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專題10 等效重力場模型 模型界定 物體在運(yùn)動(dòng)過程中所受的外力包含有恒定的場力作用，如勻強(qiáng)電場中的電場力、勻強(qiáng)磁場中恒定電流與磁場間方向關(guān)系不變時(shí)所受的安培力等，可將其與重力的合力作為一個(gè)＂等效重力＂，然后利用重力場中的相關(guān)結(jié)論來解決的一類問題． 模型破解 （i）在等效重力場中平衡的液體，其液面與等效重力方向垂直． 例１.粗細(xì)均勻的U形管內(nèi)裝有某種液體，開始靜止在水平面上，如圖所示，已知：L=10cm，當(dāng)此U形管以4m/s2的加速度水平向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，求兩豎直管內(nèi)液面的高度差。（） 【答案】0.04m （ii）．在等效重力場中，從斜面上某點(diǎn)由靜止釋放的物體，當(dāng)?shù)刃е亓εc水平方向的夾角大于等于斜面傾角時(shí)物體可靜止于斜面上或沿面運(yùn)動(dòng)；當(dāng)?shù)刃е亓εc水平方向的夾角小于斜面傾角時(shí)物體將沿等效重力方向做類自由落體的勻加速直線運(yùn)動(dòng)． 例２.如圖，一質(zhì)量為m的小物塊帶正電荷Q，開始時(shí)讓它靜止在傾角θ的固定光滑斜面頂端，整個(gè)裝置放在場強(qiáng)大小為E=mg/Q、方向水平向左的勻強(qiáng)電場中，斜面高為H，釋放物塊后，求在斜面傾角分別為300與600一情況下物塊到達(dá)水平地面時(shí)的速度大小為多少？（重力加速度為g） 【答案】 【解析】物體受到恒定的電場力與重力兩個(gè)場力的作用，其合力即＂等效重力＂的大小為 ，方向與水平方向間夾角滿足，即． 將整個(gè)空間沿逆時(shí)針轉(zhuǎn)過45０角，如圖所示． 由圖可以看出，當(dāng)θ＝300時(shí)，物體沿斜面下滑到地面，由動(dòng)能定理（或＂等效機(jī)械能＂守恒）有，可得；當(dāng)θ＝600時(shí)，物體沿等效重力的方向做類自由落體運(yùn)動(dòng)，同理可得． （iii）沿任意方向以相同動(dòng)能拋出的物體，只有等效重力做功時(shí)，沿等效重力方向通過位移最大的物體動(dòng)能改變量最大 例３.如圖所示，ab是半徑為R的圓的一條直徑，該圓處于勻強(qiáng)電場中，勻強(qiáng)電場與圓周在同一平面內(nèi)?，F(xiàn)在該平面內(nèi)，將一帶正電的粒子從a點(diǎn)以相同的動(dòng)能拋出，拋出方向不同時(shí)，粒子會(huì)經(jīng)過圓周上不同的點(diǎn)，在這些所有的點(diǎn)中，到達(dá)c點(diǎn)時(shí)粒子的動(dòng)能最大。已知∠cab=30，若不計(jì)重力和空氣阻力，試求：電場方向與ac間的夾角θ。 【答案】30 （iv）繩系著的物體在等效重力場中擺動(dòng)時(shí)（包括沿圓形軌道內(nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng)的物體）： ①懸線在兩側(cè)最大位置關(guān)于等效重力方向?qū)ΨQ，即關(guān)于等效重力方向的最大偏角相等； ②物體處于關(guān)于等效重力方向?qū)ΨQ的位置上時(shí)物體的速率相等、懸線上拉力大小相等； ③沿等效重力方向上過懸點(diǎn)的直線與物體運(yùn)動(dòng)軌跡的交點(diǎn)是等效最低點(diǎn)，在此點(diǎn)物體的速率最大、繩中張力最大． ④由靜止釋放的物體，釋放點(diǎn)在過圓心的等效水平線下方時(shí)，物體沿圓弧運(yùn)動(dòng)，釋放點(diǎn)在過圓心的等效水平線上方時(shí)，物體要先沿等效重力方向做類自由落體運(yùn)動(dòng)，繩繃直后再沿圓弧運(yùn)動(dòng)． 