∵53＝125，∴l(xiāng)og5125＝3. (2)∵4－2＝，∴l(xiāng)og4＝－2. (3)∵log8＝－3，∴－3＝8. (4)∵log3＝－3，∴3－3＝. 10．若logx＝m，logy＝m＋2，求的值． 解：∵logx＝m，∴m＝x，x2＝2m. ∵logy＝m＋2，∴m＋2＝y(tǒng)，y＝2m＋4. ∴＝＝2m－(2m＋4)＝－4＝16. 層級(jí)二 應(yīng)試能力達(dá)標(biāo) 1．若loga＝c，則下列關(guān)系式中正確的是( ) A．b＝a5c B．b5＝ac C．b＝5ac D. b＝c5a 解析：選A 由loga＝c，得ac＝，∴b＝(ac)5＝a5c. 2．方程lg(x2－1)＝lg(2x＋2)的根為( ) A．－3 B．3 C．－1或3 D．.1或－3 解析：選B 由lg(x2－1)＝lg(2x＋2)，得x2－1＝2x＋2，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.經(jīng)檢驗(yàn)x＝－1是增根，所以原方程的根為x＝3. 3.的值為( ) A．6 B. C．8 D. 解析：選C?。剑?＝24＝8. 4．若a>0，a＝，則loga等于( ) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：選B ∵a＝，a>0， ∴a＝＝3， 設(shè)loga＝x，∴x＝a. ∴x＝3. 5．使方程(lg x)2－lg x＝0的x的值為_(kāi)_______． 解析：由lg x(lg x－1)＝0得lg x＝0或lg x＝1，即x＝1或x＝10. 答案：1或10 6．計(jì)算23＋log23＋32－log39＝________. 解析：23＋log23＋32－log39＝232log23＋＝83＋＝25. 答案：25 7．已知log2(log3(log4x))＝0，且log4(log2y)＝1.求y的值． 解：∵log2(log3(log4x))＝0， ∴l(xiāng)og3(log4x)＝1， ∴l(xiāng)og4x＝3，∴x＝43＝64. 由log4(log2y)＝1，知log2y＝4， ∴y＝24＝16. 因此y＝16＝88＝64. 8．(1)已知log189＝a，log1854＝b，求182a－b的值； (2)已知logx27＝31＋log32，求x的值． 解：(1)∵log189＝a，log1854＝b，∴18a＝9,18b＝54， ∴182a－b＝＝＝. (2)logx27＝31＋log32＝33log32＝32＝6. ∴x6＝27，∴x6＝33，又x＞0，∴x＝. 第二課時(shí) 對(duì)數(shù)的運(yùn)算 預(yù)習(xí)課本P64～67，思考并完成以下問(wèn)題 (1)對(duì)數(shù)具有哪三條運(yùn)算性質(zhì)？ (2)換底公式是如何表述的？ 1．對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) 若a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(MN)＝logaM＋logaN， (2)loga＝logaM－logaN， (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． [點(diǎn)睛] 對(duì)數(shù)的這三條運(yùn)算性質(zhì)，都要注意只有當(dāng)式子中所有的對(duì)數(shù)都有意義時(shí)， 等式才成立．例如，log2[(－3)(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是錯(cuò)誤的． 2．換底公式 若c>0且c≠1，則logab＝(a>0，且a≠1，b>0)． 1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“”) (1)積、商的對(duì)數(shù)可以化為對(duì)數(shù)的和、差． ( ) (2)loga(xy＝logaxlogay. ( ) (3)log2(－5)2＝2log2(－5)． ( ) (4)由換底公式可得logab＝. ( ) 答案：(1)√ (2) (3) (4) 2．計(jì)算log84＋log82等于( ) A．log86 B．8 C．6 D．.1 答案：D 3．計(jì)算log510－log52等于( ) A．log58 B．lg 5 C．1 D．.2 答案：C 4．log48＝________. 