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考點29 平面與平面垂直的判定 要點闡述 平面與平面的垂直 （1）定義：如果兩個平面相交，且它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直． （2）面面垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．即a⊥β，a?α?． 典型例題 【例】如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上一動點．當(dāng)點M滿足________時，平面MBD⊥平面PCD．(只要填寫一個你認為正確的條件即可) 【答案】DM⊥PC(或BM⊥PC等 【規(guī)律總結(jié)】垂直關(guān)系之間的相互轉(zhuǎn)化 小試牛刀 1．空間四邊形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有（　?。? A．平面ABC⊥平面ADC B．平面ABC⊥平面ADB C．平面ABC⊥平面DBC D．平面ADC⊥平面DBC 【答案】D 【解析】∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BCD．又∵AD?平面ADC，∴平面ADC⊥平面DBC． 2．經(jīng)過平面外一點和平面內(nèi)一點與平面垂直的平面有（　　） A．0個 B．1個 C．無數(shù)個 D．1個或無數(shù)個 【答案】D 3．如圖所示，在四面體中，若，，是的中點，則下列命題正確的是（　?。? A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面，且平面平面 D．平面平面，且平面平面 【答案】C 【解析】依據(jù)面面垂直的判定定理． 【易錯易混】觀察空間圖形時，不能以平面的觀點去看待，平面上畫的兩直線成銳角或鈍角，在空間中可能是垂直的． 4．已知直線m，n，平面α，β，且m⊥α，n?β，給出下列命題： ①若α∥β，則m⊥n；②若α⊥β，則m∥n； ③若m⊥n，則α∥β；④若m∥n，則α⊥β． 其中正確命題的個數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 5．垂直于正方形所在的平面，連接、、、、，則一定互相垂直的平面有（　?。? A．8對 B．7對 C．6對 D．5對 【答案】B 【解析】如圖，面，，都垂直于面， 面面，面面，面面，面面． 6．如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，直線SC⊥平面ABCD，E是SA的中點，求證：平面EDB⊥平面ABCD． 【解析】連接AC，交BD于點F，連接EF， ∴EF是△SAC的中位線，∴EF∥SC． ∵SC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD． 又EF?平面EDB， ∴平面EDB⊥平面ABCD． 【規(guī)律總結(jié)】證明面面垂直有兩種方法：①證明二面角的平面角是直角；②證明一個平面過另一個平面的一條垂線． 考題速遞 1．直線a是平面α的斜線，過a且和α垂直的平面有（　?。? A．0個 B．1個　　 C．2個 D．無數(shù)個 【答案】B 【解析】過a上任一點作α的垂線b，有且僅有由相交直線a，b確定的平面經(jīng)過a且和α垂直． 2．如圖，在正四面體P－ABC(棱長均相等)中，E是BC的中點．則平面PAE與平面ABC的位置關(guān)系是________． 【答案】垂直 3．如圖所示，已知六棱錐PABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，則下列結(jié)論正確的是 （　　） A．PB⊥AD B．平面PAB⊥平面PBC C．直線BC∥平面PAE D．直線PD與平面ABC所成的角為45 【答案】D 4．如圖所示，在矩形ABCD中，已知AB＝AD，E是AD的中點，沿BE將△ABE折起至△A′BE的位置，使A′C＝A′D，求證：平面A′BE⊥平面BCDE． 【解析】如圖所示，取CD的中點M，BE的中點N，連接A′M，A′N，MN，則MN∥BC． ∵AB＝AD，E是AD的中點， ∴AB＝AE，即A′B＝A′E． ∴A′N⊥BE．∵A′C＝A′D，∴A′M⊥CD． 在四邊形BCDE中，CD⊥MN， 數(shù)學(xué)文化 鉛垂線的應(yīng)用 建筑工地上，泥水匠正在砌墻，為了保證墻面與地面垂直，泥水匠常常在較高處固定一條端點系有鉛錘的線，再沿著該線砌墻（如圖所示），這樣能保證墻面與地面垂直嗎？