例４．如圖所示`，一條長為L的細(xì)線上端固定在Ｏ點(diǎn)，下端系一個(gè)質(zhì)量為m的小球，將它置于一個(gè)很大的勻強(qiáng)電場中，電場強(qiáng)度為Ｅ，方向水平向右，已知小球在Ｂ點(diǎn)時(shí)平衡，細(xì)線與豎直線的夾角為。求：當(dāng)懸線與豎直線的夾角為多大時(shí)，才能使小球由靜止釋放后，細(xì)線到豎直位置時(shí)，小球速度恰好為零？ 【答案】 【解析】如圖甲， 分析小球在B點(diǎn)時(shí)受力，將重力與電場力等效為一個(gè)等效重力，可得：，從而可認(rèn)為小球就做只受“重力”mg′與繩拉力運(yùn)動(dòng)．如圖乙所示，根據(jù)對稱性即可得出，當(dāng)懸線與豎直線的夾角滿足，小球從這一位置靜止釋放后至細(xì)線到豎直位置時(shí)，小球速度恰好為零。 例５.如圖所示，用長L的絕緣細(xì)線拴住一只質(zhì)量為m的、帶電量為q的小球，線的另一端拴在水平向右的勻強(qiáng)電場中，開始時(shí)把小球、線拉到和O在同一水平面上(線拉直)A點(diǎn)，讓小球由靜止開始釋放，當(dāng)擺線擺到與水平線成60角到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，球的速度正好為零，求： (1)A、B兩點(diǎn)之間的電勢差。 (2)勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)。 (3)小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)細(xì)線上的拉力大小。 (4)分析小球到達(dá)B點(diǎn)以后的運(yùn)動(dòng)情況。 【答案】(1)(2)(3)(4)見解析 【解析】帶電小球從A點(diǎn)到由靜止釋放擺到B點(diǎn)過程中重力做正功，但球由A到B時(shí)動(dòng)能增量為零，因此電場力在這一過程中做負(fù)功，小球應(yīng)帶正電，由動(dòng)能定理可以知道 由于Fx大于Gx，在B位置時(shí)小球不平衡，B位置小球?qū)€的拉力不能用平衡條件∑F＝0來求，只能根據(jù)球在沿線方向合力為零來求，設(shè)線上拉力為T，則： T＝Eqsin30＋mgsin60＝mg 另解：因?yàn)椋粒聝晌恢梅謩e是小球擺動(dòng)中等效最低點(diǎn)兩側(cè)的兩個(gè)最大位置，由對稱性可知在此兩位置上線中張力相等． 小球在Ａ點(diǎn)時(shí)，由于速度為零，所需向心力為零，則沿半徑方向上的合力為零．分析小球在Ａ點(diǎn)處受力可知，沿半徑方向上只有電場力與線的拉力，故有TＡ＝Eq＝mg． 所以小球處于Ｂ點(diǎn)時(shí)線上的張力TＢ＝mg． (4)由于在B位置時(shí)，F(xiàn)x＝Eqsin30＝3mg/2大于Gx＝mgsin30＝mg/2，小球?qū)⒀貓A弧向上運(yùn)動(dòng)，在A、B之間的圓弧上某點(diǎn)(設(shè)這時(shí)線與水平成θ角，如圖)有Eqsinθ＝mgcosθ，即： θ＝30 在θ＝30(即小球在C位置)時(shí)，小球切向合力為零，C位置為小球的平衡位置，所以小球到達(dá)B點(diǎn)以后會(huì)往回繞過C位置振動(dòng)。 例６.如圖所示，水平放置的銅棒ab長0.1m，質(zhì)量為610-2kg，兩端與長為1m的輕銅線相連，靜止于豎直平面上。整個(gè)裝置處在斜向紙內(nèi)與豎直方向成370角斜向下的勻強(qiáng)磁場中，磁場方向與ab垂直，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.5T。