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第2講 動量守恒定律
板塊一 主干梳理夯實基礎(chǔ)
【知識點1】 動量守恒定律及其應(yīng)用 Ⅱ
1.幾個相關(guān)概念
(1)系統(tǒng):在物理學(xué)中,將相互作用的幾個物體所組成的物體組稱為系統(tǒng)。
(2)內(nèi)力:系統(tǒng)內(nèi)各物體之間的相互作用力叫做內(nèi)力。
(3)外力:系統(tǒng)以外的其他物體對系統(tǒng)的作用力叫做外力。
2.動量守恒定律
(1)內(nèi)容:如果一個系統(tǒng)不受外力,或者所受外力的矢量和為0,這個系統(tǒng)的總動量保持不變,這就是動量守恒定律。
(2)表達(dá)式
①p=p′,系統(tǒng)相互作用前總動量p等于相互作用后的總動量p′。
②m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′,相互作用的兩個物體組成的系統(tǒng),作用前的動量和等于作用后的動量和。
③Δp1=-Δp2,相互作用的兩個物體動量的增量等大反向。
④Δp=0,系統(tǒng)總動量的增量為零。
(3)適用條件
①理想守恒:系統(tǒng)不受外力或所受外力的合力為零,則系統(tǒng)動量守恒。
②近似守恒:系統(tǒng)受到的合力不為零,但當(dāng)內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力時,系統(tǒng)的動量可近似看成守恒。
③某方向守恒:系統(tǒng)在某個方向上所受合力為零時,系統(tǒng)在該方向上動量守恒。
【知識點2】 彈性碰撞和非彈性碰撞?、?
1.碰撞
碰撞是指物體間的相互作用持續(xù)時間很短,而物體間相互作用力很大的現(xiàn)象。
2.特點
在碰撞現(xiàn)象中,一般都滿足內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力,可認(rèn)為相互碰撞的系統(tǒng)動量守恒。
3.分類
動量是否守恒
機械能是否守恒
彈性碰撞
守恒
守恒
非彈性碰撞
守恒
有損失
完全非彈性碰撞
守恒
損失最大
4.反沖現(xiàn)象
(1)在某些情況下,原來系統(tǒng)內(nèi)物體具有相同的速度,發(fā)生相互作用后各部分的末速度不再相同而分開。這類問題相互作用的過程中系統(tǒng)的動能增大,且常伴有其他形式能向動能的轉(zhuǎn)化。
(2)反沖運動的過程中,如果合外力為零或外力的作用遠(yuǎn)小于物體間的相互作用力,可利用動量守恒定律來處理。
5.爆炸問題
爆炸與碰撞類似,物體間的相互作用力很大,且遠(yuǎn)大于系統(tǒng)所受的外力,所以系統(tǒng)動量守恒,爆炸過程中位移很小,可忽略不計,作用后從相互作用前的位置以新的動量開始運動。
板塊二 考點細(xì)研悟法培優(yōu)
考點1動量守恒定律[深化理解]
1.動量守恒的“五性”
(1)矢量性:表達(dá)式中初、末動量都是矢量,首先需要選取正方向,分清各物體初、末動量的正、負(fù)。
(2)瞬時性:動量是狀態(tài)量,動量守恒指對應(yīng)每一時刻的總動量都和初時刻的總動量相等。
(3)同一性:速度的大小跟參考系的選取有關(guān),應(yīng)用動量守恒定律,各物體的速度必須是相對同一慣性參考系的速度。一般選地面為參考系。
(4)相對性:動量守恒定律方程中的動量必須是相對于同一慣性參考系。
(5)普適性:它不僅適用于兩個物體所組成的系統(tǒng),也適用于多個物體組成的系統(tǒng);不僅適用于宏觀物體組成的系統(tǒng),也適用于微觀粒子組成的系統(tǒng)。
2.應(yīng)用動量守恒定律解題的步驟
例1 如圖所示,質(zhì)量為m=245 g的物塊(可視為質(zhì)點)放在質(zhì)量為M=0.5 kg的木板左端,足夠長的木板靜止在光滑水平面上,物塊與木板間的動摩擦因數(shù)為μ=0.4。質(zhì)量為m0=5 g的子彈以速度v0=300 m/s 沿水平方向射入物塊并留在其中(時間極短),g取10 m/s2。子彈射入后,求:
(1)物塊相對木板滑行的時間;
(2)物塊相對木板滑行的位移。
(1)時間極短說明了什么?