對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用 答案： [例1] 求下列各式的值： (1)log2(4725)； (2)lg； (3)lg 14－2 lg＋lg 7－lg 18； (4)lg 52＋ lg 8＋lg 5lg 20＋(lg 2)2. [解] (1)log2(4725)＝log247＋log225＝7log24＋5log22＝72＋51＝19. (2)lg ＝lg 100＝lg 100＝2＝. (3)lg 14－2lg＋lg 7－lg 18＝lg(27)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(322)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0. (4)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3. 對(duì)數(shù)式化簡(jiǎn)與求值的基本原則和方法 (1)基本原則： 對(duì)數(shù)的化簡(jiǎn)求值一般是正用或逆用公式，對(duì)真數(shù)進(jìn)行處理，選哪種策略化簡(jiǎn)，取決于問(wèn)題的實(shí)際情況，一般本著便于真數(shù)化簡(jiǎn)的原則進(jìn)行． (2)兩種常用的方法： ①“收”，將同底的兩對(duì)數(shù)的和(差)收成積(商)的對(duì)數(shù)； ②“拆”，將積(商)的對(duì)數(shù)拆成同底的兩對(duì)數(shù)的和(差)． [活學(xué)活用] 1．求下列各式的值： (1)lg 0.000 01； (2)ln . (3)2log32－log3＋log38－5log53 ； (4). 解：(1)lg 0.000 01＝lg 10－5＝－5lg 10＝－5. (2)ln＝ln e＝. (3)原式＝2log32－(log332－log39)＋3log32－3＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1. (4)原式＝ 對(duì)數(shù)換底公式的應(yīng)用 ＝＝.、 [例2] 計(jì)算(1)log29log34；(2). [解] (1)由換底公式可得， log29log34＝＝＝4. (2)原式＝＝loglog 9 ＝＝＝－. 換底公式的應(yīng)用技巧 (1)換底公式的作用是將不同底數(shù)的對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化成同底數(shù)的對(duì)數(shù)式，將一般對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)式或常用對(duì)數(shù)式來(lái)運(yùn)算．要注意換底公式的正用、逆用及變形應(yīng)用． (2)題目中有指數(shù)式和對(duì)數(shù)式時(shí)，要注意將指數(shù)式與對(duì)數(shù)式進(jìn)行互化，統(tǒng)一成一種形式． [活學(xué)活用] 2．計(jì)算(log43＋log83). 解：原式＝ ＝＋ ＝＋＝. 對(duì)數(shù)的綜合應(yīng)用 [例3] (1)在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度v(單位：m/s)和燃料的質(zhì)量M(單位：kg)，火箭(除燃料外)的質(zhì)量m(單位：kg)滿足ev＝2 000(e為自然對(duì)數(shù)的底)．(ln 3≈1.099) 當(dāng)燃料質(zhì)量M為火箭(除燃料外)質(zhì)量m的兩倍時(shí)，求火箭的最大速度(單位：m/s)． (2)已知log189＝a,18b＝5，求log3645.(用a，b表示) [解] (1)因?yàn)関＝ln2 000 ＝2 000ln， 所以v＝2 000ln 3≈2 0001.099＝2 198(m/s)． 故當(dāng)燃料質(zhì)量M為火箭質(zhì)量m的兩倍時(shí)，火箭的最大速度為2 198 m/s. (2)因?yàn)?8b＝5，所以b＝log185. 所以log3645＝＝ ＝＝ ＝＝ ＝. [一題多變] 1．[變?cè)O(shè)問(wèn)]若本例(2)條件不變，如何求log1845(用a，b表示)? 解：因?yàn)?8b＝5，所以log185＝b，所以log1845＝log189＋log185＝a＋ B. 2．[變條件]若將本例(2)條件“l(fā)og189＝a,18b＝5”改為“l(fā)og94＝a,9b＝5”，則又如何求解呢？ 解：因?yàn)?b＝5，所以log95＝B. 所以log3645＝＝ ＝＝. 解對(duì)數(shù)綜合應(yīng)用問(wèn)題的3種方法 (1)統(tǒng)一化：所求為對(duì)數(shù)式，條件轉(zhuǎn)為對(duì)數(shù)式． (2)選底數(shù)：針對(duì)具體問(wèn)題，選擇恰當(dāng)?shù)牡讛?shù)． (3)會(huì)結(jié)合：學(xué)會(huì)換底公式與對(duì)數(shù)運(yùn)算法則結(jié)合使用． 