第2課時(shí)　參數(shù)方程和普通方程的互化 課標(biāo)解讀 1.了解參數(shù)方程化為普通方程的意義． 2．理解參數(shù)方程與普通方程的互相轉(zhuǎn)化與應(yīng)用． 3．掌握參數(shù)方程化為普通方程的方法. 　參數(shù)方程與普通方程的互化 (1)曲線(xiàn)的參數(shù)方程和普通方程是曲線(xiàn)方程的不同形式．一般地，可以通過(guò)消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程． (2)如果知道變數(shù)x，y中的一個(gè)與參數(shù)t的關(guān)系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一個(gè)變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系y＝g(t)，那么就是曲線(xiàn)的參數(shù)方程．在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x，y的取值范圍保持一致． 　普通方程化為參數(shù)方程，參數(shù)方程的形式是否惟一？ 【提示】　不一定惟一．普通方程化為參數(shù)方程，關(guān)鍵在于適當(dāng)選擇參數(shù)，如果選擇的參數(shù)不同，那么所得的參數(shù)方程的形式也不同. 參數(shù)方程化為普通方程 　在方程(a，b為正常數(shù))中， (1)當(dāng)t為參數(shù)，θ為常數(shù)時(shí)，方程表示何種曲線(xiàn)？ (2)當(dāng)t為常數(shù)，θ為參數(shù)時(shí)，方程表示何種曲線(xiàn)？ 【思路探究】　(1)運(yùn)用加減消元法，消t；(2)當(dāng)t＝0時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)，當(dāng)t為非零常數(shù)時(shí)，利用平方關(guān)系消參數(shù)θ，化成普通方程，進(jìn)而判定曲線(xiàn)形狀． 【自主解答】　方程(a，b是正常數(shù))， (1)①×sin θ－②×cos θ得 xsin θ－ycos θ－asin θ＋bcos θ＝0. ∵cos θ、sin θ不同時(shí)為零， ∴方程表示一條直線(xiàn)． (2)(ⅰ)當(dāng)t為非零常數(shù)時(shí)， 原方程組為 ③2＋④2得＋＝1， 即(x－a)2＋(y－b)2＝t2，它表示一個(gè)圓． (ⅱ)當(dāng)t＝0時(shí)，表示點(diǎn)(a，b)． 1．消去參數(shù)的常用方法 將參數(shù)方程化為普通方程，關(guān)鍵是消去參數(shù)，如果參數(shù)方程是整式方程，常用的消元法有代入消元法、加減消元法．如果參數(shù)方程是分式方程，在運(yùn)用代入消元或加減消元之前要做必要的變形．另外，熟悉一些常見(jiàn)的恒等式至關(guān)重要，如sin2α＋cos2α＝1，(ex＋e－x)2－(ex－e－x)2＝4，()2＋()2＝1等． 2．把參數(shù)方程化為普通方程時(shí)，要注意哪一個(gè)量是參數(shù)，并且要注意參數(shù)的取值對(duì)普通方程中x及y的取值范圍的影響．本題啟示我們，形式相同的方程，由于選擇參數(shù)的不同，可表示不同的曲線(xiàn)． 　將下列參數(shù)方程分別化為普通方程，并判斷方程所表示曲線(xiàn)的形狀： (1)(θ為參數(shù)，0≤θ≤π)； (2)(θ為參數(shù))； (3)(a，b為大于零的常數(shù)，t為參數(shù))． 【解】　(1)將兩式平方相加，得x2＋y2＝4. ∵0≤θ≤π，∴－2≤x≤2,0≤y≤2. 所以方程的曲線(xiàn)表示圓心為(0,0)，半徑為2的圓的上半部分． (2)由得 即 ∴x－y＝0. ∵0≤sin22θ≤1， ∴≤1－sin22θ≤1. 所以方程x－y＝0(≤x≤1)表示一條線(xiàn)段． (3)∵x＝(t＋)， ∴t>0時(shí)，x∈[a，＋∞)，t<0時(shí)，x∈(－∞，－a]． 由x＝(t＋)， 兩邊平方可得x2＝(t2＋2＋)① 由y＝(t－)兩邊平方可得 y2＝(t2－2＋)② ①×－②×并化簡(jiǎn)，得－＝1(a，b為大于0的常數(shù))，這就是所求的曲線(xiàn)方程，它表示的曲線(xiàn)是中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)． 