《人教A版數學選修44：第1講3簡單曲線的極坐標方程【教學參考】》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《人教A版數學選修44：第1講3簡單曲線的極坐標方程【教學參考】（9頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 三簡單曲線的極坐標方程 課標解讀 1.了解極坐標方程的意義，了解曲線的極坐標方程的求法． 2．會進行曲線的極坐標方程與直角坐標方程的互化；了解簡單圖形(如過極點的直線、過極點或圓心在極點的圓)表示的極坐標方程． 3．能夠運用直線和圓的極坐標方程解決問題. 1．曲線與方程的關系 在平面直角坐標系中，平面曲線C可以用方程f(x，y)＝0表示．曲線與方程滿足如下關系： (1)曲線C上點的坐標都是方程f(x，y)＝0的解； (2)以方程f(x，y)＝0的解為坐標的點都在曲線C上． 2．曲線的極坐標方程 一般地，在極坐標系中，如果平面曲線C上任意一

2、點的極坐標中至少有一個滿足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐標適合方程f(ρ，θ)＝0的點都在曲線C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲線C的極坐標方程． 3．常見曲線的極坐標方程 曲　線 圖　形 極坐標方程 圓心在極點，半徑為r的圓 ρ＝r(0≤θ<2π) 圓心為(r,0)，半徑為r的圓 ρ＝2rcos_θ (－≤θ≤) 圓心為(r，)，半徑為r的圓 ρ＝2rsin_θ (0≤θ<π) 過極點，傾斜角為α的直線 θ＝α或θ＝α＋π 過點(a,0)，與極軸垂直的直線 ρcos_θ＝a (－<θ<) 過點(a，)，與極軸平行的直線 ρsi

3、n_θ＝a (0<θ<π) 1．曲線的極坐標方程是否惟一？ 【提示】　由于平面上點的極坐標的表示形式不惟一，所以曲線上的點的極坐標有多種表示，曲線的極坐標方程不惟一． 2．如何求圓心為C(ρ1，θ1)，半徑為r的圓的極坐標方程？ 【提示】　如圖所示，設圓C上的任意一點為M(ρ，θ)，且O、C、M三點不共線，不妨以如圖所示情況加以說明，在△OCM中，由余弦定理得|OM|2＋|OC|2－2|OM|·|OC|·cos∠COM＝|CM|2， ∴ρ2＋ρ－2ρρ1cos(θ－θ1)＝r2，可以檢驗，當O、C、M三點共線時的點M的坐標也適合上式，當θ<θ1時也滿足該式，所以半徑為r

4、，圓心在C(ρ1，θ1)的圓的極坐標方程為ρ2＋ρ－2ρρ1cos(θ－θ1)－r2＝0. 圓的極坐標方程 　求圓心在C(2，)處并且過極點的圓的極坐標方程，并判斷點(－2，sin)是否在這個圓上． 【思路探究】　解答本題先設圓上任意一點M(ρ，θ)，建立等式轉化為ρ，θ的方程，化簡可得，并檢驗特殊點． 【自主解答】　 如圖，由題意知，圓經過極點O，OA為其一條直徑，設M(ρ，θ)為圓上除點O，A以外的任意一點，則|OA|＝2r，連接AM，則OM⊥MA. 在Rt△OAM中，|OM|＝|OA|cos∠AOM， 即ρ＝2rcos(－θ)， ∴ρ＝－4sin θ， 經驗

5、證，點O(0,0)，A(4，)的坐標滿足上式． ∴滿足條件的圓的極坐標方程為ρ＝－4sin θ. ∵sin＝， ∴ρ＝－4sin θ＝－4sin＝－2， ∴點(－2，sin)在此圓上． 1．求曲線的極坐標方程通常有以下五個步驟：①建立適當的極坐標系(本題無需建)；②在曲線上任取一點M(ρ，θ)；③根據曲線上的點所滿足的條件寫出等式；④用極坐標(ρ，θ)表示上述等式，并化簡得曲線的極坐標方程；⑤證明所得的方程是曲線的極坐標方程．(一般只要對特殊點加以檢驗即可)． 2．求曲線的極坐標方程，關鍵是找出曲線上的點滿足的幾何條件，并進行坐標表示． 　(2012·江西高考)曲線C

