2018年高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式 3.2 一元二次不等式學(xué)案 蘇教版選修5.doc
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3.2 第一課時(shí) 一元二次不等式的解法 預(yù)習(xí)課本P75~80,思考并完成以下問(wèn)題 (1)什么樣的不等式是一元二次不等式? (2)如何求解一元二次不等式? (3)怎樣理解三個(gè)二次之間的關(guān)系? 1.一元二次不等式 我們把只含有一個(gè)未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式叫做一元二次不等式,即形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式. 2.一元二次不等式的解與解集 使一元二次不等式成立的x的值,叫做這個(gè)一元二次不等式的解,其解的集合,稱為這個(gè)一元二次不等式的解集. 3.一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系如表 判別式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象 一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根 有兩相異實(shí)根x1,x2(x1<x2) 有兩相等實(shí)根 x1=x2=- 沒(méi)有實(shí)數(shù)根 ax2+bx+c>0(a>0) 的解集 或x>x2} R ax2+bx+c<0(a>0) 的解集 ? ? 1.不等式9x2+6x+1≤0的解集是________. 解析:變形為(3x+1)2≤0,∴x=-. 答案: 2.不等式2x+35-x2>0的解集是________. 解析:原不等式等價(jià)于x2-2x-35<0,即(x+5)(x-7)<0,即-50,則x>q或x0; (2)x(4-x)≤x(x+3)-3. 解:(1)原不等式可化為2x2-3x-2<0, ∴(2x+1)(x-2)<0. 故原不等式的解集是. (2)原不等式可化為2x2-x-3≥0, ∴(2x-3)(x+1)≥0, 故原不等式的解集是. 簡(jiǎn)單分式不等式的解法 [典例] 解不等式:>1. [解] 法一:原不等式化為-1>0, 即>0,所以x-4與x+3同號(hào). 故有或 解得x>4或x<-3, 所以原不等式的解集為{x|x<-3或x>4}. 法二:原不等式化為>0, 等價(jià)于(x-4)(x+3)>0, ∴原不等式解集為{x|x<-3或x>4}. 簡(jiǎn)單的分式不等式在求解時(shí)多化為>0,<0的形式,在變形的過(guò)程中,要注意等價(jià)性,同時(shí)要注意不等式是否含有等號(hào),如≥0?或但不等價(jià)于f(x)g(x)≥0. [活學(xué)活用] 不等式≥2的解集為_(kāi)___________. 解析:≥2化為-2≥0, 即≥0,即≤0. 它等價(jià)于?-1≤x<0. ∴原不等式解集為{x|-1≤x<0}. 答案:{x|-1≤x<0} 三個(gè)“二次”關(guān)系的應(yīng)用 [典例] 已知一元二次不等式x2+px+q<0的解集為,求不等式qx2+px+1>0的解集. [解] 因?yàn)閤2+px+q<0的解集為 , 所以x1=-與x2=是方程x2+px+q=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根, 由根與系數(shù)的關(guān)系得解得 所以不等式qx2+px+1>0即為-x2+x+1>0,整理得x2-x-6<0,解得-2<x <3. 即不等式qx2+px+1>0的解集為{x|-2<x<3}. 1.一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集的端點(diǎn)值是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,也是函數(shù)y=ax2+bx+c與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo). 2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象在x軸上方的部分,是由不等式ax2+bx+c>0的x的值構(gòu)成的;圖象在x軸下方的部分,是由不等式ax2+bx+c<0的x的值構(gòu)成的,三者之間相互依存、相互轉(zhuǎn)化. [活學(xué)活用] 1.已知x的不等式<0的解集是(-∞,-1)∪,則a=____________. 解析:<0等價(jià)于(ax-1)(x+1)<0. 即ax2+(a-1)x-1<0. ∴-1,-是方程ax2+(a-1)x-1=0的根. ∴解得a=-2. 答案:-2 2.已知不等式ax2+bx+c>0的解集為{x|2