層級(jí)一 學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo) 1.＝( ) A. B．2 C. D. 解析：選B 原式＝＝＝2. 2．2log510＋log50.25＝( ) A．0 B．1 C．2 D．.4 解析：選C 原式＝log5102＋log50.25＝log5(1020.25)＝log525＝2. 3．若a＞0，且a≠1，則下列說(shuō)法正確的是( ) A．若M＝N，則logaM＝logaN B．若logaM＝logaN，則M＝N C．若logaM2＝logaN2，則M＝N D．.若M＝N，則logaM2＝logaN2 解析：選B 在A中，當(dāng)M＝N≤0時(shí)，logaM與logaN均無(wú)意義，因此logaM＝logaN不成立，故A錯(cuò)誤；在B中，當(dāng)logaM＝logaN時(shí)，必有M＞0，N＞0，且M＝N，因此M＝N成立，故B正確；在C中，當(dāng)logaM2＝logaN2時(shí)，有M≠0，N≠0，且M2＝N2，即|M|＝|N|，但未必有M＝N，例如M＝2，N＝－2時(shí)，也有l(wèi)ogaM2＝logaN2，但M≠N，故C錯(cuò)誤；在D中，若M＝N＝0，則logaM2與logaN2均無(wú)意義，因此logaM2＝logaN2不成立，故D錯(cuò)誤． 4．設(shè)a＝log32，則log38－2log36用a表示的形式是( ) A．a(chǎn)－2 B．3a－(1＋a)2 C．5a－2 D．－a2＋3a－1 解析：選A ∵a＝log32， ∴l(xiāng)og38－2log36＝3log32－2(log32＋1)＝3a－2(a＋1)＝a－2. 5．計(jì)算log225log32log59的結(jié)果為( ) A．3 B．4 C．5 D．.6 解析：選D 原式＝＝＝6. 6．已知a2＝(a＞0)，則loga＝________. 解析：由a2＝(a＞0)得a＝， 所以log＝log2＝2. 答案：2 7．lg ＋lg的值是________． 解析：lg＋lg＝lg＝lg 10＝1. 答案：1 8．若logablog3a＝4，則b的值為_(kāi)_______． 解析：logablog3a＝＝＝4， 所以lg b＝4lg 3＝lg 34，所以b＝34＝81. 答案：81 9．用lg x，lg y，lg z表示下列各式： (1)lg(xyz)； (2)lg； (3)lg； (4)lg . 解：(1)lg (xyz)＝lg x＋lg y＋lg z. (2)lg ＝lg(xy2)－lg z＝lg x＋2lg y－lg z. (3)lg ＝lg(xy3)－lg ＝lg x＋3lg y－lg z. (4)lg ＝lg －lg (y2z) ＝lg x－2lg y－lg z. 10．求下列各式的值： (1)2log525＋3log264； (2)lg(＋)； (3)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2. 解：(1)∵2log525＝2log552＝4log55＝4， 3log264＝3log226＝18log22＝18， ∴2log525＋3log264＝4＋18＝22. (2)原式＝lg(＋)2 ＝lg(3＋＋3－＋2) ＝lg 10＝. (3)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2 ＝(lg 5)2－(lg 2)2＋2lg 2 ＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2 ＝lg 10(lg 5－lg 2)＋2lg 2 ＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1. 層級(jí)二 應(yīng)試能力達(dá)標(biāo) 1．若log5 log36log6x＝2，則x等于( ) A．9 B. C．25 D. 解析：選D 由換底公式，得＝2，lg x＝－2lg 5，x＝5－2＝. 2．若ab＞0，給出下列四個(gè)等式： ①lg(ab)＝lg a＋lg b； ②lg ＝lg a－lg b； ③lg2＝lg ； ④lg(ab)＝. 其中一定成立的等式的序號(hào)是( ) A．①②③④ B．①② C．③④ D．③ 解析：選D ∵ab＞0，∴a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，∴①②中的等式不一定成立；∵ab＞0，∴＞0，lg2＝2lg＝lg，∴③中等式成立；當(dāng)ab＝1時(shí)，lg(ab)＝0，但logab10無(wú)意義，∴④中等式不成立．故選D. 3．