提示:①子彈與物塊作用時,物塊的位置沒發(fā)生變化;
②子彈與物塊作用結(jié)束后,物塊與木板才相互作用。
(2)物體相對木板滑行的位移是物塊的位移嗎?
提示:不是。
嘗試解答 (1)1_s__(2)3_m。
(1)子彈打入木塊過程,由動量守恒定律得
m0v0=(m0+m)v1,
木塊在木板上滑動過程,由動量守恒定律得
(m0+m)v1=(m0+m+M)v2,
對子彈木塊整體,由動量定理得
-μ(m0+m)gt=(m0+m)(v2-v1),
聯(lián)立解得物體相對小車的滑行時間t==1 s。
(2)由能量守恒定律得
μ(m0+m)gd=(m0+m)v-(m0+m+M)v,
聯(lián)立解得d=3 m。
總結(jié)升華
應(yīng)用動量守恒定律應(yīng)注意的問題
(1)在同一物理過程中,系統(tǒng)的動量是否守恒與系統(tǒng)的選取密切相關(guān),因此應(yīng)用動量守恒解決問題時,一定要明確哪些物體組成的系統(tǒng)在哪個過程中動量是守恒的。
(2)注意挖掘題目中的隱含條件,這是解題的關(guān)鍵,如本例中,時間極短是指子彈與物塊相互作用時,物塊m位置沒變,子彈與物塊m共速后,才相對木板M運動。物塊相對木板滑行的位移是指物塊m相對木板M滑行的位移,并非對地的位移,并且物塊m和木板最后共速。
1.如圖所示,在桌面邊緣有一木塊質(zhì)量是1.99 kg,桌子高h(yuǎn)=0.8 m,一顆質(zhì)量為10 g的子彈,擊中木塊,并留在木塊內(nèi),落在桌子右邊80 cm處的P點,子彈入射的速度大小是下列哪個數(shù)據(jù)(g取10 m/s2)( )
A.200 m/s B.300 m/s
C.400 m/s D.500 m/s
答案 C
解析 題目牽涉的過程有兩個:一是子彈打擊木塊;二是子彈木塊共同做平拋運動。根據(jù)平拋位移x=0.8 m知x=v共t,t=,所以v共==x=2 m/s。子彈打擊木塊過程中動量守恒,則有mv0=(M+m)v共,所以v0==400 m/s,C正確。
2. [2018寧夏固原市一中月考]如圖所示,質(zhì)量為M的滑塊靜止在光滑的水平面上,滑塊的光滑弧面底部與桌面相切,一個質(zhì)量為m的球以速度v0向滑塊滾來,小球不能越過滑塊,則小球到達(dá)最高點時,小球和滑塊的速度大小是( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 小球沿滑塊上滑的過程中,對小球和滑塊組成系統(tǒng),水平方向不受外力因而動量守恒,小球到達(dá)最高點時和滑塊具有相同的對地速度v(若速度不相同,必然相對滑塊運動,此時一定不是最高點)。由水平方向動量守恒得:mv0=(M+m)v,所以v=,A正確。
考點2碰撞問題分析[模型應(yīng)用]
1.分析碰撞問題的三個依據(jù)
(1)動量守恒,即p1+p2=p1′+p2′。
(2)動能不增加,即Ek1+Ek2≥Ek1′+Ek2′或+≥+。
(3)速度要合理
①碰前兩物體同向,則v后>v前;碰后,原來在前的物體速度一定增大,且v前′≥v后′。
②兩物體相向運動,碰后兩物體的運動方向不可能都不改變。
2.彈性碰撞的規(guī)律
兩球發(fā)生彈性碰撞時應(yīng)滿足動量守恒和機械能守恒。
以質(zhì)量為m1,速度為v1的小球與質(zhì)量為m2的靜止小球發(fā)生正面彈性碰撞為例,則有
m1v1=m1v1′+m2v2′①
m1v=m1v1′2+m2v2′2②
由①②得v1′= v2′=
結(jié)論:
(1)當(dāng)m1=m2時,v1′=0,v2′=v1,兩球碰撞后交換了速度。
(2)當(dāng)m1>m2時,v1′>0,v2′>0,并且v1′
0,碰撞后質(zhì)量小的球被反彈回來。
例2 兩個小球A、B在光滑水平面上沿同一直線運動,其動量大小分別為5 kgm/s和7 kgm/s,發(fā)生碰撞后小球B的動量大小變?yōu)?0 kgm/s,由此可知:兩小球的質(zhì)量之比可能為( )
A.=1 B.=
C.= D.=
(1)A、B兩小球動量大小分別為5 kgm/s和7 kgm/s有幾種情況?
