2019版高考數(shù)學二輪復習 限時檢測提速練4 小題考法——三角恒等變換與解三角形.doc
限時檢測提速練(四) 小題考法——三角恒等變換與解三角形
1．(2018湖南聯(lián)考)已知θ的始邊與x軸非負半軸重合，終邊上存在點P(－1，a)且sin θ＝，則a＝( )
A．－1 B．1
C．－ D．
解析：選B sin θ＝＝，解得a＝1．
2．(2018攀枝花一模)若cos＝，且－≤α≤，則sin 2α的值為( )
A．－ B．－
C． D．
解析：選A 由題意，根據(jù)誘導公式得cos＝－sin α＝?sin α＝－，又因為sin α＜0，所以－＜α＜0，所以cos α＝， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2＝－，故選A．
3．(2018邯鄲一模)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知absin C＝20sin B，a2＋c2＝41，且8cos B＝1，則b＝( )
A．6 B．4
C．3 D．7
解析：選A 因為absin C＝20sin B，所以abc＝20b，ac＝20，
∴b＝＝＝6.選A．
4．(2018濟南一模)若sin＝，A∈，則sin A的值為( )
A． B．
C．或 D．
解析：選B ∵A∈，∴A＋∈，
所以cos＜0，且cos＝－＝－，
所以sin A＝sin＝sincos －cossin ＝，選B．
5. (2018湖北統(tǒng)考)已知α∈，cos＝， 則sin α的值等于( )
A． B．
C． D．－
解析：選C 因為α∈，所以＋α∈，
由cos＝，得sin＝＝，則sin α＝sin＝sincos －cossin ＝－＝，故選C．
6．(2018濰坊二模)已知α∈，tan(α－π)＝－，則cos＝( )
A． B．－
C． D．－
解析：選B ∵α∈，tan(α－π)＝－，
∴tan α＝－，即＝－，
∵sin2 α＋cos2 α＝1，∴sin α＝，cos α＝－，
∴cos＝(cos α＋sin α)＝＝－，故選B．
7．(2018河南聯(lián)考)已知銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若 b2＝a(a＋c)，則的取值范圍是( )
A． B．
C． D．
解析：選C ∵b2＝a2＋c2－2accos B，b2＝a(a＋c)
∴ac＝c2－2accos B，
∴a＝c－2acos B，
∴sin A＝sin C－2sin Acos B＝sin(A＋B)－2sin Acos B＝sin(B－A)，
∵△ABC為銳角三角形，
∴A＝B－A，∴B＝2A．
∵0＜A＜，0＜B＝2A＜，
0＜π－A－B＝π－3A＜，∴＜A＜．
∴＝sin A∈．
8．(2018茂名聯(lián)考)在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為S，且4S＝(a＋b)2－c2，則sin＝( )
A．1 B．－
C． D．
解析：選C ∵S＝absin C，cos C＝，
∴2S＝absin C，a2＋b2－c2＝2abcos C，
代入已知等式得
4S＝(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab，
即2absin C＝2abcos C＋2ab，
∵ab≠0，∴sin C＝cos C＋1，
∵sin2C＋cos2C＝1，∴(cos C＋1)2＋cos2C＝1．
解得：cos C＝－1(不合題意，舍去)，cos C＝0，∴sin C＝1，
則sin＝(sin C＋cos C)＝.故選C．
9．(2018豫南聯(lián)考)已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2sin＝1，且a＝2，則△ABC的面積的最大值為( )
A． B．
C． D．2
解析：選B sin＝，－＝，A＝，由于a＝2為定值，由余弦定理得4＝b2＋c2－2bccos ，即4＝b2＋c2＋bc.根據(jù)基本不等式得4＝b2＋c2＋bc≥2bc＋bc＝3bc，即bc≤，當且僅當b＝c時，等號成立．
S△ABC＝bcsin A≤＝，故選B．
10．(2018湖北統(tǒng)考)銳角△ABC中，角A所對的邊為a，△ABC的面積S＝，給出以下結論：
①sin A＝2sin Bsin C；
②tan B＋tan C＝2tan Btan C；
③tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C；
④tan Atan Btan C有最小值8．
其中正確結論的個數(shù)為( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：選D 由S＝＝absin C，得a＝2bsin C，
又＝，得sin A＝2sin Bsin C，故①正確；
由sin A＝2sin Bsin C，得
sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bsin C，
兩邊同時除以cos Bcos C，
可得tan B＋tan C＝2tan Btan C，故②正確；
由tan(A＋B)＝
且tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C，
所以＝－tan C，整理移項得tan A＋tan B＋tan C＝2tan Atan Btan C，故③正確；
由tan B＋tan C＝2tan Btan C，
tan A＝－tan(B＋C)＝－，
且tan A，tan B，tan C都是正數(shù)，得
tan Atan Btan C＝tan Btan C