現(xiàn)接通電源，使銅棒中保持有恒定電流通過，銅棒垂直紙面向外發(fā)生擺動(dòng)。已知銅棒擺動(dòng)的最大偏角與豎直方向成740角，求通過的電流大小為多少？方向如何？(不計(jì)空氣阻力，sin370=0.6，cos370=0.8，g取10m/s2) 【答案】25.7A，由b向a 【解析】對ab棒進(jìn)行受力分析，ab棒受到重力、安培力和繩對它的拉力，而重力mg和安培力F都是恒力，其合力即等效重力為mg.由于ab棒將在0——74之間來回?cái)[動(dòng)，ab棒位于θ=37的位置為等效最低點(diǎn)，在此位置等效重力mg與繩的拉力T共線反向。如圖所示， 當(dāng)θ=37時(shí),由力的平行四邊形定則和正弦定理得： 即： 則通過的導(dǎo)體棒ab的電流大小為 （v）在等效重力所在平面內(nèi)做變速圓周運(yùn)動(dòng)的物體 ①等效最低點(diǎn)與等效最高點(diǎn)的確定： 過圓心沿等效重力的方向作一直線與圓周相交于兩點(diǎn)，沿等效重力的方向上側(cè)點(diǎn)為等效最高點(diǎn)、下側(cè)點(diǎn)為等效最低點(diǎn)． ②在等效最高點(diǎn)物體的速率最小、動(dòng)能最小、繩中張力（或與軌道間的壓力）最小，物體的＂等效重力勢能＂最大，物體在此處最易脫離軌道． 繩系著的物體（或沿圓形軌道內(nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng)的物體）在等效重力場中做完整的圓周運(yùn)動(dòng)的條件是在等效最高點(diǎn)處的速度（式中g(shù)為等效重力加速度） ③在等效最低點(diǎn)物體的速率最大、動(dòng)能最大、繩中張力（或與軌道間的壓力最大），物體的＂等效重力勢能＂最小，繩在此處最易斷裂． ④物體在圓周上關(guān)于過圓心沿等效重力方向?qū)ΨQ的位置上，物體的速率、動(dòng)能、繩上的張力等數(shù)值相等 例7.如圖所示，絕緣光滑軌道AB部分為傾角為30的斜面，AC部分為豎直平面上半徑為R的圓軌道，斜面與圓軌道相切。整個(gè)裝置處于場強(qiáng)為E、方向水平向右的勻強(qiáng)電場中?，F(xiàn)有一質(zhì)量為m的帶正電，電量為小球，要使小球能安全通過圓軌道，在O點(diǎn)的初速度應(yīng)為多大？ 【答案】 假設(shè)以最小初速度v0運(yùn)動(dòng)，小球在斜面上作勻速直線運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入圓軌道后只有等效重力作功，則根據(jù)動(dòng)能定理（或等效機(jī)械能守恒）有： 解得： （vi）在等效重力場中不受其他約束力的物體將做類自由落體運(yùn)動(dòng)（）或類拋體運(yùn)動(dòng)（）． 例8．如圖所示，空間存在著電場強(qiáng)度E＝2．5102N／C、方向豎直向上的勻強(qiáng)電場，在電場內(nèi)一長為L＝0．5m的絕緣細(xì)線一端固定于O點(diǎn)，另一端拴著質(zhì)量m＝0.5kg、電荷量q＝410－2C的小球?，F(xiàn)將細(xì)線拉至水平位置，將小球由靜止釋放，當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)細(xì)線受到的拉力恰好達(dá)到它能承受的最大值而斷開，取g＝10m／s2。求： （1）小球的電性； （2）細(xì)線能承受的最大拉力值； （3）當(dāng)小繼續(xù)運(yùn)動(dòng)到與O點(diǎn)水平方向的距離為L時(shí)，小球速度多大? 【答案】（1）正電（2）15N（3） （3）細(xì)繩斷后小球做類平拋運(yùn)動(dòng)： 水平方向上：L=v0t ③ 豎直方向上： ④ 故速度大小為： 模型演練 １.