2019年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點聚焦與擴展 專題39 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法.doc
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專題39 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 【熱點聚焦與擴展】 數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)方法,其應(yīng)用主要體現(xiàn)在證明等式、證明不等式、證明整除性問題、歸納猜想證明等.本專題主要舉例說明利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問題. 1、數(shù)學(xué)歸納法適用的范圍:關(guān)于正整數(shù)的命題(例如數(shù)列,不等式,整除問題等),則可以考慮使用數(shù)學(xué)歸納法進行證明 2、第一數(shù)學(xué)歸納法:通過假設(shè)成立,再結(jié)合其它條件去證成立即可.證明的步驟如下: (1)歸納驗證:驗證(是滿足條件的最小整數(shù))時,命題成立 (2)歸納假設(shè):假設(shè)成立,證明當(dāng)時,命題也成立 (3)歸納結(jié)論:得到結(jié)論:時,命題均成立 3、第一歸納法要注意的地方: (1)數(shù)學(xué)歸納法所證命題不一定從開始成立,可從任意一個正整數(shù)開始,此時歸納驗證從開始 (2)歸納假設(shè)中,要注意,保證遞推的連續(xù)性 (3)歸納假設(shè)中的,命題成立,是證明命題成立的重要條件.在證明的過程中要注意尋找與的聯(lián)系 4、第二數(shù)學(xué)歸納法:在第一數(shù)學(xué)歸納法中有一個細節(jié),就是在假設(shè)命題成立時,可用的條件只有,而不能默認其它的時依然成立.第二數(shù)學(xué)歸納法是對第一歸納法的補充,將歸納假設(shè)擴充為假設(shè),命題均成立,然后證明命題成立.可使用的條件要比第一歸納法多,證明的步驟如下: (1)歸納驗證:驗證(是滿足條件的最小整數(shù))時,命題成立 (2)歸納假設(shè):假設(shè)成立,證明當(dāng)時,命題也成立 (3)歸納結(jié)論:得到結(jié)論:時,命題均成立. 5.注意點:對于歸納猜想證明類問題,有三個易錯點.一是歸納結(jié)論不正確;二是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法,確認n的初始值n0不準(zhǔn)確;三是在第二步證明中,忽視應(yīng)用歸納假設(shè). 【經(jīng)典例題】 例1.【2018屆重慶市第一中學(xué)5月月考】已知為正項數(shù)列的前項和,,記數(shù)列的前項和為,則的最小值為______. 【答案】 【解析】分析:由題意首先求得,然后利用題意結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)確定最小值即可. 詳解:由題意結(jié)合, 以下用數(shù)學(xué)歸納法進行證明: 當(dāng)時,結(jié)論是成立的, 假設(shè)當(dāng)時,數(shù)列的通項公式為:,則, 由題意可知:, 結(jié)合假設(shè)有:,解得:, 綜上可得數(shù)列的通項公式是正確的. 據(jù)此可知:,, 利用等差數(shù)列前n項和公式可得:, 則, 結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)可知,當(dāng)或時,取得最小值, 當(dāng)時, 當(dāng)時, 由于,據(jù)此可知的最小值為. 點睛:本題的關(guān)鍵在于合理利用歸納推理得到數(shù)列的通項公式.歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理,由歸納推理所得的結(jié)論不一定正確,通常歸納的個體數(shù)目越多,越具有代表性,那么推廣的一般性命題也會越可靠,它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法. 例2. 設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和,滿足Sn=2an-2 (n∈N*) (1)求的值,并由此猜想數(shù)列{an}的通項公式an; (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(Ⅰ)中的猜想. 【答案】(1);(2)見解析. 當(dāng)n=4時,a1+a2+a3+a4=S4=2a4-2,∴a4=16. 由此猜想: (n∈N*). (2)證明:①當(dāng)n=1時,a1=2,猜想成立. ②假設(shè)n=k(k≥1且k∈N*)時,猜想成立,即, 那么n=k+1時, ak+1=Sk+1-Sk=2ak+1-2ak ∴ak+1=2ak, 這表明n=k+1時,猜想成立, 由①②知猜想 成立. 點睛:數(shù)學(xué)歸納法被用來證明與自然數(shù)有關(guān)的命題:遞推基礎(chǔ)不可少,歸納假設(shè)要用到,結(jié)論寫明莫忘掉. 例3.已知數(shù)列滿足:,. (Ⅰ)試求數(shù)列,,的值; (Ⅱ)請猜想的通項公式,并運用數(shù)學(xué)歸納法證明之. 【答案】(Ⅰ) , , . (Ⅱ),證明見解析. 由此猜想. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明之: 當(dāng) 時,,結(jié)論成立; 假設(shè)時,結(jié)論成立,即有, 則對于時, ∴當(dāng)時,結(jié)論成立. 綜上,可得對, 成立 點睛:運用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)問題的步驟及其需要注意的問題: 1、第一步:歸納奠基(即驗證時成立); 第二步:歸納遞推(即假設(shè)時成立,驗證時成立); 3、兩個條件缺一不可,在驗證時成立時一定要用到歸納假設(shè)時的結(jié)論,最后得到的形式應(yīng)與前面的完全一致. 例4.【2018屆浙江省溫州市高三9月一模】已知數(shù)列中,,(). (1)求證:; (2)求證:是等差數(shù)列; (3)設(shè),記數(shù)列的前項和為,求證: . 【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)證明見解析. 【解析】試題分析:(1)利用數(shù)學(xué)歸納法可證明;(2)化簡,由可得是等差數(shù)列;(3)由(2)可得,從而可得,先證明,利用放縮法及等比數(shù)列求和公式可證結(jié)論. (2)由,得, 所以, 即, 即, 所以,數(shù)列是等差數(shù)列. (3)由(2)知,, ∴, 因此, 當(dāng)時,, 即時,, 所以時,, 顯然,只需證明,即可. 當(dāng)時, . 例5.已知函數(shù) (1)若函數(shù)在處切線斜率為,,已知,求證: (2)在(1)的條件下,求證: 【答案】見解析 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明: 當(dāng)時,成立 假設(shè)成立,則時 時,不等式成立 (2) 由(1)可知 例6.【浙江省紹興市2018屆5月調(diào)測】已知數(shù)列中. (1)證明:; (2)設(shè)數(shù)列的前項和為,證明:. 【答案】(1)見解析;(2)見解析 詳解:(1)數(shù)學(xué)歸納法:①當(dāng)時,,,顯然有. ②假設(shè)當(dāng),結(jié)論成立,即, 那么,, 即, 綜上所述成立. (2)由(1)知:,, 即 ,; 點睛:解決數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題的關(guān)鍵是從題設(shè)中提煉出數(shù)列的基本條件,綜合函數(shù)與不等式的知識求解;數(shù)列是特殊的函數(shù),以數(shù)列為背景的不等式證明問題及以函數(shù)為背景的數(shù)列的綜合問題體現(xiàn)了在知識交匯點上命題的特點. 例7.【福建省南平市2018屆5月檢查】己知函數(shù). (Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間; (Ⅱ)若函數(shù)的最小值為-1,,數(shù)列滿足,,記,表示不超過的最大整數(shù).證明:. 【答案】(Ⅰ)見解析; (Ⅱ)見解析. 詳解:(Ⅰ)函數(shù)的定義域為. 1、當(dāng)時,,即在上為增函數(shù); 2、當(dāng)時,令得,即在上為增函數(shù); 同理可得在上為減函數(shù). (Ⅱ)Q有最小值為-1,\由(Ⅰ)知函數(shù)的最小值點為, 即,則, 令, 當(dāng)時,,故在上是減函數(shù) 所以當(dāng)時 ∵,∴.(未證明,直接得出不扣分) 則.由得, 從而.∵,∴. 猜想當(dāng)時,. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想正確. 1、當(dāng)時,猜想正確. 2、假設(shè)時,猜想正確. 即時,. 當(dāng)時,有, 由(Ⅰ)知是上的增函數(shù), 則,即, 例8.已知函數(shù),在原點處切線的斜率為,數(shù)列滿足為常數(shù)且,. (1)求的解析式; (2)計算,并由此猜想出數(shù)列的通項公式; (3)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想. 【答案】(1);(2) ;(3)證明見解析. (2),則, ,, 由此猜想數(shù)列的通項公式應(yīng)為. (3)①當(dāng)時,猜想顯然成立, ②假設(shè)時,猜想成立,即, 則當(dāng)時,, 即當(dāng)時,猜想成立.由①②知,對一切正整數(shù)都成立. 例9.已知數(shù)列是等差數(shù)列,. (1)求數(shù)列的通項公式; (2)設(shè)數(shù)列的通項 (其中且)記是數(shù)列的前項和,試比較與的大小,并證明你的結(jié)論. 【答案】(1);(2)當(dāng)時,,當(dāng)時,,證明見解析. 詳解:(1) 設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d, 由題意得,∴bn=3n-2 . (2)證明:由bn=3n-2知Sn=loga(1+1)+loga(1+)+…+loga(1+) =loga[(1+1)(1+)…(1+ )] 而logabn+1=loga,于是,比較Sn與logabn+1 的大小 比較(1+1)(1+)…(1+)與的大小 取n=1,有(1+1)= 取n=2,有(1+1)(1+ 推測 (1+1)(1+)…(1+)> (*) ①當(dāng)n=1時,已驗證(*)式成立 ②假設(shè)n=k(k≥1)時(*)式成立,即(1+1)(1+)…(1+)> 則當(dāng)n=k+1時, , 即當(dāng)n=k+1時,(*)式成立 由①②知,(*)式對任意正整數(shù)n都成立 于是,當(dāng)a>1時,Sn>logabn+1 ,當(dāng) 0<a<1時,Sn<logabn+1 . 例10.