＝tan Btan C＝，
設m＝tan Btan C－1，則m＞0，
tan Atan Btan C＝＝2＋4≥4＋2 2＝8，當且僅當m＝tan Btan C－1＝1，
即tan Btan C＝2時取“＝”，此時tan Btan C＝2，tan B＋tan C＝4，tan A＝4所以tan Atan Btan C的最小值是8，故④正確，故選D．
11．(2018六安模擬)若tan α＝3，α∈，則cos＝____．
解析：由tan α＝3，可得＝3. 又sin2α＋cos2α＝1，
結合α∈，可得sin α＝，cos α＝，
∴cos＝(cos α＋sin α)＝．
答案：
12．(2018K12聯(lián)盟聯(lián)考)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若＝2sin C，則∠C的大小為____．
解析：∵＝2sin C，
∴根據(jù)正弦定理可得＝2sin C，
∵cos C＝，∴cos C＝sin C，
即tan C＝，∵C∈(0，π)，∴C＝．
答案：
13．(2018廣東聯(lián)考)在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，c＝，當ab取得最大值時，S△ABC＝____．
解析：因為(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，a2＋b2－c2＝－ab，
所以cos C＝－，所以sin C＝，
由余弦定理得()2＝a2＋b2＋ab≥3ab，即ab≤1，當且僅當a＝b＝1時等號成立．所以S△ABC＝．
答案：
14．(2018煙臺二模)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且2sin Ccos B＝2sin A＋sin B，c＝3ab，則ab的最小值為____．
解析：在△ABC中，由A＋B＋C＝π，
則sin A＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)，
∴2sin Ccos B＝2sin A＋sin B＝2sin(B＋C)＋sin B，
化簡得－2sin Bcos C＝sin B，
∵sin B＞0，∴cos C＝－，
∵c＝3ab，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C，
即9a2b2＝a2＋b2＋ab≥3ab，當且僅當a＝b時成立．
∴ab≥.則ab的最小值為．
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2019版高考數(shù)學二輪復習
限時檢測提速練4
小題考法——三角恒等變換與解三角形
2019
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復習
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小題考法
三角
恒等
變換
三角形
- 資源描述：
-
限時檢測提速練(四) 小題考法——三角恒等變換與解三角形
1．(2018湖南聯(lián)考)已知θ的始邊與x軸非負半軸重合，終邊上存在點P(－1，a)且sin θ＝，則a＝( )
A．－1 B．1
C．－ D．
解析：選B sin θ＝＝，解得a＝1．
2．(2018攀枝花一模)若cos＝，且－≤α≤，則sin 2α的值為( )
A．－ B．－
C． D．
解析：選A 由題意，根據(jù)誘導公式得cos＝－sin α＝?sin α＝－，又因為sin α＜0，所以－＜α＜0，所以cos α＝， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2＝－，故選A．
3．(2018邯鄲一模)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知absin C＝20sin B，a2＋c2＝41，且8cos B＝1，則b＝( )
A．6 B．4
C．3 D．7
解析：選A 因為absin C＝20sin B，所以abc＝20b，ac＝20，
∴b＝＝＝6.選A．
4．(2018濟南一模)若sin＝，A∈，則sin A的值為( )
A． B．
C．或 D．
解析：選B ∵A∈，∴A＋∈，
所以cos＜0，且cos＝－＝－，
所以sin A＝sin＝sincos －cossin ＝，選B．
5. (2018湖北統(tǒng)考)已知α∈，cos＝， 則sin α的值等于( )
A． B．
C． D．－
解析：選C 因為α∈，所以＋α∈，
由cos＝，得sin＝＝，則sin α＝sin＝sincos －cossin ＝－＝，故選C．
6．(2018濰坊二模)已知α∈，tan(α－π)＝－，則cos＝( )
A． B．－
C． D．－
解析：選B ∵α∈，tan(α－π)＝－，
∴tan α＝－，即＝－，
∵sin2 α＋cos2 α＝1，∴sin α＝，cos α＝－，
∴cos＝(cos α＋sin α)＝＝－，故選B．
7．(2018河南聯(lián)考)已知銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若 b2＝a(a＋c)，則的取值范圍是( )
A． B．
C． D．
解析：選C ∵b2＝a2＋c2－2accos B，b2＝a(a＋c)
∴ac＝c2－2accos B，
∴a＝c－2acos B，
∴sin A＝sin C－2sin Acos B＝sin(A＋B)－2sin Acos B＝sin(B－A)，
∵△ABC為銳角三角形，
∴A＝B－A，∴B＝2A．
∵0＜A＜，0＜B＝2A＜，
0＜π－A－B＝π－3A＜，∴＜A＜．