如圖所示，一根對稱的“Λ”型玻璃管ABC置于豎直平面內(nèi)，管與水平面夾角為θ＝300 , 一側(cè)管長為L=2m，管對稱線OO′的左側(cè)的空間存在豎直向上的勻強(qiáng)電場E1，管對稱線OO′的右側(cè)的空間存在與豎直方向成，大小為E2的勻強(qiáng)電場。質(zhì)量為m，帶正電電量為q的小球在管內(nèi)從A點(diǎn)由靜止開始運(yùn)動(dòng)，且與管壁的摩擦系數(shù)為μ，如果小球在B端與管作用沒有機(jī)械能量損失，已知，，，求小球從A點(diǎn)開始至第一次速度為零的位置在何處？ 【答案】到B點(diǎn)的距離為 【解析】如圖甲所示，對小球在AB斜面上受力分析，電場力和重力的等效為重力，大小為 ，方向豎直向上。對小球在BC斜面上受力分析，電場力和重力等效為重力，大小為，方向垂直斜面向上，如果將整個(gè)模型轉(zhuǎn)1800就成了如圖乙所示的問題。 分析BC斜面上的受力特點(diǎn)，將BC斜面順時(shí)針轉(zhuǎn)300，就成了如圖丙所示最熟悉的斜面模型。在斜面AB上的加速度為： 第一次到B點(diǎn)的速度為： 在斜面BC上的加速度為： 速度為零時(shí)，到B點(diǎn)的距離為： 2.半徑為r的絕緣光滑圓環(huán)固定在豎直平面內(nèi)，環(huán)上套有一個(gè)質(zhì)量為m、帶正電的珠子，空間存在水平向右的勻強(qiáng)電場．如圖所示。珠子所受靜電力是其重力的倍．將珠子從環(huán)上最低位置A點(diǎn)靜止釋放．則珠子所能獲得的最大動(dòng)能Ek＝？ 【答案】 故小珠運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)有最大動(dòng)能 3.質(zhì)量為m，電量為+q的小球以初速度以與水平方向成θ角射出，如圖所示，如果在某方向加上一定大小的勻強(qiáng)電場后，能保證小球仍沿方向做直線運(yùn)動(dòng)，試求所加勻強(qiáng)電場的最小值，加了這個(gè)電場后，經(jīng)多長時(shí)間速度變?yōu)榱悖? 【答案】 由①式得： ③ 由③式得：時(shí)，E最小為 其方向與垂直斜向上，將代入②式可得 即在場強(qiáng)最小時(shí)，小球沿做加速度為的勻減速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t時(shí)速度為0，則： ，可得： 另解：小球在運(yùn)動(dòng)中只受到重力和電場力兩個(gè)力的作用，可認(rèn)為小球只受到一個(gè)等效重力的作用，則由題意可知小球應(yīng)是在等效重力場中做類上拋運(yùn)動(dòng)或類下拋運(yùn)動(dòng)．由物體作豎直拋體運(yùn)動(dòng)的條件可知物體受等效重力的方向應(yīng)與小球的初速度在同一直線上． 如圖乙所示，由力的合成及三角形知識(shí)可知，當(dāng)電場力的方向與小球的初速度方向即等效重力方向垂直時(shí)電場力最小，電場強(qiáng)度最?。蓤D中幾何關(guān)系有，，則等效重力加速度．由圖可知當(dāng)電場強(qiáng)度最小時(shí)，等效重力方向與小球初速度方向相反，小球做類上拋運(yùn)動(dòng)，將整個(gè)空間沿逆時(shí)針轉(zhuǎn)過900-θ則如圖丙所示．當(dāng)小球到達(dá)等效最高點(diǎn)時(shí)速度減小到零，經(jīng)歷的時(shí)間 ． 4.放置在豎直平面內(nèi)的光滑絕緣軌道如圖所示，其中BC為水平面，斜面AB與BC通過較小光滑圓弧連接，CDF是半徑為R（R大小未知）的圓形軌道。