0的解集. 解:由題意知即 代入不等式cx2-bx+a>0,得6ax2+5ax+a>0(a<0).即6x2+5x+1<0,解得- x的解集是________. 解析:由x2>x,得x(x-1)>0,所以解集為(-∞,0)∪(1,+∞). 答案:(-∞,0)∪(1,+∞) 2.不等式(x+2)≤0的解集為_(kāi)_______. 解析:或x2-9=0,即或x=3,即x≤-3或x=3. 答案:(-∞,-3]∪{3} 3.不等式組的解集為_(kāi)___________. 解析:∵x2-1<0的解集為{x|-1 3. 答案:[-3,1)∪(3,+∞) 7.若關(guān)于x的不等式2x2-8x-4-a>0在1 0即可. 即242-84-4-a>0,解得a<-4. 答案:(-∞,-4) 8.不等式<1的解集為{x|x<1或x>2},那么a的值為_(kāi)_______. 解析:<1化為-1<0,即<0. 等價(jià)于[(a-1)x+1](x-1)<0. ∴(a-1)x2-(a-2)x-1<0. ∴1,2是方程(a-1)x2-(a-2)x-1=0的兩個(gè)根. ∴解得a=. 答案: 9.求函數(shù)y=lg(x2-2x-3)+的定義域. 解:依題意可得 解得 ∴不等式組的解是-2 0恒成立. (1)當(dāng)a=0時(shí),不等式為2>0,顯然恒成立; (2)當(dāng)a≠0時(shí),有即 所以00},則A∩B=________. 解析:A={x|x2-5x+4≤0}={x|1≤x≤4},B={x|x2-5x+6>0}={x|x<2或x>3},所以A∩B={x|1≤x<2或3 0的解集為(-2,1),則不等式ax2+(a+b)x+c-a<0的解集為_(kāi)_______. 解析:由題意,∵不等式ax2+bx+c>0的解集為(-2,1),∴a<0,-2+1=-,(-2)1=, ∴b=a,c=-2a, ∴不等式ax2+(a+b)x+c-a<0為ax2+2ax-3a<0, 即x2+2x-3>0, (x+3)(x-1)>0, ∴x<-3或x>1. 答案:(-∞,-3)∪(1,+∞) 4.關(guān)于x的不等式ax-b>0的解集是,則關(guān)于x的不等式>0的解集是________. 解析:不等式ax-b>0的解集是?a>0,且a-2b=0,則不等式>0等價(jià)于>0?(x-1)(x-5)<0?1 0的解集為,則2x2+bx+a<0的解集為_(kāi)_______. 解析:由題意知-,是方程ax2+bx+2=0的兩實(shí)根,由根與系數(shù)的關(guān)系得, 解得 ∴2x2+bx+a<0可化為2x2-2x-12<0. 即x2-x-6<0. ∴(x-3)(x+2)<0,解得-2 m+2}. ∵A??RB,∴m-2>3或m+2<-1, ∴m>5或m<-3. 故m的取值范圍為(-∞,-3)∪(5,+∞). 8.已知不等式ax2+bx+c>0的解集為(1,t),記函數(shù)f(x)=ax2+(a-b)x-c. (1)求證:函數(shù)y=f(x)必有兩個(gè)不同的零點(diǎn); (2)若函數(shù)y=f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為m,n,求|m-n|的取值范圍. 解:(1)證明:由題意知a+b+c=0,且->1, ∴a<0且>1,∴ac>0,∴對(duì)于函數(shù)f(x)=ax2+(a-b)x-c有Δ=(a-b)2+4ac>0, ∴函數(shù)y=f(x)必有兩個(gè)不同的零點(diǎn). (2)|m-n|2=(m+n)2-4mn===2+8+4, 由不等式ax2+bx+c>0的解集為(1,t)可知,方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)解分別為1和t(t>1),由根與系數(shù)的關(guān)系知=t,∴|m-n|2=t2+8t+4,t∈(1,+∞). ∴|m-n|>, ∴|m-n|的取值范圍為(,+∞). 第二課時(shí) 一元二次不等式的解法及其應(yīng)用(習(xí)題課) 解含參數(shù)的一元二次不等式 [典例] 已知a>0,解關(guān)于x的不等式(x-2)(ax-2)>0. [解] 當(dāng)a>0時(shí),原不等式可化為 (x-2)>0. (1)當(dāng)01時(shí),兩根的大小順序?yàn)?>,原不等式的解集為. 綜上所述, 當(dāng)01時(shí),原不等式解集為. 解含參數(shù)的不等式時(shí),若二次項(xiàng)系數(shù)為常數(shù),可先考慮分解因式再對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論;若不易分解因式則可對(duì)判別式分類討論;若二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù),則應(yīng)先考慮二次項(xiàng)系數(shù)為零的情形,然后考慮二次項(xiàng)系數(shù)不為零的情形,以便確定解集的形式;其次,對(duì)相應(yīng)的方程的根進(jìn)行討論,比較大小,以便寫(xiě)出解集.另外,注意參數(shù)的取值范圍,并在此范圍內(nèi)進(jìn)行分類討論. [活學(xué)活用] 解關(guān)于x的不等式ax2-2≥2x-ax(a≥0). 