提示:①同向運動,A球在前,B球在后;
②同向運動,A球在后,B球在前;
③相向運動。
(2)發(fā)生碰撞時,一定守恒的是什么?
提示:動量。
嘗試解答 選C。
將兩小球碰撞前后的動量方向間的關(guān)系作出如下各種假設(shè),然后運用碰撞的三個制約因素進(jìn)行檢驗。
(1)設(shè)A、B兩小球相向運動而發(fā)生碰撞,并取小球B碰前的運動方向為參考正方向,即
pA0=-5 kgm/s,pB0=7 kgm/s
根據(jù)“運動制約”,小球B在碰后動量欲增大,其動量方向必與原動量方向相反,即pB=-10 kgm/s
根據(jù)“動量制約”,小球A在碰后動量必為pA=12 kgm/s,而這樣的碰撞結(jié)果顯然違背了“動能制約”,因為顯然有:
+≤+。
(2)設(shè)A、B兩小球同向運動而發(fā)生碰撞,且A球在前,B球在后,取兩小球碰前的運動方向為參考正方向,即pA0=5 kgm/s,pB0=7 kgm/s。
根據(jù)“運動制約”,小球B在碰后動量欲增大,其動量方向必與原動量方向相反,即pB=-10 kgm/s。
根據(jù)“動量制約”,小球A在碰后動量必為pA=22 kgm/s,而這樣的碰撞結(jié)果顯然也違背“動能制約”,因為顯然也有:+≤+。
(3)設(shè)A、B兩小球同向運動而發(fā)生碰撞,且B球在前,A球在后,仍取兩個小球碰前的運動方向為參考正方向,即pA0=5 kgm/s,pB0=7 kgm/s。
根據(jù)“運動制約”,小球B在碰后動量欲增大,其動量方向必與原動量方向相同,即pB=10 kgm/s。
根據(jù)“動量制約”,小球A在碰后動量必有pA=2 kgm/s,而這樣的碰撞結(jié)果完全可以不違背“動能制約”,只要有:+≥+,即≤。
仍然根據(jù)“運動制約”,為了保證碰前小球A能追上小球B而發(fā)生碰撞,同時為了保證碰后小球A不至于超越到小球B的前面,應(yīng)分別有:>,≤。綜上可知≤≤,C正確。
總結(jié)升華
碰撞問題解題策略
(1)抓住碰撞的特點和不同種類碰撞滿足的條件,列出相應(yīng)方程求解。
(2)可熟記一些公式,例如“一動一靜”模型中,兩物體發(fā)生彈性正碰后的速度滿足:v1=v0、v2=v0。
(3)熟記彈性正碰的一些結(jié)論,例如,當(dāng)兩球質(zhì)量相等時,兩球碰撞后交換速度;當(dāng)m1?m2,且v20=0時,碰后質(zhì)量大的速率不變,質(zhì)量小的速率為2v0;當(dāng)m1?m2,且v20=0時,碰后質(zhì)量小的球原速率反彈。
(多選)質(zhì)量為m的小球A,沿光滑水平面以v0的速度與質(zhì)量為2m的靜止小球B發(fā)生正碰,碰撞后A球的動能變?yōu)樵瓉淼模敲葱∏駼的速度可能是( )
A.v0 B.v0 C.v0 D.v0
答案 AB
解析 根據(jù)Ek=mv2,碰撞后A球的動能變?yōu)樵瓉淼模瑒tA的速度變?yōu)関A′=v0,正、負(fù)表示方向有兩種可能。
當(dāng)vA′=v0,vA′與v0同向時有:
mv0=mv0+2mvB,vB=v0。
碰撞后系統(tǒng)總動能為:
Ek總=EkA′+EkB′=mv=EkA,
機械能減小說明碰撞是非彈性碰撞。
當(dāng)vA′=-v0,vA′與v0反向時有:
mv0=-mv0+2mvB,vB=v0。
碰撞后系統(tǒng)總動能為:
Ek總″=EkA″+EkB″=mv,
機械能守恒說明碰撞是彈性碰撞。
考點3爆炸、反沖及“人船模型”[模型應(yīng)用]
1.爆炸的特點
(1)動量守恒:由于爆炸是在極短的時間內(nèi)完成的,發(fā)生爆炸時物體間的相互作用力遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于受到的外力,所以在爆炸過程中,系統(tǒng)的總動量守恒。
(2)動能增加:在爆炸過程中,由于有其他形式的能量(如化學(xué)能)轉(zhuǎn)化為動能,所以爆炸前后系統(tǒng)的總動能增加。
(3)位置不變:爆炸的時間極短,因而在作用過程中,物體產(chǎn)生的位移很小,一般可忽略不計,可以認(rèn)為爆炸后仍然從爆炸前的位置以新的動量開始運動。
2.反沖
(1)現(xiàn)象:物體的不同部分在內(nèi)力的作用下向相反方向運動的現(xiàn)象。
(2)特點:一般情況下,物體間的相互作用力(內(nèi)力)較大,因此系統(tǒng)動量往往有以下幾種情況:①動量守恒;②動量近似守恒;③某一方向上動量守恒。反沖運動中機械能往往不守恒。
(3)實例:噴氣式飛機、火箭等都是利用反沖運動的實例。
3.“人船模型”
若系統(tǒng)在全過程中動量守恒,則這一系統(tǒng)在全過程中平均動量也守恒。如果系統(tǒng)由兩個物體組成,且相互作用前均靜止,相互作用中均發(fā)生運動,則由m11-m22=0,得m1x1=m2x2。
例3 載人氣球靜止于高h(yuǎn)的空中,氣球的質(zhì)量為M,人的質(zhì)量為m,若人沿繩梯滑至地面,則繩梯至少為多長?
