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古典概型 【考點(diǎn)梳理】 1．基本事件的特點(diǎn) (1)任何兩個(gè)基本事件是互斥的． (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2．古典概型 具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱(chēng)為古典概率模型，簡(jiǎn)稱(chēng)古典概型． (1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)． (2)每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等． 3．如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè)，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個(gè)基本事件的概率都是；如果某個(gè)事件A包括的結(jié)果有m個(gè)，那么事件A的概率P(A)＝. 4．古典概型的概率公式 P(A)＝. 【考點(diǎn)突破】 考點(diǎn)一、古典概型的概率 【例1】(1)為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個(gè)花壇中，余下的2種花種在另一個(gè)花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是(　　) A． B． C． D． (2)從分別寫(xiě)有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為(　　) A． B． C． D． (3)已知5件產(chǎn)品中有2件次品，其余為合格品．現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件，恰有一件次品的概率為(　　) A．0.4　　 B．0.6 C．0.8 D．1 [答案] (1) C　(2) D (3) B [解析] (1)從4種顏色的花中任選2種顏色的花種在一個(gè)花壇中，余下2種顏色的花種在另一個(gè)花壇的種數(shù)有：紅黃—白紫、紅白—黃紫、紅紫—白黃、黃白—紅紫、黃紫—紅白、白紫—紅黃，共6種，其中紅色和紫色的花不在同一花壇的種數(shù)有：紅黃—白紫、紅白—黃紫、黃紫—紅白、白紫—紅黃，共4種.故所求概率為P＝＝. (2)從5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張的情況如圖： 基本事件總數(shù)為25，第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的事件數(shù)為10，故所求概率P＝＝. (3)記3件合格品分別為A1，A2，A3,2件次品分別為B1，B2，從5件產(chǎn)品中任取2件，有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，共10種可能．其中恰有一件次品有6種可能，由古典概型得所求事件概率為＝0.6. 【類(lèi)題通法】 1．計(jì)算古典概型事件的概率可分三步，(1)計(jì)算基本事件總個(gè)數(shù)n；(2)計(jì)算事件A所包含的基本事件的個(gè)數(shù)m；(3)代入公式求出概率P. 2．用列舉法寫(xiě)出所有基本事件時(shí)，可借助“樹(shù)狀圖”列舉，以便做到不重、不漏． 【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】 1．如果3個(gè)正整數(shù)可作為一個(gè)直角三角形三條邊的邊長(zhǎng)，則稱(chēng)這3個(gè)數(shù)為一組勾股數(shù).從1，2，3，4，5中任取3個(gè)不同的數(shù)，則這3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為(　　) A． B． C． D． [答案] C [解析] 從1，2，3，4，5中任取3個(gè)不同的數(shù)共有如下10個(gè)不同的結(jié)果：(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，其中勾股數(shù)只有(3，4，5)，所求概率為.所以3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率P＝. 2．甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各自等可能地從紅、白、藍(lán)3種顏色的運(yùn)動(dòng)服中選擇1種，則他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)服的概率為_(kāi)_______. [答案] [解析] 甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員選擇運(yùn)動(dòng)服顏色的情況為(紅，紅)，(紅，白)，(紅，藍(lán))，(白，白)，(白，紅)，(白，藍(lán))，(藍(lán)，藍(lán))，(藍(lán)，白)，(藍(lán)，紅)，共9種. 而同色的有(紅，紅)，(白，白)，(藍(lán)，藍(lán))，共3種. 所以所求概率P＝＝. 3．從甲、乙等5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人，則甲被選中的概率為(　　) A． B． C． D． [答案] B [解析] 設(shè)另外三名學(xué)生分別為丙、丁、戊.從5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人，有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)，共10種情形，其中甲被選中的有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，共4種情形.故甲被選中的概率P＝＝. 