普通方程化為參數(shù)方程 　曲線(xiàn)的普通方程為＋＝1，寫(xiě)出它的參數(shù)方程． 【思路探究】　聯(lián)想sin2θ＋cos2θ＝1可得參數(shù)方程． 【自主解答】　設(shè)＝cos θ，＝sin θ， 則(θ為參數(shù))，即為所求的參數(shù)方程． 1．將圓的普通方程化為參數(shù)方程 (1)圓x2＋y2＝r2的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù))； (2)圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． 2．普通方程化為參數(shù)方程關(guān)鍵是引入?yún)?shù)(例如x＝f(t)，再計(jì)算y＝g(t))，并且要保證等價(jià)性．若不可避免地破壞了同解變形，則一定要通過(guò)x＝f(t)，y＝g(t)，調(diào)整t的取值范圍，使得在普通方程轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程的過(guò)程中，x，y的取值范圍保持一致． 　設(shè)y＝tx(t為參數(shù))，則圓x2＋y2－4y＝0的參數(shù)方程是________． 【解析】　把y＝tx代入x2＋y2－4y＝0得x＝，y＝， ∴參數(shù)方程為(t為參數(shù))． 【答案】　(t為參數(shù)) 利用參數(shù)思想解題 　已知x、y滿(mǎn)足x2＋(y－1)2＝1，求： (1)3x＋4y的最大值和最小值； (2)(x－3)2＋(y＋3)2的最大值和最小值． 【思路探究】　設(shè)圓的參數(shù)方程，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的最大值和最小值問(wèn)題來(lái)解決． 【自主解答】　由圓的普通方程x2＋(y－1)2＝1得圓的參數(shù)方程為(θ∈[0,2π))． (1)3x＋4y＝3cos θ＋4sin θ＋4 ＝4＋5sin(θ＋φ)， 其中tan φ＝，且φ的終邊過(guò)點(diǎn)(4,3)． ∵－5≤5sin(θ＋φ)≤5， ∴－1≤4＋5sin(θ＋φ)≤9， ∴3x＋4y的最大值為9，最小值為－1. (2)(x－3)2＋(y＋3)2 ＝(cos θ－3)2＋(sin θ＋4)2 ＝26＋8sin θ－6cos θ ＝26＋10sin(θ＋φ)． 其中tan φ＝－， 且φ的終邊過(guò)點(diǎn)(4，－3)． ∵－10≤10sin(θ＋φ)≤10， ∴16≤26＋10sin(θ＋φ)≤36 所以(x－3)2＋(y＋3)2的最大值為36，最小值為16. 1．參數(shù)思想是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思想，在參數(shù)方程中，參數(shù)(參變量)起著媒介作用，它是聯(lián)系曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的橋梁．通過(guò)參數(shù)θ，間接建立曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)間的聯(lián)系，拓寬了解題思路，簡(jiǎn)化了思維過(guò)程．它是研究解析幾何問(wèn)題的重要工具． 2．運(yùn)用參數(shù)思想解題的關(guān)鍵在于參數(shù)的選擇．選擇參數(shù)時(shí)，應(yīng)注意所選擇的參數(shù)易于與兩個(gè)坐標(biāo)產(chǎn)生聯(lián)系．由于三角函數(shù)的巨大作用，常選擇角為參數(shù)，若軌跡與運(yùn)動(dòng)有關(guān)，常選擇時(shí)間為參數(shù)． 3．(1)解決與圓有關(guān)的最大值和最小值問(wèn)題，常常設(shè)圓的參數(shù)方程，然后轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的最大值和最小值問(wèn)題． (2)注意運(yùn)用三角恒等式求最值： asin θ＋bcos θ＝sin(θ＋φ)． 