(1)人和氣球的速度有什么關(guān)系?
提示:=。
(2)人和氣球?qū)Φ氐奈灰婆c繩長有什么關(guān)系?
提示:x人+x球=L繩。
嘗試解答 h。
氣球和人原來靜止在空中,說明系統(tǒng)所受合外力為零,故系統(tǒng)在人下滑過程中動量守恒,人著地時繩梯至少應(yīng)接觸地面,設(shè)繩梯長為L,人沿繩梯滑至地面,人的位移為x人,球的位移為x球,它們的位移狀態(tài)圖如圖所示,
由平均動量守恒有:0=Mx球-mx人,
又有x球+x人=L,x人=h,故L=h。
總結(jié)升華
利用人船模型解題需注意兩點
(1)條件
①系統(tǒng)的總動量守恒或某一方向上的動量守恒。
②構(gòu)成系統(tǒng)的兩物體原來靜止,因相互作用而反向運動。
③x1、x2均為沿動量方向相對于同一參考系的位移。
(2)解題關(guān)鍵是畫出草圖確定初、末位置和各物體位移關(guān)系。
(多選)向空中發(fā)射一物體,不計空氣阻力。當(dāng)此物體的速度恰好沿水平方向時,物體炸裂成a、b兩塊,若質(zhì)量較大的a塊的速度方向仍沿原來的方向,則 ( )
A.b的速度方向一定與原速度方向相反
B.從炸裂到落地的這段時間里,a飛行的水平距離一定比b的大
C.a(chǎn)、b一定同時到達(dá)水平地面
D.在炸裂過程中,a、b受到的爆炸力大小一定相等
答案 CD
解析 空中爆炸問題,因系統(tǒng)內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力,故滿足系統(tǒng)動量守恒的條件。由題中所給物理情景“一分為二”,系統(tǒng)動量守恒的表達(dá)式為mv0=mava+mbvb
因mava與mv0同向,取v0為正方向。討論:
①若mavamv0,則mbvb為負(fù)向,vb與va反向,a在b之前。所以A錯誤;因題設(shè)條件只給出了va與v0同向和ma>mb,但未給出va一定大于或等于v0的條件。所以vb大于、等于和小于va的情況都有可能存在,從同一高度平拋物體的水平射程由水平初速度決定,故sb>sa、sb=sa、sbm,故v方向水平向右。
(2)功能關(guān)系:當(dāng)木塊A相對于地向左運動距離最遠(yuǎn)時,末速度為零,在這過程中,克服摩擦力Ff做功的結(jié)果是消耗了自身的動能:Ffs=mv而A剛好沒有滑離B板的條件是:A滑到B板的最左端,且二者具有相同速度v,A、B間因摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能等于系統(tǒng)動能的損失:Q=Ffl=(v-v2)由以上各式得向左運動的最遠(yuǎn)距離:s=l。
考點5動量守恒與其他知識的綜合[拓展延伸]
1.動量守恒與動能定理、功能關(guān)系、牛頓運動定律,以及直線運動、平拋運動、圓周運動等運動學(xué)知識綜合。
2.動量守恒與能量守恒、核反應(yīng)知識綜合。
3.動量守恒與混合場(重力場和電場)、向心力、平拋運動、能量綜合。
例5 [2017吉林長春調(diào)研]如圖,LMN是豎直平面內(nèi)固定的光滑絕緣軌道,MN水平且足夠長,LM下端與MN相切。質(zhì)量為m的帶正電小球B靜止在水平軌道上,質(zhì)量為2m的帶正電小球A從LM上距水平軌道高為h處由靜止釋放,在A球進(jìn)入水平軌道之前,由于A、B兩球相距較遠(yuǎn),相互作用力可認(rèn)為是零,A球進(jìn)入水平軌道后,A、B兩球間相互作用視為靜電作用。帶電小球均可視為質(zhì)點。已知A、B兩球始終沒有接觸。重力加速度為g。求:
(1)A、B兩球相距最近時,A球的速度v;
(2)A、B兩球最終的速度vA、vB的大小。
(1)A、B兩球相距最近的含義是什么?