考點(diǎn)二、古典概型與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用 【例2】某公司為了解用戶(hù)對(duì)其產(chǎn)品的滿(mǎn)意度，從A，B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了20個(gè)用戶(hù)，得到用戶(hù)對(duì)產(chǎn)品的滿(mǎn)意度評(píng)分如下： A地區(qū)：62　73　81　92　95　85　74　64　53 76　78　86　95　66　97　78　88　82　76　89 B地區(qū)：73　83　62　51　91　46　53　73　64 82　93　48　65　81　74　56　54　76　65　79 (1)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶(hù)滿(mǎn)意度評(píng)分的莖葉圖，并通過(guò)莖葉圖比較兩地區(qū)滿(mǎn)意度評(píng)分的平均值及分散程度(不要求計(jì)算出具體值，給出結(jié)論即可)； (2)根據(jù)用戶(hù)滿(mǎn)意度評(píng)分，將用戶(hù)的滿(mǎn)意度從低到高分為三個(gè)等級(jí)： 滿(mǎn)意度評(píng)分 低于70分 70分到89分 不低于90分 滿(mǎn)意度等級(jí) 不滿(mǎn)意 滿(mǎn)意 非常滿(mǎn)意 記事件C：“A地區(qū)用戶(hù)的滿(mǎn)意度等級(jí)高于B地區(qū)用戶(hù)的滿(mǎn)意度等級(jí)”．假設(shè)兩地區(qū)用戶(hù)的評(píng)價(jià)結(jié)果相互獨(dú)立．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，求C的概率. [解析] (1)兩地區(qū)用戶(hù)滿(mǎn)意度評(píng)分的莖葉圖如下： 通過(guò)莖葉圖可以看出，A地區(qū)用戶(hù)滿(mǎn)意度評(píng)分的平均值高于B地區(qū)用戶(hù)滿(mǎn)意度評(píng)分的平均值；A地區(qū)用戶(hù)滿(mǎn)意度評(píng)分比較集中，B地區(qū)用戶(hù)滿(mǎn)意度評(píng)分比較分散. (2)記CA1表示事件：“A地區(qū)用戶(hù)的滿(mǎn)意度等級(jí)為滿(mǎn)意或非常滿(mǎn)意”； CA2表示事件：“A地區(qū)用戶(hù)的滿(mǎn)意度等級(jí)為非常滿(mǎn)意”； CB1表示事件：“B地區(qū)用戶(hù)的滿(mǎn)意度等級(jí)為不滿(mǎn)意”； CB2表示事件：“B地區(qū)用戶(hù)的滿(mǎn)意度等級(jí)為滿(mǎn)意”； 則CA1與CB1獨(dú)立，CA2與CB2獨(dú)立，CB1與CB2互斥，且C＝CB1CA1＋CB2CA2. ∴P(C)＝P(CB1CA1∪CB2CA2) ＝P(CB1CA1)＋P(CB2CA2) ＝P(CB1)P(CA1)＋P(CB2)P(CA2). 又根據(jù)莖葉圖知P(CA1)＝，P(CA2)＝，P(CB1)＝，P(CB2)＝. 因此P(C)＝＋＝＝0.48. 【類(lèi)題通法】 1.本題求解的關(guān)鍵在于作出莖葉圖，并根據(jù)莖葉圖準(zhǔn)確提煉數(shù)據(jù)信息，考查數(shù)據(jù)處理能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)． 2．有關(guān)古典概型與統(tǒng)計(jì)結(jié)合的題型是高考考查概率的一個(gè)重要題型，已成為高考考查的熱點(diǎn)，概率與統(tǒng)計(jì)結(jié)合題，無(wú)論是直接描述還是利用概率分布表、分布直方圖、莖葉圖等給出信息，準(zhǔn)確從題中提煉信息是關(guān)鍵． 【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】 某公司為了解用戶(hù)對(duì)其產(chǎn)品的滿(mǎn)意度，從A，B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了40個(gè)用戶(hù)，根據(jù)用戶(hù)對(duì)產(chǎn)品的滿(mǎn)意度評(píng)分，得到A地區(qū)用戶(hù)滿(mǎn)意度評(píng)分的頻率分布直方圖和B地區(qū)用戶(hù)滿(mǎn)意度評(píng)分的頻數(shù)分布表． B地區(qū)用戶(hù)滿(mǎn)意度評(píng)分的頻數(shù)分布表 滿(mǎn)意度評(píng)分分組 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 頻數(shù) 2 8 14 10 6 (1)在圖②中作出B地區(qū)用戶(hù)滿(mǎn)意度評(píng)分的頻率分布直方圖，并通過(guò)直方圖比較兩地區(qū)滿(mǎn)意度評(píng)分的平均值及分散程度(不要求計(jì)算出具體值，給出結(jié)論即可)． (2)根據(jù)用戶(hù)滿(mǎn)意度評(píng)分，將用戶(hù)的滿(mǎn)意度分為三個(gè)等級(jí)： 滿(mǎn)意度評(píng)分 低于70分 70分到89分 不低于90分 滿(mǎn)意度等級(jí) 不滿(mǎn)意 滿(mǎn)意 非常滿(mǎn)意 估計(jì)哪個(gè)地區(qū)用戶(hù)的滿(mǎn)意度等級(jí)為不滿(mǎn)意的概率大？說(shuō)明理由． [解析] (1)B地區(qū)用戶(hù)滿(mǎn)意度評(píng)分的頻率分布直方圖如圖所示． 通過(guò)兩地區(qū)用戶(hù)滿(mǎn)意度評(píng)分的頻率分布直方圖可以看出，B地區(qū)用戶(hù)滿(mǎn)意度評(píng)分的平均值高于A地區(qū)用戶(hù)滿(mǎn)意度評(píng)分的平均值；B地區(qū)用戶(hù)滿(mǎn)意度評(píng)分比較集中，而A地區(qū)用戶(hù)滿(mǎn)意度評(píng)分比較分散． (2)A地區(qū)用戶(hù)的滿(mǎn)意度等級(jí)為不滿(mǎn)意的概率大． 記CA表示事件：“A地區(qū)用戶(hù)的滿(mǎn)意度等級(jí)為不滿(mǎn)意”；CB表示事件：“B地區(qū)用戶(hù)的滿(mǎn)意度等級(jí)為不滿(mǎn)意”．由直方圖得P(CA)的估計(jì)值為(0.01＋0.02＋0.03)10＝0.6，P(CB)的估計(jì)值為(0.005＋0.02)10＝0.25. 所以A地區(qū)用戶(hù)的滿(mǎn)意度等級(jí)為不滿(mǎn)意的概率大．