【2018年浙江省高考模擬】已知數(shù)列滿足: . 證明:當(dāng)時, (1); (2); (3). 【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)見解析 由數(shù)列的遞推式,以及(2)的結(jié)論可得,根據(jù)等比數(shù)列的通項公式即可證明,再結(jié)合已知可得,即可證明不等式成立. 詳解:(1)數(shù)學(xué)歸納法證明: 當(dāng)時, 成立 假設(shè)時,成立,那么時,假設(shè), 則,矛盾 所以,故得證 所以,故 (2)由 得 設(shè) 則 (3)由(2)得,則 所以 又,所以,所以,故 所以,所以 【精選精練】 1.用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時,由時等式成立推證時,左邊應(yīng)增加的項為__________ . 【答案】 點睛:項數(shù)的變化規(guī)律,是利用數(shù)學(xué)歸納法解答問題的基礎(chǔ),也是易錯點,要使問題順利得到解決,關(guān)鍵是注意兩點:一是首尾兩項的變化規(guī)律;二是相鄰兩項之間的變化規(guī)律. 2.用火柴棒擺“金魚”,如圖所示: 按照上面的規(guī)律,第n個“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)為______________. 【答案】 【解析】試題分析:由題意得:“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)依次構(gòu)成一個等差數(shù)列,首項為8,公差為6,因此第n項為 x+kw 3.已知數(shù)列中,且. (1)求,,; (2)根據(jù)(1)的結(jié)果猜想出的一個通項公式,并用數(shù)學(xué)歸納法進行證明; (3)若,且,求. 【答案】(1);(2),證明見解析;(3). (2)由此猜想. 下面用數(shù)學(xué)歸納法加以證明: ①當(dāng)時,由(1)知成立; ②假設(shè),結(jié)論成立,即成立. 則當(dāng)時,有,即 即時,結(jié)論也成立; 由①②可知,的通項公式為. (3)由(2)知, . 4.已知數(shù)列的前項和為,且滿足,. (1)計算,,,根據(jù)計算結(jié)果,猜想的表達式; (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你猜想的結(jié)論. 【答案】(1)答案見解析;(2)證明見解析. 【解析】分析:(1)計算,,,根據(jù)計算結(jié)果,猜想. (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想的結(jié)論. 由此猜想, (2)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明, ①當(dāng)時,顯然成立, ②假設(shè)當(dāng)時猜想成立,即, 由題意得, ∴, ∴, ∴當(dāng)時猜想也成立, 由①和②,可知猜想成立,即. 點睛:(1)在利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)問題時,一定要注意利用前面的時的假設(shè),否則就是偽數(shù)學(xué)歸納法,是錯誤的.(2)看到或,要注意聯(lián)想到項和公式解題. 5.已知數(shù)列滿足,. (1)計算,,,根據(jù)計算結(jié)果,猜想的表達式; (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你猜想的結(jié)論. 【答案】(1)答案見解析;(2)證明見解析. 由此猜想; (2)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明, ①當(dāng)時,顯然成立, ②假設(shè)當(dāng)時猜想成立,即, 由題意得,∴當(dāng)時猜想也成立; 由①和②,可知猜想成立,即. 6.已知數(shù)列滿足且. (1)計算、、的值,由此猜想數(shù)列的通項公式; (2)用數(shù)學(xué)歸納法對你的結(jié)論進行證明. 【答案】(1),;(2)證明見解析. 【解析】試題分析:(1)由,,將代入上式計算出、、的值,根據(jù)共同規(guī)律猜想即可;(2)對于,用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.①當(dāng)時,證 即當(dāng)時,結(jié)論也成立, 由①②得,數(shù)列的通項公式為. 7.在數(shù)列中,,,,, . ()計算,,的值. ()猜想數(shù)列的通項公式,并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明. 【答案】(1),,;(2),證明見解析. ()由()可猜想:,證明:當(dāng)時,,等式成立,假設(shè)時,等式成立,即,則當(dāng)時, ,即當(dāng)時,等式也成立,綜上所述,對任意自然數(shù),. 8.已知數(shù)列數(shù)列{an}的通項公式an=(-1)n(2n-1)(n∈N*),Sn為其前n項和. (1)求S1,S2,S3,S4的值; (2)猜想Sn的表達式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論. 【答案】(1)S1=-1,S2=2,S3=-3,S4=4;(2)答案見解析. 【解析】試題分析:(Ⅰ)根據(jù),代入計算,可求的值;(Ⅱ)由(Ⅰ)猜想的表達式,再根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟進行證明,檢驗時等式成立,假設(shè)時命題成立,證明時命題也成立即可. 