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2.8　函數模型及其應用 考綱解讀 考點 內容解讀 要求 高考示例 常考題型 預測熱度 1.函數的實際應用問題 了解指數函數、對數函數、冪函數的增長特征,體會直線上升、指數增長、對數增長等不同函數類型增長的含義 Ⅱ 2016四川,7; 2015四川,8; 2014湖北,16 解答題 ★★☆ 2.函數的綜合應用問題 了解函數模型(如指數函數、對數函數、冪函數、分段函數等在社會生活中普遍使用的函數模型)的廣泛應用,了解函數與方程、不等式之間的聯系,并能解決一些具體的實際問題 Ⅰ 2015四川,15; 2014山東,9; 2013安徽,8 ★★★ 分析解讀 為了考查學生的綜合能力與素養(yǎng),高考加強了函數綜合應用問題的考查力度,這一問題一般涉及的知識點較多,綜合性也較強,屬于中檔以上的試題,題型以填空題和解答題為主,在高考中分值為5分左右,通常在如下方面考查: 1.對函數實際應用問題的考查,這類問題多以社會實際生活為背景,設問新穎,要求學生掌握課本中的概念、公式、法則、定理等基礎知識與方法. 2.以課本知識為載體,把函數與方程、不等式、數列、解析幾何等知識聯系起來,構造不等式求參數范圍,利用分離參數法求函數值域,進而求字母的取值等. 五年高考 考點一　函數的實際應用問題 1.(2015四川,8,5分)某食品的保鮮時間y(單位:小時)與儲藏溫度x(單位:℃)滿足函數關系y=ekx+b(e=2.718…為自然對數的底數,k,b為常數).若該食品在0 ℃的保鮮時間是192小時,在22 ℃的保鮮時間是48小時,則該食品在33 ℃的保鮮時間是(　　) A.16小時 B.20小時 C.24小時 D.28小時 答案　C　 2.(2013湖北,5,5分)小明騎車上學,開始時勻速行駛,途中因交通堵塞停留了一段時間,后為了趕時間加快速度行駛.與以上事件吻合得最好的圖象是(　　) 答案　C　 3.(2014湖北,16,5分)某項研究表明:在考慮行車安全的情況下,某路段車流量F(單位時間內經過測量點的車輛數,單位:輛/小時)與車流速度v(假設車輛以相同速度v行駛,單位:米/秒)、平均車長l(單位:米)的值有關,其公式為F=76 000vv2+18v+20l. (1)如果不限定車型,l=6.05,則最大車流量為　　　　輛/小時; (2)如果限定車型,l=5,則最大車流量比(1)中的最大車流量增加　　　　輛/小時. 答案　(1)1900　(2)100 教師用書專用(4) 4.(2013陜西,14,5分)在如圖所示的銳角三角形空地中,欲建一個面積最大的內接矩形花園(陰影部分),則其邊長x為　　　　(m). 答案　20 考點二　函數的綜合應用問題 1.(2014山東,9,5分)對于函數f(x),若存在常數a≠0,使得x取定義域內的每一個值,都有f(x)=f(2a-x),則稱f(x)為準偶函數.下列函數中是準偶函數的是(　　) A.f(x)=x B.f(x)=x2 C.f(x)=tan x D.f(x)=cos(x+1) 答案　D　 2.(2014安徽,9,5分)若函數f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值為3,則實數a的值為(　　) A.5或8 B.-1或5 C.-1或-4 D.-4或8 答案　D　 3.(2013課標全國Ⅰ,12,5分)已知函數f(x)=-x2+2x,x≤0,ln(x+1),x>0.若|f(x)|≥ax,則a的取值范圍是(　　) A.(-∞,0] B.(-∞,1] C.[-2,1] D.[-2,0] 答案　D　 4.(2015四川,15,5分)已知函數f(x)=2x,g(x)=x2+ax(其中a∈R).對于不相等的實數x1,x2,設m=f(x1)-f(x2)x1-x2,n=g(x1)-g(x2)x1-x2. 現有如下命題: ①對于任意不相等的實數x1,x2,都有m>0; ②對于任意的a及任意不相等的實數x1,x2,都有n>0; ③對于任意的a,存在不相等的實數x1,x2,使得m=n; ④對于任意的a,存在不相等的實數x1,x2,使得m=-n. 其中的真命題有　　(寫出所有真命題的序號). 答案　①④ 教師用書專用(5—7) 5.(2014浙江,10,5分)如圖,某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點A處進行射擊訓練.已知點A到墻面的距離為AB,某目標點P沿墻面上的射線CM移動,此人為了準確瞄準目標點P,需計算由點A觀察點P的仰角θ的大小(仰角θ為直線AP與平面ABC所成角).若AB=15 m,AC=25 m,∠BCM=30,則tanθ的最大值是(　　) A.305 B.3010 C.439 D.539 答案　D　 6.