解:原不等式可變形為ax2+(a-2)x-2≥0, (1)當(dāng)a=0時(shí),原不等式的解集為{x|x≤-1}; (2)當(dāng)a>0時(shí),原不等式可變形為(ax-2)(x+1)≥0, 方程(ax-2)(x+1)=0的解為x1=,x2=-1. 所以不等式的解集為. 綜上,a=0時(shí),原不等式的解集為{x|x≤-1}; a>0時(shí),原不等式的解集為. 一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用 [典例] 某摩托車生產(chǎn)企業(yè),上年度生產(chǎn)摩托車的投入成本為1萬(wàn)元/輛,出廠價(jià)為1.2萬(wàn)元/輛,年銷售量為1 000輛.本年度為適應(yīng)市場(chǎng)需求,計(jì)劃提高產(chǎn)品檔次,適度增加投入成本.若每輛車投入成本增加的比例為x(0<x<1),則出廠價(jià)相應(yīng)提高的比例為0.75x,同時(shí)預(yù)計(jì)年銷售量增加的比例為0.6x.設(shè)年利潤(rùn)=(出廠價(jià)-投入成本)年銷售量. (1)寫(xiě)出本年度預(yù)計(jì)的年利潤(rùn)y與投入成本增加的比例x的關(guān)系式; (2)為使本年度的年利潤(rùn)比上年有所增加,問(wèn)投入成本增加的比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi)? [解] (1)依題意,得 y=[1.2(1+0.75x)-(1+x)]1 000(1+0.6x) =1 000(-0.06x2+0.02x+0.2), 所以本年度預(yù)計(jì)的年利潤(rùn)y與投入成本增加的比例x的關(guān)系式為y=1 000(-0.06x2+0.02x+0.2). (2)依題意,得 1 000(-0.06x2+0.02x+0.2)>(1.2-1)1 000, 化簡(jiǎn),得3x2-x<0,解得0<x<. 所以為使本年度的年利潤(rùn)比上年有所增加,投入成本增加的比例x的范圍是. 解不等式應(yīng)用題的4個(gè)步驟 (1)認(rèn)真審題,抓住問(wèn)題中的關(guān)鍵詞,找準(zhǔn)不等關(guān)系; (2)引入數(shù)學(xué)符號(hào),用不等式表示不等關(guān)系,使其數(shù)學(xué)化; (3)求解不等式; (4)還原實(shí)際問(wèn)題. [活學(xué)活用] 某文具店購(gòu)進(jìn)一批新型臺(tái)燈,若按每盞臺(tái)燈15元的價(jià)格銷售,每天能賣出30盞;若售價(jià)每提高1元,日銷售量將減少2盞,為了使這批臺(tái)燈每天獲得400元以上(不含400元)的銷售收入,應(yīng)怎樣制訂這批臺(tái)燈的銷售價(jià)格? 解:設(shè)這批臺(tái)燈的銷售價(jià)定為x元,則[30-(x-15)2]x>400,即x2-30x+200<0,因方程x2-30x+200=0的兩根為x1=10,x2=20,所以x2-30x+200<0的解為10 0,(x-2)m>-x2+4x-4,因?yàn)閤∈[-1,1],所以x-2<0,所以m<=-(x-2),所以m<1.即m的取值范圍為(-∞,1). 3.[變條件、變?cè)O(shè)問(wèn)]對(duì)任意m∈[-1,1],函數(shù)f(x)=x2+(m-4)x+4-2m的值恒大于零,求x的取值范圍. 解:由f(x)=x2+(m-4)x+4-2m=(x-2)m+x2-4x+4,令g(m)=(x-2)m+x2- 4x+4. 由題意知在[-1,1]上,g(m)的值恒大于零, 所以解得x<1或x>3. 故當(dāng)x<1或x>3時(shí),對(duì)任意的m∈[-1,1],函數(shù)f(x)的值恒大于零. 解決不等式恒成立問(wèn)題的2種思路 (1)轉(zhuǎn)化成含有參數(shù)的不等式,借助對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象,找到滿足題目要求的條件,構(gòu)造含參數(shù)的不等式(組),求得參數(shù)范圍; (2)分離參數(shù),通過(guò)求函數(shù)的最值,進(jìn)而確定參數(shù)的范圍. 層級(jí)一 學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo) 1.若a<0,則關(guān)于x的不等式x2-4ax-5a2>0的解集是____________. 解析:x2-4ax-5a2>0化為(x-5a)(x+a)>0, ∵a<0,∴5a<-a. ∴x>-a或x<5a. 答案:{x|x<5a或x>-a} 2.已知a<0,則關(guān)于x的不等式>1 的解集是________. 解析:不等式>1可化為>0, 不等式等價(jià)于(a-1)(x-2)>0. ∵a<0, ∴不等式等價(jià)于(x-2)<0. ∵<2. ∴原不等式的解集為. 答案: 3.如果A={x|ax2-ax+1<0}=?,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______. 解析:當(dāng)a=0時(shí),有1<0,故A=?成立;當(dāng)a≠0時(shí),要使A=?,須滿足∴0a2+1,即a2-2a-3<0.