試題解析:(1)依題意可得S1=-1,S2=-1+3=2,S3=-1+3-5=-3,S4=-1+3-5+7=4; (2)猜想:Sn=(-1)nn. 證明:①當(dāng)n=1時,猜想顯然成立; ②假設(shè)當(dāng)n=k時,猜想成立,即Sk=(-1)kk, 那么當(dāng)n=k+1時,Sk+1=(-1)kk+ak+1=(-1)kk+(-1)k+1(2k+1)=(-1)k+1(k+1). 即n=k+1時,猜想也成立. 故由①和②可知,猜想成立. 【方法點睛】本題考查歸納推理以及數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用,屬于中檔題.由歸納推理所得的結(jié)論雖然未必是可靠的,但它由特殊到一般,由具體到抽象的認識功能,對科學(xué)的發(fā)現(xiàn)十分有用,觀察、實驗、對有限的資料作歸納整理,提出帶規(guī)律性的說法是科學(xué)研究的最基本的方法之一.通過不完全歸納法發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,用數(shù)學(xué)歸納法加以證明才能應(yīng)用. 9.設(shè), ,令, , . (1)寫出, , 的值,并猜想數(shù)列的通項公式; (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論. 【答案】(1)a1=1,a2=,a3=;a4=,猜想an= (n∈N+);(2)證明見解析. 試題解析: (1)∵a1=1, ∴a2=f(a1)=f(1)=, a3=f(a2)=;a4=f(a3)=, 猜想an= (n∈N+); (2)證明:①易知,n=1時,猜想正確. ②假設(shè)n=k時猜想正確,即ak=, 則ak+1=f(ak)==. 這說明n=k+1時猜想正確. 由①②知,對于任何n∈N+,都有an=. 點睛:數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法,主要用于解決與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題.證明時步驟(1)和(2)缺一不可,步驟(1)是步驟(2)的基礎(chǔ),步驟(2)是遞推的依據(jù). 10.【2017浙江,22】已知數(shù)列{xn}滿足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(). 證明:當(dāng)時, (Ⅰ)0<xn+1<xn; (Ⅱ)2xn+1? xn≤; (Ⅲ)≤xn≤. 【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ)見解析;(Ⅲ)見解析. 【解析】 (Ⅱ)由得 【名師點睛】本題主要考查數(shù)列的概念、遞推關(guān)系與單調(diào)性等基礎(chǔ)知識,不等式及其應(yīng)用,同時考查推理論證能力、分析問題和解決問題的能力,屬于難題.本題主要應(yīng)用:(1)數(shù)學(xué)歸納法證明不等式;(2)構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式;(3)由遞推關(guān)系證明. 11.【2018屆浙江省名校協(xié)作體高三上學(xué)期聯(lián)考】已知無窮數(shù)列的首項, . (Ⅰ)證明: ; (Ⅱ) 記, 為數(shù)列的前項和,證明:對任意正整數(shù), . 【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ)見解析. 【解析】試題分析; (I)運用數(shù)學(xué)歸納法推理論證, (Ⅱ)由已知,即,可得數(shù)列為遞增數(shù)列. 又 ,易知為遞減數(shù)列, 試題解析:(Ⅰ)證明:①當(dāng)時顯然成立; ②假設(shè)當(dāng) 時不等式成立,即, 那么當(dāng)時, ,所以, 即時不等式也成立. 綜合①②可知, 對任意成立. (Ⅱ),即,所以數(shù)列為遞增數(shù)列. 又 ,易知為遞減數(shù)列, 所以也為遞減數(shù)列, 所以當(dāng)時, 所以當(dāng)時, 當(dāng)時, ,成立; 當(dāng)時, 綜上,對任意正整數(shù), 12.已知,. (1)若,求的值; (2)若,求的值; (3)若是展開式中所有無理項的二項式系數(shù)和,數(shù)列是各項都大于1的數(shù)組成的數(shù)列,試用數(shù)學(xué)歸納法證明:. 【答案】(1). (2)165.(3)見解析. 所以 . (3)因為,所以要得無理項,必為奇數(shù), 所以, 要證明, 只要證明,用數(shù)學(xué)歸納法證明如下: (Ⅰ)當(dāng)時,左邊=右邊, 當(dāng)時,, ∴時,不等式成立. 綜合(Ⅰ)(Ⅱ)可知對一切均成立. ∴不等式成立 . 點睛:本題主要考查二項式定理的應(yīng)用、初等函數(shù)求導(dǎo)公式以及數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,屬于難題.利用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論的步驟是:(1)驗證時結(jié)論成立;(2)假設(shè)時結(jié)論正確,證明時結(jié)論正確(證明過程一定要用假設(shè)結(jié)論);(3)得出結(jié)論.- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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