(2013安徽,8,5分)函數y=f(x)的圖象如圖所示,在區(qū)間[a,b]上可找到n(n≥2)個不同的數x1,x2,…,xn,使得f(x1)x1=f(x2)x2=…=f(xn)xn,則n的取值范圍為(　　) A.{2,3} B.{2,3,4} C.{3,4} D.{3,4,5} 答案　B　 7.(2014四川,15,5分)以A表示值域為R的函數組成的集合,B表示具有如下性質的函數φ(x)組成的集合:對于函數φ(x),存在一個正數M,使得函數φ(x)的值域包含于區(qū)間[-M,M].例如,當φ1(x)=x3,φ2(x)=sin x時,φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.現有如下命題: ①設函數f(x)的定義域為D,則“f(x)∈A”的充要條件是“?b∈R,?a∈D, f(a)=b”; ②若函數f(x)∈B,則f(x)有最大值和最小值; ③若函數f(x),g(x)的定義域相同,且f(x)∈A,g(x)∈B,則f(x)+g(x)?B; ④若函數f(x)=aln(x+2)+xx2+1(x>-2,a∈R)有最大值,則f(x)∈B. 其中的真命題有　　　　.(寫出所有真命題的序號) 答案?、佗邰? 三年模擬 A組　2016—2018年模擬基礎題組 考點一　函數的實際應用問題 1.(2017福建質檢,5)當生物死亡后,其體內原有的碳14的含量大約每經過5 730年衰減為原來的一半,這個時間稱為“半衰期”.當死亡生物體內的碳14含量不足死亡前的千分之一時,用一般的放射性探測器就測不到了.若某死亡生物體內的碳14用該放射性探測器探測不到,則它經過的“半衰期”個數至少是(　　) A.8 B.9 C.10 D.11 答案　C　 2.(2016北京東城期中,12)已知每生產100克餅干的原材料加工費為1.8元,某食品加工廠對餅干采用兩種包裝,其包裝費用、銷售價格如表所示: 型號 小包裝 大包裝 質量 100克 300克 包裝費 0.5元 0.7元 銷售價格 3.0元 8.4元 則下列說法正確的是(　　) ①買小包裝實惠;②買大包裝實惠;③賣3小包比賣1大包盈利多;④賣1大包比賣3小包盈利多. A.①② B.①④ C.②③ D.②④ 答案　D　 3.(2018河北承德期中,13)某商品價格y(單位:元)因上架時間x(單位:天)的不同而不同,假定商品的價格與上架時間的函數關系是一種指數型函數,即y=kax(a>0且a≠1,x∈N*).若商品上架第1天的價格為96元,而上架第3天的價格為54元,則該商品上架第4天的價格為　　　　元. 答案　812 考點二　函數的綜合應用問題 4.(2018江西模擬,11)函數y=|log3x|的圖象與直線l1:y=m從左至右分別交于點A,B,與直線l2:y=82m+1(m>0)從左至右分別交于點C,D.記線段AC和BD在x軸上的投影長度分別為a,b,則ba的最小值為(　　) A.813 B.273 C.93 D.33 答案　B　 5.(2017天津紅橋期中聯考,10)已知函數f(x)的定義域為[-1,5],部分對應值如下表: x -1 0 4 5 f(x) 1 2 2 1 f(x)的導函數y=f (x)的圖象如圖所示: 下列關于函數f(x)的命題: (1)函數y=f(x)是周期函數; (2)函數f(x)在(0,2)上是減函數; (3)如果當x∈[-1,t]時,f(x)的最大值是2,那么t的最大值為4; (4)當11,則稱函數f(x)為“超級囧函數”.則下列函數是“超級囧函數”的是　　　　. ①f(x)=sin x; ②g(x)=14x2(x∈[0,1]); ③h(x)=2x-1; ④p(x)=ln(x+1). 答案?、? 7.(2016江西三校第一次聯考,16)已知函數y=f(x),對定義域內的每一個值x1,在其定義域內都存在唯一的x2,使f(x1)f(x2)=1成立,則稱該函數為“依賴函數”.給出以下命題: ①y=1x2是“依賴函數”; ②y=2+sin x,x∈-π2,π2是“依賴函數”; ③y=2x是“依賴函數”; ④y=ln x是“依賴函數”; ⑤y=f(x),y=g(x)都是“依賴函數”,且定義域相同,則y=f(x)g(x)是“依賴函數”. 其中所有真命題的序號是　　　　. 答案　②③ 8.(2016皖北第一次聯考,19)某工廠某種商品的年固定成本為250萬元,每生產x千件,需另投入成本C(x)萬元,當年產量不足80千件時,C(x)=13x2+10x;當年產量不少于80千件時,C(x)=51x+10 000x-1 450.每件商品售價為0.05萬元.通過市場分析,該廠生產的商品能全部售完. (1)寫出年利潤L(x)(萬元)關于年產量x(千件)的函數解析式; (2)年產量為多少千件時,該廠在這一商品的生產中所獲利潤最大? 解析　(1)∵每件商品售價為0.05萬元, ∴x千件商品銷售額為0.051 000x萬元. ①當00.給出下列命題: ①f(3)=0; ②直線x=-6是函數y=f(x)的圖象的一條對稱軸; ③函數y=f(x)在[-9,-6]上為增函數; ④函數y=f(x)在[-9,9]上有四個零點. 