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正態(tài)分布
一、選擇題(本大題共12小題,共60分)
1. 已知隨機(jī)變量X~N(6,1),且P(5
6)=0.1,即可求出P(06)=1-0.9=0.1.
∴P(x<0)=P(x>6)=0.1,
∴P(04),則μ與Dξ的值分別為( )
A. μ=3,Dξ=7 B. μ=3,Dξ=7 C. μ=3,Dξ=7 D. μ=3,Dξ=7
(正確答案)C
解:∵隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ,7),P(ξ<2)=P(ξ>4),
∴μ=4+22=3,Dξ=7.
故選:C.
根據(jù)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ,7),P(ξ<2)=P(ξ>4),由正態(tài)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性得結(jié)論.
本題考查正態(tài)分布,正態(tài)曲線(xiàn)有兩個(gè)特點(diǎn):(1)正態(tài)曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)x=μ對(duì)稱(chēng);(2)在正態(tài)曲線(xiàn)下方和x軸上方范圍內(nèi)的區(qū)域面積為1,本題是一個(gè)基礎(chǔ)題.
5. 已知隨機(jī)變量Z~N(1,1),其正態(tài)分布密度曲線(xiàn)如圖所示,若向正方形OABC中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn),則落入陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為( )
附:若Z~N(μ,σ2),則P(μ-σ4)=( )
A. 16 B. 14 C. 13 D. 12
(正確答案)A
解:∵正態(tài)總體的概率密度函數(shù)為f(x)=12πe?-(x-2)22(x∈R),
∴總體X的期望μ為2,標(biāo)準(zhǔn)差為1,
故f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=2對(duì)稱(chēng),
∵02f(x)dx=13,
∴P(X>4)=12-13=16,
故選:A.
根據(jù)正態(tài)總體的概率密度函數(shù)的意義即可得出X的期望和標(biāo)準(zhǔn)差,再由概率分布的對(duì)稱(chēng)特點(diǎn),即可得到答案.
本題考查正態(tài)分布的有關(guān)知識(shí),同時(shí)考查概率分布的對(duì)稱(chēng)性及運(yùn)算能力,正確理解正態(tài)總體的概率密度函數(shù)中參數(shù)μ、θ的意義是關(guān)鍵.
7. 已知隨機(jī)變量X~N(1,σ2),若P(0100)=0.5,
P(100<ξ<120)=P(80<ξ<100)=0.45,
∴P(ξ>120)=P(ξ>100)-P(100<ξ<120)=0.05,
∴應(yīng)從120分以上的試卷中抽取份數(shù)為2000.05=10.
故選:B.
利用正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性求出P(ξ>120),再根據(jù)分層抽樣原理按比例抽取即可.
本題考查了正態(tài)分布的特點(diǎn),分層抽樣原理,屬于中檔題.
二、填空題(本大題共4小題,共20分)
13. 設(shè)隨機(jī)變量ξ~N(2,4),若P(ξ>a+2)=P(ξ<2a-3),則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_____ .
(正確答案)53
解:由題意可知隨機(jī)變量ξ~N(2,4),滿(mǎn)足正態(tài)分布,對(duì)稱(chēng)軸為μ=2,
P(ξ>a+2)=P(ξ<2a-3),
則:a+2+2a-3=4,解得a=53.
故答案為53.
直接利用正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性,列出方程求解即可.
本題考查正態(tài)分布的基本性質(zhì)的應(yīng)用,考查計(jì)算能力.
14. 已知隨機(jī)變量ξ~N(1,σ2),若P(ξ>3)=0.2,則P(ξ≥-1)=______.
(正確答案)0.8
解:隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(1,σ2),
∴曲線(xiàn)關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng),
∵P(ξ>3)=0.2,∴P(ξ≤-1)=P(ξ>3),
∴P(ξ≥-1)=1-P(ξ>3)=1-0.2=0.8.
故答案為:0.8
根據(jù)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布,知正態(tài)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是x=1,且P(ξ>3)=0.2,依據(jù)正態(tài)分布對(duì)稱(chēng)性,即可求得答案.
本題考查正態(tài)分布曲線(xiàn)的特點(diǎn)及曲線(xiàn)所表示的意義,考查概率的性質(zhì),是一個(gè)基礎(chǔ)題.
15. 某班有50名學(xué)生,一次數(shù)學(xué)考試的成績(jī)?chǔ)畏恼龖B(tài)分布N(110,102),已知P(100≤ξ≤110)=0.36,估計(jì)該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?20分以上的有______ 人.
(正確答案)7
解:∵考試的成績(jī)?chǔ)畏恼龖B(tài)分布N(110,102).