6、的直角坐標方程為x2＋y2－2x＝0，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，則曲線C的極坐標方程為________． 【解析】　直角坐標方程x2＋y2－2x＝0可化為x2＋y2＝2x，將ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ代入整理得ρ＝2cos θ. 【答案】　ρ＝2cos θ 直線或射線的極坐標方程 　求過點A(1,0)，且傾斜角為的直線的極坐標方程． 【思路探究】　畫出草圖―→設點M(ρ，θ)是直線上的任意一點―→建立關于ρ，θ的方程檢驗 【自主解答】　 法一　設M(ρ，θ)為直線上除點A以外的任意一點． 則∠xAM＝，∠OAM＝， ∠OMA＝－θ. 在△

7、OAM中，由正弦定理得 ＝， 即＝， 故ρsin(－θ)＝， 即ρ(sincos θ－cossin θ)＝， 化簡得ρ(cos θ－sin θ)＝1， 經檢驗點A(1,0)的坐標適合上述方程， 所以滿足條件的直線的極坐標方程為 ρ(cos θ－sin θ)＝1， 其中，0≤θ<，ρ≥0和<θ<2π，ρ≥0. 法二　以極點O為直角坐標原點，極軸為x軸，建立平面直角坐標系xOy. ∵直線的斜率k＝tan＝1， ∴過點A(1,0)的直線方程為y＝x－1. 將y＝ρsin θ，x＝ρcos θ代入上式，得ρsin θ＝ρcos θ－1， ∴ρ(cos θ－sin θ)＝1，

8、 其中，0≤θ<，ρ≥0和<θ<2π，ρ≥0. 　法一通過運用正弦定理解三角形建立了動點M所滿足的等式，從而集中條件建立了以ρ，θ為未知數的方程；法二先求出直線的直角坐標方程，然后通過直角坐標向極坐標的轉化公式間接得解，過渡自然，視角新穎，不僅優(yōu)化了思維方式，而且簡化了解題過程． 　若本例中條件不變，如何求以A為端點且在極軸上方的射線的極坐標方程？ 【解】　由題意，設M(ρ，θ)為射線上任意一點， 根據例題可知，ρsin(－θ)＝， 化簡得ρ(cos θ－sin θ)＝1. 經檢驗點A(1,0)的坐標適合上述方程． 因此，以A為端點且在極軸上方的射線的極坐標方程為ρ

9、(cos θ－sin θ)＝1(其中ρ≥0,0≤θ<)． 極坐標方程與直角坐標方程的互化 　若曲線C的極坐標方程為ρ＝2sin θ＋4cos θ，以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立直角坐標系． (1)求曲線C的直角坐標方程； (2)若直線ρsin(θ－)＝0與曲線C相交于A、B，求|AB|. 【思路探究】　利用極坐標化為直角坐標的公式將直線和圓的極坐標方程化為直角坐標方程求解． 【自主解答】　(1)因為 所以ρ2＝x2＋y2， 由ρ＝2sin θ＋4cos θ，得ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ ∴x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1

10、)2＝5. (2)由ρsin(θ－)＝0， 得ρ(sin θ－cos θ)＝0， 即ρsin θ－ρcos θ＝0，∴x－y＝0. 由于圓(x－2)2＋(y－1)2＝5的半徑為r＝，圓心(2,1)到直線x－y＝0的距離為d＝＝， ∴|AB|＝2＝3. 1．直角坐標方程化為極坐標方程，只需把公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化簡即可；而極坐標方程化為直角坐標方程要通過變形，構造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，進行整體代換．其中方程的兩邊同乘以(或同除以)ρ及方程兩邊平方是常用的變形方法．但對方程進行變形時，方程必須保持同解，因此應注意對變形過程的檢驗

11、． 2．對方程進行合理變形，并注重公式的正向、逆向與變形使用． 　(2013·北京高考)在極坐標系中，點(2，)到直線ρsin θ＝2的距離等于________． 【解析】　極坐標系中點(2，)對應的直角坐標為(，1)．極坐標系中直線ρsin θ＝2對應直角坐標系中直線y＝2.故所求距離為1. 【答案】　1 極坐標方程的應用 　從極點O作直線與另一直線l：ρcos θ＝4相交于點M，在OM上取一點P，使|OM|·|OP|＝12. (1)求點P的軌跡方程； (2)設R為l上的任意一點，試求|RP|的最小值． 【思路探究】　建立點P的極坐標方程，完成直角坐標與極坐標方

12、程的互化，根據直線與圓的位置關系，數形結合求|RP|的最小值． 【自主解答】　(1)設動點P的極坐標為(ρ，θ)，M的極坐標為(ρ0，θ)，則ρρ0＝12. ∵ρ0cos θ＝4， ∴ρ＝3cos θ即為所求的軌跡方程． (2)將ρ＝3cos θ化為直角坐標方程， 得x2＋y2＝3x， 即(x－)2＋y2＝()2， 知P的軌跡是以(，0)為圓心，半徑為的圓． 直線l的直角坐標方程是x＝4. 結合圖形易得|RP|的最小值為1. 1．用極坐標法可使幾何中的一些問題得出很直接、簡單的解法．當然，因為建系的不同，曲線的極坐標方程也會不同． 2．解題時關鍵是極坐標要選取適當

