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2019屆高三數(shù)學上學期期中試題理 (VI) 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。 1. 已知全集 ，集合 ，，則 A. B. C. D. 2. 設命題 ：若定義域為 的函數(shù) 不是偶函數(shù)，則 ，．命題 ： 在 上是減函數(shù)，在 上是增函數(shù)．則下列判斷錯誤的是 A. 為假 B. 為真 C. 為真 D. 為假 3. 已知 ，，則 A. B. C. D. 4. 函數(shù) 的圖象大致為 A. B. C. D. 5. 已知正六邊形ABCDEF的邊長是2，一條拋物線恰好經(jīng)過該正六邊形相鄰的四個頂點，則拋物線的焦點到準線的距離是 A. B. C. D. 6. 已知，為平面上的單位向量，與的起點均為坐標原點，與的夾角為，平面區(qū)域D由所有滿足的點P組成，其中那么平面區(qū)域D的面積為 A. B. C. D. 7. 設命題p：實數(shù)滿足，q：實數(shù)x，y滿足，則p是q的 A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 8. 若實數(shù)a，b，c，d滿足，則的最小值為 A. B. 2 C. D. 8 9. 已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和兩點A(－m,0)，B(m,0)(m>0)．若圓C上存在點P，使得∠APB＝90，則m的最大值為 A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 10. 已知點A，F(xiàn)，P分別為雙曲線的左頂點、右焦點以及右支上的動點，若恒成立，則雙曲線的離心率為 A. B. C. 2 D. 11. 設，若函數(shù) 在區(qū)間上有三個零點，則實數(shù) 的取值范圍是 A. B. C. D. 12. 設實數(shù) ，若對任意的 ，不等式 恒成立，則 的最小值為 A. B. C. D. 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分. 13.定義在上的函數(shù)滿足及，且在上有，則________． 14. △ABC的三內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，其中b＝3，c＝2． O為△ABC的外心，則________． 15. 已知點及圓，一光線從點出發(fā)，經(jīng)軸上一點反射后與圓相切于點，則的值為________． 16. 函數(shù)的零點個數(shù)為________． 三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。 17. （本小題滿分12分）如圖，在△ABC中，點P在BC邊上，∠PAC＝60，PC＝2，AP＋AC＝4． （1）求∠ACP； （2）若△APB的面積是 ，求 ． 18. （本小題滿分12分）設拋物線的焦點為，過且斜率為的直線與交于，兩點，． （1）求的方程； （2）求過點，且與的準線相切的圓的方程． 19. （本小題滿分12分）如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點． （1）證明：AE⊥PD； （2）若PA＝AB＝2，求二面角E-AF-C余弦值． 20. （本小題滿分12分）已知橢圓的離心率，過焦點且垂直于x軸的直線被橢圓截得的線段長為3． （1）求橢圓的方程； （2）斜率為的動直線l與橢圓交于A,B兩點，在平面上是否存在定點P，使得當直線PA與直線PB的斜率均存在時，斜率之和是與l無關的常數(shù)？若存在，求出所有滿足條件的定點P的坐標；若不存在，請說明理由． 21. （本小題滿分12分）設函數(shù)，其中a∈R． （1）討論的單調性； （2）若函數(shù)存在極值，對于任意的，存在正實數(shù)，使得 試判斷與的大小關系并給出證明． （二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分. 22. （本小題滿分10分）已知曲線的參數(shù)方程(t為參數(shù))．在以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線． (1)求曲線的普通方程和的直角坐標方程； (2)若與相交于A、B兩點，設點，求的值． 23. （本小題滿分10分）已知函數(shù)． (1)若，使得不等式成立，求實數(shù)m的最小值M； (2)在(1)的條件下，若正數(shù)a，b滿足，求的最小值． 佛山一中xx高三年級期中考數(shù)學（理科）答案 一、選擇題 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C C D B D A D B C D A 二、填空題 13. 14. 15. 16. 2 三、解答題 17. （1） 在 中，因為 ，，， 由余弦定理得 ，…………………………2分 所以 ， 整理得 ， 解得 ．所以 ．…………………………………………………………………4分 所以 是等邊三角形． 所以 ．………………………………………………………………………………5分 （2） 由于 是 的外角， 所以 ．……………………………………………………………………………6分 因為 的面積是 ， 所以 ．………………………………………………………7分 所以 ．………………………………………………………………………………………8分 在 中， 所以 ．…………………………………………………………………………………10分 在 中，由正弦定理得 ，…………………………………11分 所以 ．……………………………………………………12分 18. (1)設，由題意得，的方程為．…………………1分 由得．……………………………………………………2分 ，故．…………………………………………………………3分 所以．…………………………………………4分 由題設知，解得（舍去），．……………………………………………5分 因此的方程為．……………………………………………………………………………6分 (2)由(1)得的中點坐標為， 所以的垂直平分線方程為，即．……………………………………8分 設所求圓的圓心坐標為，則……………………………10分 解得或……………………………………………………………………………11分 因此所求圓的方程為或．……………………12分 19. （1） 因為四棱錐 ，底面 為菱形， ，， 分別是 ， 的中點， 所以 是等邊三角形， 所以 ，…………………………………………1分 又因為在菱形 中，， 所以 ，…………………………………………2分 因為 ，，所以 ，………………………………3分 因為 ，所以 ，………………………………………………………4分 因為 ，所以 ．……………………………………………………………5分 （2） 由（）知 ，， 兩兩垂直，所以以 為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，因為 ， 分別為 ， 的中點，，所以 ，，， ，，，，……………………………………………………6分 所以 ，，………………………………………………………7分 設平面 的一個法向量為 ， 則 取 ，得 ，……………………………………………………………………9分 因為 ，，，所以 ， 所以 為平面 的一個法向量．又 ，………………………………11分 所以 ． 因為二面角 為銳角， 所以所求二面角的余弦值為 ．………………………………………………………………………12分 20. (1) 設橢圓的半焦距為c，則，且．由解得．……2分 依題意，，于是橢圓的方程為．…………………………………………………4分 (2)設，設，與橢圓方程聯(lián)立得 則有……………………………………………………………………………6分 直線PA,PB的斜率之和 …………………9分 當時斜率的和恒為0，解得…………………………………11分 綜上所述，所有滿足條件的定點P的坐標為或．…………………………………12分 21. 解　（1）函數(shù)f(x)的導函數(shù)………………2分 情形一　a?0．此時，于是f(x)在上單調遞增；……………………………………3分 情形二　a>0．此時f(x)在上單調遞增，在上單調遞減．………………………4分 （2）函數(shù)f(x)存在極值，因此a>0．根據(jù)題意，有 …………5分 而 …………6分 故只需要比較與的大?。? 令，則．當時，，故在(1,＋∞)上單調遞增．因此，當時，． 于是，，即．………………………………………………9分 于是………………………………………………………………………………10分 又在上單調遞減，因此進而．……………………………12分 22. 解：(1)∵曲線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，，， ∴曲線的普通方程為．…………………………………………………………………2分 ∵曲線：，，，， ∴曲線的直角坐標方程為．………………………………………………………………5分 (Ⅱ)由題意可設，與A、B兩點對應的參數(shù)分別為，，將的參數(shù)方程代入C2的直角坐標方程，化簡整理得，，，…………………………………7分 ，，， ．……………………………………………………………………………10分 23.解：(1)由題意，不等式有解，即．…………1分 ，…………………………………………………………………3分 當且僅當時取等號， ．…………………………………………………………………………………………………5分 (2)由(1)得， ，…………………………………8分 當且僅當時取等號，………………………………………………………9分 故．…………………………………………………………………………………10分