提示:A、B共速。
(2)怎樣理解A、B兩球最終的速度?
提示:當(dāng)A、B間相互斥力作用足夠長時間后,它們的間距就足夠遠(yuǎn),相互間的斥力可以忽略不計,電勢能為零。
嘗試解答 (1) (2),。
(1)對下滑的過程:2mgh=2mv,v0=,
球進(jìn)入水平軌道后兩球組成的系統(tǒng)動量守恒,兩球最近時速度相等。
2mv0=(2m+m)v,
v=v0=。
(2)當(dāng)A、B相距最近之后,由于靜電斥力的相互作用,它們將會相互遠(yuǎn)離,當(dāng)它們相距足夠遠(yuǎn)時,它們之間的相互作用力可視為零,電勢能也視為零,它們就達(dá)到最終的速度,該過程中,A、B兩球組成的系統(tǒng)動量守恒、能量也守恒。
2mv0=2mvA+mvB,
2mv=2mv+mv,
得vA=v0=,
vB=v0=。
總結(jié)升華
動量守恒與其他知識綜合問題的求解方法
動量守恒與其他知識綜合問題往往是多過程問題。解決這類問題首先要弄清物理過程,其次是弄清每一個物理過程遵從什么樣的物理規(guī)律。最后根據(jù)物理規(guī)律對每一個過程列方程求解,找出各物理過程之間的聯(lián)系是解決問題的關(guān)鍵。
[2017河南開封一模]如圖所示,在高h(yuǎn)1=30 m的光滑水平平臺上,物塊P以初速度v0水平向右運動,與靜止在水平臺上的物塊Q發(fā)生碰撞,mQ=2mP,碰撞后物塊P靜止,物塊Q以一定的水平速度向右滑離平臺,并恰好沿光滑圓弧形軌道BC的B點的切線方向進(jìn)入圓弧形軌道,B點的高度h2=15 m,圓弧軌道的圓心O與平臺等高,軌道最低點C的切線水平,并與地面上長為l=70 m的水平粗糙軌道CD平滑連接,物塊Q沿軌道BCD運動并與右邊墻壁發(fā)生碰撞。g取10 m/s2。
(1)求物塊Q由A到B的運動時間;
(2)求物塊P初速度v0的大??;
(3)若小物塊Q與墻壁只發(fā)生一次碰撞,碰后速度等大反向,反向運動過程中沒有沖出B點,最后停在軌道CD上的某點E(E點沒畫出)。設(shè)小物塊與軌道CD之間的動摩擦因數(shù)為μ,求μ的取值范圍。
答案 (1) s (2)20 m/s (3)0.17<μ≤0.5
解析 (1)由于h1=30 m,h2=15 m,設(shè)小物塊Q從A運動到B的時間為t,則h1-h(huán)2=gt2,解得t= s。
(2)由于R=h1,Rcosθ=h1-h(huán)2,所以θ=60,小物塊Q平拋的水平速度是v1,有=tan60,解得v1=10 m/s。
小物塊P與Q發(fā)生碰撞的過程中系統(tǒng)的動量守恒,選取向右為正方向,由動量守恒定律得mPv0=mQv1
解得v0=20 m/s
(3)設(shè)小物塊Q在水平軌道CD上通過的總路程為s,根據(jù)題意,該路程的最大值是smax=3l
路程的最小值是smin=l
路程最大時,動摩擦因數(shù)最??;路程最小時,動摩擦因數(shù)最大,由能量守恒知
mQgh1+mQv=μminmQgsmax,
mQgh1+mQv=μmaxmQgsmin
解得μmax=,μmin=,即0.17<μ≤0.5。
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