13、，這樣可以簡化運算過程，轉化為直角坐標時也容易一些． 　過極點O作圓C：ρ＝8cos θ的弦ON，求ON的中點M的軌跡方程． 【解】　法一　如圖，圓心C(4,0)，半徑r＝|OC|＝4，連接CM. ∵M為弦ON的中點， ∴CM⊥ON，故M在以OC為直徑的圓上． 所以，動點M的軌跡方程是ρ＝4cos θ. 法二　設M點的坐標是(ρ，θ)，N(ρ1，θ1)． N點在圓ρ＝8cos θ上，∴ρ1＝8cos θ1.　?、? ∵M是ON的中點， ∴ 將它代入①式得2ρ＝8cos θ， 故M的軌跡方程是ρ＝4cos θ. (教材第15頁習題1.3，第5題) 已知直線的極

14、坐標方程為ρsin(θ＋)＝，求點A(2，π)到這條直線的距離． 　(2013·安徽高考)在極坐標系中，圓ρ＝2cos θ的垂直于極軸的兩條切線方程分別為(　　) A．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝2 B．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2 C．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝1 D．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝1 【命題意圖】　考查極坐標方程與直角坐標方程之間的轉化，圓的方程及其切線的求解．通過極坐標方程和直角坐標方程之間的轉化考查了知識的轉化能力、運算求解能力和轉化應用意識． 【解析】　由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，化為直角坐標方程為x2＋y2－2x＝0，即(

15、x－1)2＋y2＝1，其垂直于極軸的兩條切線方程為x＝0和x＝2，相應的極坐標方程為θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2. 【答案】　B 1．(2013·安陽質檢)下列點不在曲線ρ＝cos θ上的是(　　) A．(，)　　　　 　 　B．(－，) C．(，－) D．(，－) 【解析】　點(，－π)的極坐標滿足ρ＝，θ＝－π，且ρ≠cos θ＝cos(－π)＝－. 【答案】　D 2．圓心在(1,0)且過極點的圓的極坐標方程為(　　) A．ρ＝1 B．ρ＝cos θ C．ρ＝2cos θ D．ρ＝2sin θ 【解析】　圓的直角坐標方程是(x－1)2＋y2＝1，將x＝ρcos

16、 θ，y＝ρsin θ代入上式，整理得，ρ＝2cos θ，即為此圓的極坐標方程． 【答案】　C 3．極坐標方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的圖形是(　　) A．兩個圓 B．兩條直線 C．一個圓和一條射線 D．一條直線和一條射線 【解析】　由題設，得ρ＝1，或θ＝π， ρ＝1表示圓，θ＝π(ρ≥0)表示一條射線． 【答案】　C 4．已知曲線C1，C2的極坐標方程分別為ρcos θ＝3，ρ＝4cos θ(ρ≥0,0≤θ<)，則曲線C1與C2交點的極坐標為________． 【解析】　由ρcos θ＝3，ρ＝4cos θ，得4cos2 θ＝3. 又0≤θ<，則cos

17、 θ>0. ∴cos θ＝，θ＝，故ρ＝2. ∴兩曲線交點的極坐標為(2，)． 【答案】　(2，) (時間40分鐘，滿分60分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．極坐標方程ρ＝cos(－θ)表示的曲線是(　　) A．雙曲線　　　　　　　B．橢圓 C．拋物線 D．圓 【解析】　ρ＝cos(－θ)＝cos cos θ＋sin sin θ＝cos θ＋sin θ，∴ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，即x2＋y2＝x＋y. 化簡整理，得(x－)2＋(y－)2＝，表示圓． 【答案】　D 2．(2013·三門峽質檢)過極點傾斜角為的直線的極坐標方程可以為(　　) A．θ

18、＝ B．θ＝，ρ≥0 C．θ＝，ρ≥0 D．θ＝和θ＝，ρ≥0 【解析】　以極點O為端點，所求直線上的點的極坐標分成兩條射線． ∵兩條射線的極坐標方程為θ＝和θ＝π. ∴直線的極坐標方程為θ＝和θ＝π(ρ≥0)． 【答案】　D 3．在極坐標系中，圓ρ＝－2sin θ的圓心的極坐標是(　　) A．(1，) B．(1，－) C．(1,0) D．(1，π) 【解析】　由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐標方程為x2＋y2＝－2y，化成標準方程為x2＋(y＋1)2＝1，圓心坐標為(0，－1)，其對應的極坐標為(1，－)． 【答案】　B 4．在極坐標系中