其中tan φ＝(a≠0)，且φ的終邊過(guò)點(diǎn)(a，b)． 　若本例條件不變，如何求的取值范圍？ 【解】　由于(θ∈[0,2π))， ∴k＝＝. ∴sin θ－kcos θ＝k－3 即sin(θ＋φ)＝k－3.(φ由tan φ＝－k確定) ∴sin(θ＋φ)＝. 依題意，得||≤1， ∴()2≤1，解得k≥. 所以的取值范圍是[，＋∞)． (教材第26頁(yè)習(xí)題2.1第4題) 把參數(shù)方程(φ為參數(shù))化為普通方程，并說(shuō)明它表示什么曲線(xiàn)． 　(2013·廣東高考)已知曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos θ.以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系，則曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為_(kāi)_______． 【命題意圖】　本題考查了極坐標(biāo)方程、普通方程和參數(shù)方程的互化．利用普通方程過(guò)渡，三種方程的互化體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，同時(shí)也考查函數(shù)與方程思想的應(yīng)用，這個(gè)過(guò)程用計(jì)算串聯(lián)起來(lái)，考查考生的運(yùn)算求解能力． 【解析】　ρ＝2cos θ化為普通方程為＝，即(x－1)2＋y2＝1，則其參數(shù)方程為(α為參數(shù))，即(α為參數(shù))． 【答案】　(α為參數(shù)) 1．將參數(shù)方程(θ為參數(shù))化為普通方程為(　　) A．y＝x－2　　　　　　B．y＝x＋2 C．y＝x－2(2≤x≤3) D．y＝x＋2(0≤y≤1) 【解析】　消去sin2θ，得x＝2＋y， 又0≤sin2θ≤1，∴2≤x≤3. 【答案】　C 2．把方程xy＝1化為以t為參數(shù)的參數(shù)方程是(　　) A. B. C. D. 【答案】　D 3．圓x2＋(y＋1)2＝2的參數(shù)方程為(　　) A.(θ為參數(shù)) B.(θ為參數(shù)) C.(θ為參數(shù)) D.(θ為參數(shù)) 【解析】　由x＝cos θ，y＋1＝sin θ知參數(shù)方程為 (θ為參數(shù))．故選D. 【答案】　D 4．(2013·鄭州模擬)在直角坐標(biāo)系中，圓C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，若以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則圓C的極坐標(biāo)方程為_(kāi)_______． 【解析】　消去α得圓的方程為x2＋(y－2)2＝4. 將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入得(ρcos θ)2＋(ρsin θ－2)2＝4，整理得ρ＝4sin θ. 【答案】　ρ＝4sin θ (時(shí)間40分鐘，滿(mǎn)分60分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．曲線(xiàn)(θ為參數(shù))的方程等價(jià)于(　　) A．x＝　　　　　B．y＝ C．y＝± D．x2＋y2＝1 【解析】　由x＝|sin θ|得0≤x≤1；由y＝cos θ得－1≤y≤1.故選A. 【答案】　A 2．參數(shù)方程(0≤t≤5)表示的曲線(xiàn)是(　　) A．線(xiàn)段 B．雙曲線(xiàn)的一支 C．圓弧 D．射線(xiàn) 【解析】　消去t，得x－3y－5＝0. ∵0≤t≤5， ∴－1≤y≤24. 【答案】　A 3．能化為普通方程x2＋y－1＝0的參數(shù)方程為(　　) A. B. C. D. 【解析】　由x2＋y－1＝0，知x∈R，y≤1. 排除A、C、D，只有B符合． 【答案】　B 4．若x，y滿(mǎn)足x2＋y2＝1，則x＋y的最大值為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】　由于圓x2＋y2＝1的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，則x＋y＝sin θ＋cos θ＝2sin(θ＋)， 故x＋y的最大值為2.