一個(gè)質(zhì)量為m、帶電量為＋q的小球，從距水平面BC高h(yuǎn)處的P點(diǎn)由靜止下滑，小球恰能通過豎直圓形軌道的最高點(diǎn)D而作圓周運(yùn)動(dòng)。試求： （1）圓形軌道半徑R的大??； （2）現(xiàn)在豎直方向加方向豎直向下的足夠大的勻強(qiáng)電場，且電場強(qiáng)度滿足mg=2qE，若仍從P點(diǎn)由靜止釋放該小球，試判斷小球能否通過圓形軌道的最高點(diǎn)D。若不能，說明理由；若能，求出小球在D點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力。 【答案】（1）（2）能，0 （2） 存在電場時(shí)，由于電場力與重力的合力即等效重力方向仍向下，故Ｄ點(diǎn)仍是等效最高點(diǎn)． 設(shè)小球恰能通過D點(diǎn)的速度為，則由等效重力提供向心力，即： mg＋Eq= ③ 即 高度為h時(shí)，若小球能通過D點(diǎn)，此時(shí)小球在D點(diǎn)的速度設(shè)為 從P點(diǎn)到D點(diǎn)由動(dòng)能定理，得到： (mg＋Eq)(h－2R)= ④ 解得： 由于，因此小球恰好通過D點(diǎn) 因此對D點(diǎn)的壓力N＝0 5如圖所示，粗糙的斜槽軌道與半徑m的光滑半圓形軌道BC連接，B為半圓軌道的最底點(diǎn)，C為最高點(diǎn)。一個(gè)質(zhì)量kg的帶電體，從高為m的處由靜止開始滑下，當(dāng)滑到處時(shí)速度m/s，此時(shí)在整個(gè)空間加上一個(gè)與紙面平行的勻強(qiáng)電場，帶電體所受電場力在豎直向上的分力大小與重力相等。帶電體沿著圓形軌道運(yùn)動(dòng)，脫離C處后運(yùn)動(dòng)的加速度是m/s2，經(jīng)過一段時(shí)間后運(yùn)動(dòng)到斜槽軌道某處時(shí)速度的大小是m/s 。已知重力加速度，帶電體運(yùn)動(dòng)過程中電量不變，經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)能量損失不計(jì)，忽略空氣的阻力。求： （1）帶電體從B到C的過程中電場力所做的功 （2）帶電體運(yùn)動(dòng)到C時(shí)對軌道的壓力 （3）帶電體與斜槽軌道之間的動(dòng)摩擦因數(shù) 【答案】（1）5J（2）16N（3） （2）帶電體從B到C運(yùn)動(dòng)的過程中，由于ＢＣ位于等效重力場中的同水平線上，等效重力不做功，所以 在C點(diǎn)，等效重力與ＢＣ垂直，向心力由軌道對小球的壓力提供，由牛頓第二定律得： 解得： （3）帶電體脫離軌道后只受到水平方向上的等效重力作用，小球的初速度與等效重力方向共線且大于一段時(shí)間后的瞬時(shí)速度，可知小球做類上拋運(yùn)動(dòng)，等效重力加速度．由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得： 代入數(shù)據(jù)得： 設(shè)斜面與水平面的夾角為，則， 帶電體從A到B的運(yùn)動(dòng)過程中，由動(dòng)能定理得： 代入數(shù)據(jù)解得： ６.如圖所示，勻強(qiáng)電場水平向右，N/C，一帶正電的油滴的質(zhì)量kg，電量C。在A點(diǎn)時(shí)速度大小為m/s，方向?yàn)樨Q直向上，則油滴在何時(shí)速度最小且求出最小速度？ 【答案】0.5s, 分析可得，當(dāng)y方向速度為零，油滴的速度最小為 m/s， 對應(yīng)時(shí)間為：s 7.風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)室中可產(chǎn)生大小、方向可調(diào)節(jié)的風(fēng)力．