若lg x－lg y＝t，則lg3－lg3＝( ) A．3t B.t C．t D. 解析：選A lg3－lg3＝3lg－3lg＝3lg＝3(lg x－lg y)＝3t. 4．若2.5x＝1 000,0.25y＝1 000，則－＝( ) A. B．3 C．－ D．－3 解析：選A ∵x＝log2.51 000，y＝log0.251 000， ∴＝＝log1 0002.5， 同理＝log1 0000.25， ∴－＝log1 0002.5－log1 0000.25＝log1 00010＝＝. 5.＝________. 解析：＝＝＝＝＝1. 答案：1 6．若lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，則＝________. 解析：因?yàn)閘g x＋lg y＝2lg(x－2y)， 所以 由xy＝(x－2y)2，知x2－5xy＋4y2＝0， 所以x＝y(tǒng)或x＝4y.又x＞0，y＞0且x－2y＞0， 所以舍去x＝y(tǒng)，故x＝4y，則＝4. 答案：4 7．計(jì)算下列各式的值： (1)log535＋2log－log5－log514； (2)[(1－log63)2＋log62log618]log64. 解：(1)原式＝log535＋log550－log514＋2log2 ＝log5＋log2＝log553－1＝2. (2)原式＝[(log66－log63)2＋log62log6(232)]log64 ＝log622 ＝[(log62)2＋(log62)2＋2log62log63]2log62 ＝log62＋log63＝log6(23)＝1. 8．若a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的兩個(gè)實(shí)根，求lg(ab)(logab＋logba)的值． 解：原方程可化為2(lg x)2－4lg x＋1＝0. 設(shè)t＝lg x，則方程化為2t2－4t＋1＝0， ∴t1＋t2＝2，t1t2＝. 又∵a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的兩個(gè)實(shí)根， ∴t1＝lg a，t2＝lg b， 即lg a＋lg b＝2，lg alg b＝. ∴l(xiāng)g(ab)(logab＋logba) ＝(lg a＋lg b) ＝(lg a＋lg b) ＝(lg a＋lg b) ＝2＝12， 即lg(ab)(logab＋logba )＝12. 2．2.2 對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì) 第一課時(shí) 對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì) 預(yù)習(xí)課本P70～73，思考并完成以下問(wèn)題 (1)對(duì)數(shù)函數(shù)的概念是什么？它的解析式具有什么特點(diǎn)？ (2)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象是什么，通過(guò)圖象可觀察到對(duì)數(shù)函數(shù)具有哪些性質(zhì)？ (3)反函數(shù)的概念是什么？ 1．對(duì)數(shù)函數(shù)的概念 函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0，＋∞)． [點(diǎn)睛] 形如y＝2log2x，y＝log2都不是對(duì)數(shù)函數(shù)，可稱(chēng)其為對(duì)數(shù)型函數(shù)． 2．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì) a的范圍 0＜a＜1 a＞1 圖 象 a的范圍 0＜a＜1 a＞1 性質(zhì) 定義域 (0，＋∞) 值域 R 定點(diǎn) (1,0)，即x＝1時(shí)，y＝0 單調(diào)性 在(0，＋∞)上是減函數(shù) 在(0，＋∞)上是增函數(shù) [點(diǎn)睛] 底數(shù)a與1的大小關(guān)系決定了對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的“升降”：當(dāng)a＞1時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象“上升”；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象“下降”． 3．反函數(shù) 指數(shù)函數(shù)y＝ax和對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0且a≠1)互為反函數(shù)． 