∴＝sin A∈．
8．(2018茂名聯(lián)考)在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為S，且4S＝(a＋b)2－c2，則sin＝( )
A．1 B．－
C． D．
解析：選C ∵S＝absin C，cos C＝，
∴2S＝absin C，a2＋b2－c2＝2abcos C，
代入已知等式得
4S＝(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab，
即2absin C＝2abcos C＋2ab，
∵ab≠0，∴sin C＝cos C＋1，
∵sin2C＋cos2C＝1，∴(cos C＋1)2＋cos2C＝1．
解得：cos C＝－1(不合題意，舍去)，cos C＝0，∴sin C＝1，
則sin＝(sin C＋cos C)＝.故選C．
9．(2018豫南聯(lián)考)已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2sin＝1，且a＝2，則△ABC的面積的最大值為( )
A． B．
C． D．2
解析：選B sin＝，－＝，A＝，由于a＝2為定值，由余弦定理得4＝b2＋c2－2bccos ，即4＝b2＋c2＋bc.根據(jù)基本不等式得4＝b2＋c2＋bc≥2bc＋bc＝3bc，即bc≤，當且僅當b＝c時，等號成立．
S△ABC＝bcsin A≤＝，故選B．
10．(2018湖北統(tǒng)考)銳角△ABC中，角A所對的邊為a，△ABC的面積S＝，給出以下結論：
①sin A＝2sin Bsin C；
②tan B＋tan C＝2tan Btan C；
③tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C；
④tan Atan Btan C有最小值8．
其中正確結論的個數(shù)為( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：選D 由S＝＝absin C，得a＝2bsin C，
又＝，得sin A＝2sin Bsin C，故①正確；
由sin A＝2sin Bsin C，得
sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bsin C，
兩邊同時除以cos Bcos C，
可得tan B＋tan C＝2tan Btan C，故②正確；
由tan(A＋B)＝
且tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C，
所以＝－tan C，整理移項得tan A＋tan B＋tan C＝2tan Atan Btan C，故③正確；
由tan B＋tan C＝2tan Btan C，
tan A＝－tan(B＋C)＝－，
且tan A，tan B，tan C都是正數(shù)，得
tan Atan Btan C＝tan Btan C
＝tan Btan C＝，
設m＝tan Btan C－1，則m＞0，
tan Atan Btan C＝＝2＋4≥4＋2 2＝8，當且僅當m＝tan Btan C－1＝1，
即tan Btan C＝2時取“＝”，此時tan Btan C＝2，tan B＋tan C＝4，tan A＝4所以tan Atan Btan C的最小值是8，故④正確，故選D．
11．(2018六安模擬)若tan α＝3，α∈，則cos＝____．
解析：由tan α＝3，可得＝3. 又sin2α＋cos2α＝1，
結合α∈，可得sin α＝，cos α＝，
∴cos＝(cos α＋sin α)＝．
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12．(2018K12聯(lián)盟聯(lián)考)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若＝2sin C，則∠C的大小為____．
解析：∵＝2sin C，
∴根據(jù)正弦定理可得＝2sin C，
∵cos C＝，∴cos C＝sin C，
即tan C＝，∵C∈(0，π)，∴C＝．
答案：
13．(2018廣東聯(lián)考)在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，c＝，當ab取得最大值時，S△ABC＝____．
解析：因為(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，a2＋b2－c2＝－ab，
所以cos C＝－，所以sin C＝，
由余弦定理得()2＝a2＋b2＋ab≥3ab，即ab≤1，當且僅當a＝b＝1時等號成立．所以S△ABC＝．
答案：
14．(2018煙臺二模)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且2sin Ccos B＝2sin A＋sin B，c＝3ab，則ab的最小值為____．
解析：在△ABC中，由A＋B＋C＝π，
則sin A＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)，
∴2sin Ccos B＝2sin A＋sin B＝2sin(B＋C)＋sin B，
化簡得－2sin Bcos C＝sin B，
∵sin B＞0，∴cos C＝－，
∵c＝3ab，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C，
即9a2b2＝a2＋b2＋ab≥3ab，當且僅當a＝b時成立．
∴ab≥.則ab的最小值為．
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