用長為l的細(xì)線拴一小球?qū)⑵浞湃腼L(fēng)洞實(shí)驗(yàn)室，調(diào)節(jié)風(fēng)力方向?yàn)樗较蛴?當(dāng)小球靜止在A點(diǎn)時(shí)，懸線與豎直方向夾角為α．試求： ⑴ 水平風(fēng)力的大??； ⑵ 若將小球從豎直位置由靜止釋放，當(dāng)懸線與豎直方向成多大角度時(shí)，小球的速度最大？最大速度是多少？ (3)小球靜止在A點(diǎn)時(shí)，給小球多大的速度才能使它在豎直平面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)？ (4)若將風(fēng)力方向調(diào)節(jié)為豎直向上，并使風(fēng)力大小恰好等于小球重力，那么，在最低點(diǎn)給小球水平方向的初速度，試分析小球的運(yùn)動(dòng)情況． 【答案】（1）mgtanα（2）α，（3）（4） (3)如圖丙所示，小球必須能通過B點(diǎn)才能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)通過B點(diǎn)時(shí)小球的最小速度為vmin，則此時(shí)繩上拉力恰好為零． (4)分析：因?yàn)楹狭π∏蚴冀K不做功，故動(dòng)能不變，所以小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)． 8.如圖所示，直線形擋板p1p2p3與半徑為r的圓弧形擋板p3p4p5平滑連接并安裝在水平臺(tái)面b1b2b3b4上，擋板與臺(tái)面均固定不動(dòng)。線圈c1c2c3的匝數(shù)為n,其端點(diǎn)c1、c3通過導(dǎo)線分別與電阻R1和平行板電容器相連，電容器兩極板間的距離為d,電阻R1的阻值是線圈c1c2c3阻值的2倍，其余電阻不計(jì)，線圈c1c2c3內(nèi)有一面積為S、方向垂直于線圈平面向上的勻強(qiáng)磁場，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間均勻增大。質(zhì)量為m的小滑塊帶正電，電荷量始終保持為q,在水平臺(tái)面上以初速度v0從p1位置出發(fā)，沿?fù)醢暹\(yùn)動(dòng)并通過p5位置。若電容器兩板間的電場為勻強(qiáng)電場，p1、p2在電場外，間距為l,其間小滑塊與臺(tái)面的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，其余部分的摩擦不計(jì)，重力加速度為g. 求： （1）小滑塊通過p2位置時(shí)的速度大小。 （2）電容器兩極板間電場強(qiáng)度的取值范圍。 （3）經(jīng)過時(shí)間t,磁感應(yīng)強(qiáng)度變化量的取值范圍。 【答案】（1）（2）0< E （3）0< 【解析】(1)小滑塊運(yùn)動(dòng)到位置時(shí)速度為v1，由動(dòng)能定理有： ① v1= ② （2）由題意可知，電場方向如圖，若小滑塊能通過位置p，則小滑塊可沿?fù)醢暹\(yùn)動(dòng)且通過位置p5，設(shè)小滑塊在位置p的速度為v，受到的擋板的彈力為N，勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度為E，由動(dòng)能定理有： = ③ （3）設(shè)線圈產(chǎn)生的電動(dòng)勢為E1，其電阻為R，平行板電容器兩端的電壓為U，t時(shí)間內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化量為B，得： ⑧ U=Ed 由法拉第電磁感應(yīng)定律得E1=n ⑨ 由全電路的歐姆定律得E1=I（R+2R） ⑩ U=2RI 經(jīng)過時(shí)間t，磁感應(yīng)強(qiáng)度變化量的取值范圍：0<