1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“”) (1)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)镽. ( ) (2)y＝log2x2與logx3都不是對(duì)數(shù)函數(shù)． ( ) (3)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象一定在y軸右側(cè)． ( ) (4)函數(shù)y＝log2x與y＝x2互為反函數(shù)． ( ) 答案：(1) (2)√ (3)√ (4) 2．下列函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的是( ) A．y＝ln x B．y＝ln(x＋1) C．y＝logxe D．y＝logxx 答案：A 3．函數(shù)f(x)＝log2(x－1)的定義域是( ) A．[1，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－∞，1) D. (－∞，1] 答案：B 4．已知y＝ax在R上是增函數(shù)，則y＝logax在(0，＋∞)上是________函數(shù)．(填“增”或“減”) 答案：增 對(duì)數(shù)函數(shù)的概念 [例1] 指出下列函數(shù)哪些是對(duì)數(shù)函數(shù)？ (1)y＝3log2x； (2)y＝log6x； (3)y＝logx5; (4)log2x＋1. [解] (1)log2x的系數(shù)是3，不是1，不是對(duì)數(shù)函數(shù)． (2)符合對(duì)數(shù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式，是對(duì)數(shù)函數(shù)． (3)自變量在底數(shù)位置上，不是對(duì)數(shù)函數(shù)． (4)對(duì)數(shù)式log2x后又加上1，不是對(duì)數(shù)函數(shù)． 判斷一個(gè)函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的方法 [活學(xué)活用] 1．函數(shù)f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是對(duì)數(shù)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝________. 解析：a2－a＋1＝1，解得a＝0或1. 又a＋1＞0，且a＋1≠1，∴a＝1. 求對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域 答案：1 [例2] 求下列函數(shù)的定義域： (1)y＝log5(1－x); (2)y＝log(1－x)5； (3)y＝； (4)y＝ . [解] (1)要使函數(shù)式有意義，需1－x>0，解得x<1，所以函數(shù)y＝log5(1－x)的定義域是{x|x<1}． (2)要使函數(shù)式有意義，需解得x<1，且x≠0，所以函數(shù)y＝log1－x5的定義域是{x|x<1，且x≠0}． (3)要使函數(shù)式有意義，需解得x<4，且x≠3，所以函數(shù)y＝的定義域是{x|x<4，且x≠3}． (4)要使函數(shù)式有意義，需解得＜x≤1，所以函數(shù)y＝的定義域是. 求對(duì)數(shù)型函數(shù)定義域的原則 (1)分母不能為0. (2)根指數(shù)為偶數(shù)時(shí)，被開(kāi)方數(shù)非負(fù)． (3)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，底數(shù)大于0且不為1. [活學(xué)活用] 2．求下列函數(shù)的定義域： (1)y＝lg(x＋1)＋； (2)y＝logx－2(5－x)． 解：(1)要使函數(shù)式有意義，需∴ ∴－1＜x＜1.∴該函數(shù)的定義域?yàn)?－1,1)． (2)要使函數(shù)式有意義，需∴ ∴2＜x＜5，且x≠3. ∴該函數(shù)的定義域?yàn)?2,3)∪(3,5). 對(duì)數(shù)型函數(shù)的圖象問(wèn)題 題點(diǎn)一：對(duì)數(shù)型函數(shù)圖象的判斷 1．當(dāng)a＞1時(shí)，在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝a－x與y＝logax的圖象為( ) 解析：選C y＝a－x＝x，∵a＞1，∴0＜＜1，則y＝a－x在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)，過(guò)定點(diǎn)(0,1)；對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax在(0，＋∞)上是增函數(shù)，過(guò)定點(diǎn)(1,0)．