∴-10在R上恒成立, 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. 解析:x2-ax+2a>0恒成立?Δ<0,即a2-42a<0,解得01時(shí),不等式的解集為[1,a],此時(shí)只要a≤3即可,10對(duì)一切x∈R恒成立,從而原不等式等價(jià)于2x2+2mx+m<4x2+6x+3?2x2+(6-2m)x+(3-m)>0對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立?Δ=(6-2m)2-8(3-m)=4(m-1)(m-3)<0,解得1 0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解:令f(x)=x2-ax+2=2+2-, (1)當(dāng)a≤0時(shí)f(x)在(0,+∞)為單調(diào)遞增的. f(0)=2>0,故a≤0時(shí),x2-ax+2>0恒成立. (2)當(dāng)a>0時(shí)f(x)=x2-ax+2的對(duì)稱軸為x=. ∴當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí), f(x)min=2-. 若x2-ax+2>0在x∈(0,+∞)恒成立, 只要2->0即可,∴00在(0,+∞)恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,2). 10.已知不等式ax2-3x+6>4的解集為{x|x<1或x>b}. (1)求a,b; (2)解不等式ax2-(ac+b)x+bc<0. 解:(1)∵不等式ax2-3x+6>4的解集為{x|x<1或x>b}, ∴x=1與x=b是方程ax2-3x+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且b>1.由根與系數(shù)的關(guān)系, 得解得 (2)原不等式ax2-(ac+b)x+bc<0,可化為x2-(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0. ①當(dāng)c>2時(shí),不等式(x-2)(x-c)<0的解集為{x|2 2時(shí),不等式ax2-(ac+b)x+bc<0的解集為{x|2 0恒成立,則x的取值范圍為_(kāi)___________. 解析:設(shè)f(a)=x2+(a-6)x+9-3a =(x-3)a+x2-6x+9, 由已知條件得 即∴ ∴x<0或x>5.即x的取值范圍為(-∞,0)∪(5,+∞). 答案:(-∞,0)∪(5,+∞) 3.關(guān)于x的不等式ax2+2x+a>0的解集為R,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. 解析:當(dāng)a=0時(shí),易知條件不成立; 當(dāng)a≠0時(shí),要使不等式ax2+2x+a>0的解集為R, 必須滿足解得a>1. 答案:(1,+∞) 4.關(guān)于x的不等式x2+ax+-c<0的解集為(m,m+6),則實(shí)數(shù)c=________. 解析:由x2+ax+-c<0,得2 0恒成立, ∴Δ=1-4(-a2+a+1)<0,∴-0,不等式的解集是,顯然不適合題意; (2)m<0, (ⅰ)當(dāng)m=-1時(shí),不等式化為-(x-1)2<0,對(duì)于x≠1均成立; (ⅱ)當(dāng)-1 70n-3n-(n-1)n, 整理,得n2+11n-290>0,得n>12.4, 因?yàn)閚∈N,故取n=13. 答:經(jīng)過(guò)13個(gè)月改革后的累計(jì)純收入高于不改革時(shí)的累計(jì)純收入. 8.已知不等式mx2-2x-m+1<0, (1)若對(duì)任意實(shí)數(shù)x不等式恒成立,求m的取值范圍. (2)若對(duì)一切m∈[-2,2]不等式恒成立,求x的取值范圍. 解:(1)不等式mx2-2x-m+1<0恒成立, 即函數(shù)f(x)=mx2-2x-m+1的圖象全部在x軸下方. 當(dāng)m=0時(shí),不等式變?yōu)?-2x<0,對(duì)任意實(shí)數(shù)x不恒成立,故m=0不滿足; 當(dāng)m≠0時(shí),函數(shù)f(x)=mx2-2x-m+1為二次函數(shù),需滿足圖象開(kāi)口向下且方程mx2-2x-m+1=0無(wú)解, 即則m無(wú)解. 綜上可知不存在這樣的m,使不等式恒成立. (2)設(shè)g(m)=(x2-1)m+(1-2x), 當(dāng)x2-1=0時(shí),即x=1,檢驗(yàn)得x=1時(shí)符合題意, 當(dāng)x2≠1時(shí),則其為一個(gè)以m為自變量的一次函數(shù),其圖象是直線, 由題意知該直線當(dāng)-2≤m≤2時(shí)在x軸下方, ∴即 解①,得x<或x>, 解②,得 下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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