其中所有正確命題的序號為　　　　.(把所有正確命題的序號都填上) 答案　①②④ 三、解答題(共10分) 5.(2017江西九江七校聯考,20)某店銷售進價為2元/件的產品A,假設該店產品A每日的銷售量y(單位:千件)與銷售價格x(單位:元/件)滿足關系式y=10x-2+4(x-6)2,其中20,函數f(x)單調遞增;在103,6上, f (x)<0,函數f(x)單調遞減, 所以x=103是函數f(x)在(2,6)內的極大值點,也是最大值點, 所以當x=103≈3.3時,函數f(x)取得最大值. 故當銷售價格為3.3元/件時,每日銷售產品A所獲得的利潤最大. C組　2016—2018年模擬方法題組 方法　常見函數模型的理解 1.(2018福建三明期末,14)物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻定律來描述:設物體的初始溫度是T0,經過一定時間t后的溫度是T,則T-Ta=(T0-Ta)12th,其中Ta稱為環(huán)境溫度,h稱為半衰期.現有一杯用88 ℃熱水沖的速溶咖啡,放在24 ℃的房間中,如果咖啡降到40 ℃需要20分鐘,那么此杯咖啡從40 ℃降溫到32 ℃時,還需要　　　　分鐘. 答案　10 2.(2017湖北重點高中聯合協作體期中,21)某市居民用水收費標準如下:每戶每月用水不超過15噸時,每噸2元,當用水超過15噸時,超過部分每噸3元.某月甲、乙兩戶共交水費y元,已知甲、乙兩用戶該月用水量分別為5x噸,3x噸. (1)求y關于x的函數表達式; (2)若甲、乙兩戶該月共交水費114元,分別求出甲、乙兩戶該月的用水量和所交水費. 解析　(1)y=16x,05. (2)若05,由24x-30=114,解得x=6. 所以甲戶該月的用水量為5x=30噸,所交水費為152+(30-15)3=75元; 乙戶該月的用水量為3x=18噸,所交水費為152+(18-15)3=39元. 3.(2017江西金溪一中等期中聯考,19)食品安全問題越來越引起人們的重視,農藥、化肥的濫用對人民群眾的健康有一定的危害,為了給消費者帶來放心的蔬菜,某農村合作社每年投入200萬元,搭建了甲、乙兩個無公害蔬菜大棚,每個大棚至少要投入20萬元,其中甲大棚種西紅柿,乙大棚種黃瓜,根據以往的種菜經驗,發(fā)現種西紅柿的年收入P、種黃瓜的年收入Q與投入a(單位:萬元)滿足P=80+42a,Q=14a+120,設甲大棚的投入為x(單位:萬元),每年兩個大棚的總收益為f(x)(單位:萬元). (1)求f(50)的值; (2)試問如何安排甲、乙兩個大棚的投入,才能使總收益f(x)最大? 解析　(1)甲大棚投入50萬元,則乙大棚投入150萬元, ∴f(50)=80+4250+14150+120=277.5. (2)f(x)=80+42x+14(200-x)+120=-14x+42x+250,依題意,得x≥20,200-x≥20?20≤x≤180, 故f(x)=-14x+42x+250(20≤x≤180). 令t=x,則t∈[25,65], 則y=-14t2+42t+250=-14(t-82)2+282, 當t=82,即x=128時, f(x)max=282. 所以甲大棚投入128萬元,乙大棚投入72萬元時,總收益最大,且最大總收益為282萬元. 4.(2016福建晨曦等四校第一次聯考,20)某工廠生產一種儀器的元件,由于受生產能力和技術水平的限制,會產生一些次品,根據經驗知道,其次品率P與日產量x(萬件)之間滿足關系: P=16-x,1≤x≤c,23,x>c(其中c為小于6的正常數). (注:次品率=次品數/生產量,如P=0.1表示每生產10件產品,有1件為次品,其余為合格品) 已知每生產1萬件合格的元件可以盈利2萬元,但每生產1萬件次品將虧損1萬元,故廠方希望定出合適的日產量. (1)試將生產這種儀器的元件每天的盈利額T(萬元)表示為日產量x(萬件)的函數; (2)當日產量為多少時,可獲得最大利潤? 解析　(1)當x>c時,P=23,∴T=13x2-23x1=0. 當1≤x≤c時,P=16-x, ∴T=1-16-xx2-16-xx1=9x-2x26-x. 綜上,日盈利額T(萬元)與日產量x(萬件)的函數關系為 T=9x-2x26-x,1≤x≤c,0,x>c. (2)由(1)知,當x>c時,每天的盈利額為0萬元, ∴1≤x≤c. (i)當3≤c<6時, T=9x-2x26-x=15-2(6-x)+96-x≤15-12=3, 當且僅當x=3時取等號.故Tmax=3,此時x=3. (ii)當1≤c<3時,由T=2x2-24x+54(6-x)2=2(x-3)(x-9)(6-x)2>0知, 函數T=9x-2x26-x在[1,c]上遞增,∴當x=c時,Tmax=9c-2c26-c, 綜上,若3≤c<6,則當日產量為3萬件時,可獲得最大利潤; 若1≤c<3,則當日產量為c萬件時,可獲得最大利潤.