故選C. 題點(diǎn)二：作對(duì)數(shù)型函數(shù)的圖象 2．已知f(x)＝loga|x|，滿足f(－5)＝1，試畫(huà)出函數(shù)f(x)的圖象． 解：因?yàn)閒(－5)＝1，所以loga5＝1，即a＝5，故f(x)＝log5|x|＝ 所以函數(shù)y＝log5|x|的圖象如圖所示． 題點(diǎn)三：對(duì)數(shù)型函數(shù)圖象的數(shù)據(jù)分析 3．如圖，若C1，C2分別為函數(shù)y＝logax和y＝logbx的圖象，則( ) A．0＜a＜b＜1 B．0＜b＜a＜1 C．a(chǎn)＞b＞1 D．b＞a＞1 解析：選B 作直線y＝1，則直線與C1，C2的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為a，b，易知0＜b＜a＜1. 有關(guān)對(duì)數(shù)型函數(shù)圖象問(wèn)題的應(yīng)用技巧 (1)求函數(shù)y＝m＋logaf(x)(a＞0，且a≠1)的圖象過(guò)定點(diǎn)時(shí)，只需令f(x)＝1求出x，即得定點(diǎn)為(x，m)． (2)給出函數(shù)解析式判斷函數(shù)的圖象，應(yīng)首先考慮函數(shù)對(duì)應(yīng)的基本初等函數(shù)是哪一種；其次找出函數(shù)圖象的特殊點(diǎn)，判斷函數(shù)的基本性質(zhì)、定義域、單調(diào)性以及奇偶性等；最后綜合上述幾個(gè)方面將圖象選出，解決此類(lèi)題目常采用排除法． (3)根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)圖象判斷底數(shù)大小的方法：作直線y＝1與所給圖象相交，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為各個(gè)底數(shù)，根據(jù)在第一象限內(nèi)，自左向右，圖象對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)逐漸變大，可比較底數(shù)的大?。? 層級(jí)一 學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo) 1．函數(shù)f(x)＝＋lg(1＋x)的定義域是( ) A．(－∞，－1) B．(1，＋∞) C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞) 解析：選C 由題意知 解得x>－1且x≠1. 2．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)M(16,4)，則此對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式為( ) A．y＝log4x B．y＝logx C．y＝logx D．.y＝log2x 解析：選D 由于對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)M(16,4)，所以4＝loga16，得a＝2.所以對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式為y＝log2x，故選D. 3．函數(shù)f(x)＝log2(3x＋1)的值域?yàn)? ) A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．(1，＋∞) D．[1，＋∞) 解析：選A ∵3x＞0，∴3x＋1＞1.∴l(xiāng)og2(3x＋1)＞0. ∴函數(shù)f(x)的值域?yàn)?0，＋∞)． 4．函數(shù)y＝lg(x＋1)的圖象大致是( ) 解析：選C 由底數(shù)大于1可排除A、B，y＝lg(x＋1)可看作是y＝lg x的圖象向左平移1個(gè)單位．(或令x＝0得y＝0，而且函數(shù)為增函數(shù)) 5．若函數(shù)y＝f(x)是函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函數(shù)且f(2)＝1，則f(x)＝( ) A．log2x B. C．logx D．2x－2 解析：選A 函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函數(shù)是f(x)＝logax， 又f(2)＝1，即loga2＝1，所以a＝2.故f(x)＝log2x. 6．