故選B. 【答案】　B 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．曲線(xiàn)(θ為參數(shù))上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為_(kāi)_______． 【解析】　設(shè)M(x，y)是曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)， ∴|OM|＝ ＝ ＝(φ由tan φ＝－確定) 當(dāng)sin(θ＋φ)＝1時(shí)，|OM|取最大值6. 【答案】　6 6．(2013·重慶高考)在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．若極坐標(biāo)方程為ρcos θ＝4的直線(xiàn)與曲線(xiàn)(t為參數(shù))相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝________. 【解析】　由ρcos θ＝4，知x＝4. 又∴x3＝y(tǒng)2(x≥0)． 由得或 ∴|AB|＝＝16. 【答案】　16 三、解答題(每小題10分，共30分) 7．已知曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，t>0)．求曲線(xiàn)C的普通方程． 【解】　由x＝－兩邊平方得x2＝t＋－2， 又y＝3(t＋)，則t＋＝(y≥6)． 代入x2＝t＋－2，得x2＝－2. ∴3x2－y＋6＝0(y≥6)． 故曲線(xiàn)C的普通方程為3x2－y＋6＝0(y≥6)． 8．已知P(x，y)是圓x2＋y2－2y＝0上的動(dòng)點(diǎn)． (1)求2x＋y的取值范圍； (2)若x＋y＋c≥0恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍． 【解】　方程x2＋y2－2y＝0變形為x2＋(y－1)2＝1. 其參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． (1)2x＋y＝2cos θ＋sin θ＋1＝sin(θ＋φ)＋1(其中φ由sin φ＝，cos φ＝確定)． ∴1－≤2x＋y≤1＋. (2)若x＋y＋c≥0恒成立，即c≥－(cos θ＋sin θ＋1)對(duì)一切θ∈R恒成立． ∵－(cos θ＋sin θ＋1)的最大值是－1. ∴當(dāng)且僅當(dāng)c≥－1時(shí)，x＋y＋c≥0恒成立． 9．(2012·福建高考)在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知直線(xiàn)l上兩點(diǎn)M，N的極坐標(biāo)分別為(2,0)，(，)，圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． ①設(shè)P為線(xiàn)段MN的中點(diǎn)，求直線(xiàn)OP的平面直角坐標(biāo)方程； ②判斷直線(xiàn)l與圓C的位置關(guān)系． 【解】?、儆深}意知，M，N的平面直角坐標(biāo)分別為(2,0)，(0，)．又P為線(xiàn)段MN的中點(diǎn)，從而點(diǎn)P的平面直角坐標(biāo)為(1，)，故直線(xiàn)OP的平面直角坐標(biāo)方程為y＝x. ②因?yàn)橹本€(xiàn)l上兩點(diǎn)M，N的平面直角坐標(biāo)分別為(2,0)，(0，)， 所以直線(xiàn)l的平面直角坐標(biāo)方程為x＋y－2＝0. 又圓C的圓心坐標(biāo)為(2，－)，半徑為r＝2， 圓心到直線(xiàn)l的距離d＝＝<r，故直線(xiàn)l與圓C相交． 教師備選 10．已知某條曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為(其中t是參數(shù)，a∈R)，點(diǎn)M(5,4)在該曲線(xiàn)上． (1)求常數(shù)a； (2)求曲線(xiàn)C的普通方程． 【解】　(1)由題意，可知故所以a＝1. (2)由已知及(1)可得，曲線(xiàn)C的方程為由第一個(gè)方程，得t＝，代入第二個(gè)方程，得y＝()2，即(x－1)2＝4y為所求． 最新精品語(yǔ)文資料