19、與圓ρ＝4sin θ相切的一條直線的方程為(　　) A．ρcos θ＝ B．ρcos θ＝2 C．ρ＝4sin(θ＋) D．ρ＝4sin(θ－) 【解析】　極坐標方程ρ＝4sin θ化為ρ2＝4ρsin θ，即x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4. 由所給的選項中ρcos θ＝2知，x＝2為其對應的直角坐標方程，該直線與圓相切． 【答案】　B 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．(2013·鶴壁調研)點Q是圓ρ＝4cos θ上的一點，當Q在圓上移動時，OQ(O是極點)中點P的軌跡的極坐標方程是________． 【解析】　ρ＝4cos θ是以(2,0)為圓心，半徑

20、為2的圓，則P的軌跡是以(1,0)為圓心，半徑為1的圓，所以極坐標方程是ρ＝2cos θ. 【答案】　ρ＝2cos θ 6．(2012·安徽高考)在極坐標系中，圓ρ＝4sin θ的圓心到直線θ＝(ρ∈R)的距離是________． 【解析】　極坐標系中的圓ρ＝4sin θ轉化為平面直角坐標系中的一般方程為：x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4，其圓心為(0,2)，直線θ＝轉化為平面直角坐標系中的方程為y＝x，即x－3y＝0. ∴圓心(0,2)到直線x－3y＝0的距離為＝. 【答案】　 三、解答題(每小題10分，共30分) 7．(2012·江蘇高考)在極坐標系中，已知圓C經過

21、點P(，)，圓心為直線ρsin(θ－)＝－與極軸的交點，求圓C的極坐標方程． 【解】　在ρsin(θ－)＝－中，令θ＝0，得ρ＝1， 所以圓C的圓心坐標為(1,0)， 因為圓C經過點P(，)， 所以圓C的半徑PC＝＝1，于是圓C過極點， 所以圓C的極坐標方程為ρ＝2cos θ. 8．在直角坐標系xOy中，以O為極點，x正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρcos(θ－)＝1，M，N分別為C與x軸，y軸的交點． (1)寫出C的直角坐標方程，并求M，N的極坐標； (2)設MN的中點為P，求直線OP的極坐標方程． 【解】　(1)由ρcos(θ－)＝1， 得ρ(cos θ

22、＋sin θ)＝1. 又x＝ρcos θ，y＝ρsin θ. ∴曲線C的直角坐標方程為＋y＝1， 即x＋y－2＝0. 當θ＝0時，ρ＝2，∴點M(2,0)． 當θ＝時，ρ＝，∴點N(，)． (2)由(1)知，M點的坐標(2,0)，點N的坐標(0，)． 又P為MN的中點， ∴點P(1，)，則點P的極坐標為(，)． 所以直線OP的極坐標方程為θ＝(ρ∈R)． 9．在極坐標系中，P是曲線ρ＝12sin θ上的一動點，Q是曲線ρ＝12cos(θ－)上的動點，試求|PQ|的最大值． 【解】　∵ρ＝12sin θ， ∴ρ2＝12ρsin θ， ∴x2＋y2－12y＝0，即x2＋(

23、y－6)2＝36. 又∵ρ＝12cos(θ－)， ∴ρ2＝12ρ(cos θcos＋sin θsin)， ∴x2＋y2－6x－6y＝0， ∴(x－3)2＋(y－3)2＝36. ∴|PQ|max＝6＋6＋＝18. 教師備選 10．(2012·大連模擬)在極坐標系中，O為極點，已知圓C的圓心為(2，)，半徑r＝1，P在圓C上運動。 (1)求圓C的極坐標方程； (2)在直角坐標系(與極坐標系取相同的長度單位，且以極點O為原點，以極軸為x軸正半軸)中，若Q為線段OP的中點，求點Q軌跡的直角坐標方程． 【解】　(1)設圓C上任一點坐標為(ρ，θ)，由余弦定理得12＝ρ2＋22－2·2ρcos(θ－)， 所以圓的極坐標方程為ρ2－4ρcos(θ－)＋3＝0. (2)設Q(x，y)，則P(2x,2y)，由于圓C的直角坐標方程為(x－1)2＋(y－)2＝1，P在圓C上，所以(2x－1)2＋(2y－)2＝1，則Q的直角坐標方程為 (x－)2＋(y－)2＝. 最新精品語文資料