∴考試的成績(jī)?chǔ)侮P(guān)于ξ=110對(duì)稱(chēng),
∴P=(ξ>120)=0.5-P(100≤ξ≤110)=0.5-0.36=0.14,
所以估計(jì)該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?20分以上的人數(shù)為500.14=7(人).
故答案為:7.
根據(jù)考試的成績(jī)?chǔ)畏恼龖B(tài)分布N(110,102).得到考試的成績(jī)?chǔ)侮P(guān)于ξ=110對(duì)稱(chēng),根據(jù)P(100≤ξ≤110)=0.36,得到P(ξ≥120)=0.14,根據(jù)頻率乘以樣本容量得到這個(gè)分?jǐn)?shù)段上的人數(shù).
本題考查正態(tài)曲線(xiàn)的特點(diǎn)及曲線(xiàn)所表示的意義,是一個(gè)基礎(chǔ)題,解題的關(guān)鍵是考試的成績(jī)?chǔ)侮P(guān)于ξ=110對(duì)稱(chēng),利用對(duì)稱(chēng)寫(xiě)出要用的一段分?jǐn)?shù)的頻數(shù),題目得解.
16. 若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(1,σ2),且P(ξ<2)=0.8,則P(0<ξ<1)的值為_(kāi)_____ .
(正確答案)0.3
解:P(1<ξ<2)=P(ξ<2)-P(ξ<1)=0.8-0.5=0.3,
∴P(0<ξ<1)=P(1<ξ<2)=0.3.
故答案為:0.3.
根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性先求出P(1<ξ<2),再求出P(0<ξ<1).
本題考查了正態(tài)分布的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.
三、解答題(本大題共3小題,共40分)
17. 為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線(xiàn)的生產(chǎn)過(guò)程,檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線(xiàn)上隨機(jī)抽取16個(gè)零件,并測(cè)量其尺寸(單位:cm).根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn),可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線(xiàn)正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ,σ2).
(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件數(shù),求P(X≥1)及X的數(shù)學(xué)期望;
(2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就認(rèn)為這條生產(chǎn)線(xiàn)在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況,需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查.
(ⅰ)試說(shuō)明上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法的合理性;
(ⅱ)下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸:
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
經(jīng)計(jì)算得x.=116i=116xi=9.97,s=116i=116(xi-x.)2=116(i=116xi2-16x.2)≈0.212,其中xi為抽取的第i個(gè)零件的尺寸,i=1,2,…,16.
用樣本平均數(shù)x.作為μ的估計(jì)值μ,用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計(jì)值σ,利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查?剔除(μ-3σ,μ+3σ)之外的數(shù)據(jù),用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)μ和σ(精確到0.01).
附:若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-3σ82.7)=1-0.68262=0.1587,
∴在這2000名考生中,能進(jìn)入復(fù)試的有:20000.1587≈317人.
(3)由已知得ξ的可能取值為1,2,3,
P(ξ=1)=C41C22C63=15,
P(ξ=2)=C42C21C63=35,
P(ξ=3)=C43C20C63=15,
∴ξ的分布列為:
ξ
1
2
3
P
15
35
15
Eξ=115+235+315=2(人).
(1)由所得數(shù)據(jù)列成的頻數(shù)分布表,利用平均數(shù)公式和方差公式能求出抽取的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2.(2)由(1)知z~N(70,161),由此能求出P(z>82.7)=1-0.68262=0.1587,從而能求出在這2000名考生中,能進(jìn)入復(fù)試人數(shù).
(3)由已知得ξ的可能取值為1,2,3,分別求出相應(yīng)的概率,由此能求出ξ的分布列與期望E(ξ).
本題考查概率的求法,考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意可能事件概率計(jì)算公式和相互獨(dú)立事件概率乘法公式的合理運(yùn)用.
19. “過(guò)大年,吃水餃”是我國(guó)不少地方過(guò)春節(jié)的一大習(xí)俗.2018年春節(jié)前夕,A市某質(zhì)檢部門(mén)隨機(jī)抽取了100包某種品牌的速凍水餃,檢測(cè)其某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo),
(1)求所抽取的100包速凍水餃該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)x.(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);
(2)①由直方圖可以認(rèn)為,速凍水餃的該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),利用該正態(tài)分布,求Z落在(14.55,38.45)內(nèi)的概率;
②將頻率視為概率,若某人從某超市購(gòu)買(mǎi)了4包這種品牌的速凍水餃,記這4包速凍水餃中這種質(zhì)量指標(biāo)值位于(10,30)內(nèi)的包數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
附:①計(jì)算得所抽查的這100包速凍水餃的質(zhì)量指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差為σ=142.75≈11.95;
②若Z服從正態(tài)分布N(?μ,σ2?),則P(μ-σ
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