若f(x)＝logax＋(a2－4a－5)是對(duì)數(shù)函數(shù)，則a＝________. 解析：由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義可知， 解得a＝5. 答案：5 7．已知函數(shù)y＝loga(x－3)－1的圖象恒過(guò)定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是________． 解析：y＝logax的圖象恒過(guò)點(diǎn)(1,0)，令x－3＝1，得x＝4，則y＝－1. 答案：(4，－1) 8．若f(x)是對(duì)數(shù)函數(shù)且f(9)＝2，當(dāng)x∈[1,3]時(shí)，f(x)的值域是________． 解析：設(shè)f(x)＝logax，因?yàn)閘oga9＝2，所以a＝3，即f(x)＝log3x.又因?yàn)閤∈[1,3]，所以0≤f(x)≤1. 答案：[0,1] 9．若函數(shù)y＝loga(x＋a)(a＞0且a≠1)的圖象過(guò)點(diǎn)(－1,0)． (1)求a的值； (2)求函數(shù)的定義域． 解：(1)將(－1,0)代入y＝loga(x＋a)(a＞0，a≠1)中， 有0＝loga(－1＋a)，則－1＋a＝1，所以a＝2. (2)由(1)知y＝log2(x＋2)，由x＋2＞0，解得x＞－2， 所以函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x＞－2}． 10．求下列函數(shù)的定義域與值域： (1)y＝log2(x－2)；(2)y＝log4(x2＋8)． 解：(1)由x－2＞0，得x＞2， 所以函數(shù)y＝log2(x－2)的定義域是(2，＋∞)，值域是R. (2)因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)x，log4(x2＋8)都有意義，所以函數(shù)y＝log4(x2＋8)的定義域是R. 又因?yàn)閤2＋8≥8， 所以log4(x2＋8)≥log48＝，即函數(shù)y＝log4(x2＋8)的值域是. 層級(jí)二 應(yīng)試能力達(dá)標(biāo) 1．函數(shù)y＝2＋log2x(x≥1)的值域?yàn)? ) A．(2，＋∞) B．(－∞，2) C．[2，＋∞) D．[3，＋∞) 解析：選C 當(dāng)x≥1時(shí)，log2x≥0，所以y＝2＋log2x≥2. 2．函數(shù)f(x)＝的定義域是( ) A．[4，＋∞) B．(10，＋∞) C．(4,10)∪(10，＋∞) D．[4,10)∪(10，＋∞) 解析：選D 由解得∴x≥4且x≠10， ∴函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇4,10)∪(10，＋∞)．故選D. 3．函數(shù)f(x)＝的定義域?yàn)?0,10]，則實(shí)數(shù)a的值為( ) A．0 B．10 C．1 D. 解析：選C 由已知，得a－lg x≥0的解集為(0,10]，由a－lg x≥0，得lg x≤a，又當(dāng)0＜x≤10時(shí)，lg x≤1，所以a＝1，故選C. 4．函數(shù)f(x)＝loga|x|＋1(a＞1)的圖象大致為( ) 解析：選C 函數(shù)f(x)＝loga|x|＋1(a＞1)是偶函數(shù)， ∴f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝logax＋1是增函數(shù)；當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝loga(－x)＋1是減函數(shù)，又∵圖象過(guò)(1,1)，(－1,1)兩點(diǎn)，結(jié)合選項(xiàng)可知，選C. 5．如果函數(shù)f(x)＝(3－a)x，g(x)＝logax的增減性相同，則a的取值范圍是________． 解析：若f(x)，g(x)均為增函數(shù)，則即1＜a＜2， 若f(x)，g(x)均為減函數(shù)，則無(wú)解． 答案：(1,2) 6．已知函數(shù)f(x)＝|logx|的定義域?yàn)?，值域?yàn)閇0,1]，則m的取值范圍為_(kāi)_______． 解析：作出f(x)＝|logx|的圖象(如圖)可知f ＝f(2)＝1，f(1)＝0，由題意結(jié)合圖象知：1≤m≤2. 答案：[1,2] 7．已知f(x)＝log3x. (1)作出這個(gè)函數(shù)的圖象； (2)若f(a)下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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