2.6.1　曲線與方程 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，了解“曲線的方程”和“方程的曲線”的概念．(難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))2.能根據(jù)曲線方程的概念解決一些簡單問題．(重點(diǎn)) [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 教材整理　曲線的方程　方程的曲線 閱讀教材P60例1以上的部分，完成下列問題． 1．方程與曲線的定義 在直角坐標(biāo)系中，如果曲線C(看作適合某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x，y)＝0的實(shí)數(shù)解滿足以下關(guān)系： 如果曲線C上點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)都是方程f(x，y)＝0的解，且以方程f(x，y)＝0的解(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上，那么，方程f(x，y)＝0叫做曲線C的方程，曲線C叫做方程f(x，y)＝0的曲線． 2．方程與曲線的關(guān)系 圖261 1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“”) (1)以方程f(x，y)＝0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上，那么方程f(x，y)＝0就是曲線的方程．(　　) (2)如果f(x，y)＝0是某曲線C的方程，則曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都適合方程．(　　) (3)若曲線C上的點(diǎn)滿足方程f(x，y)＝0，則坐標(biāo)不滿足方程f(x，y)＝0的點(diǎn)不在曲線C上．(　　) (4)方程x＋y－2＝0是以A(2,0)，B(0,2)為端點(diǎn)的線段的方程．(　　) (5)到兩坐標(biāo)軸的距離的乘積等于1的點(diǎn)的軌跡方程為xy＝1.(　　) [答案]　(1)　(2)√　(3)√　(4)　(5) 2．點(diǎn)A在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲線上，則m＝________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：71392118】 [解析]　據(jù)題意，有m2＋(－m－1)2＝10，解得m＝2或－. [答案]　2或－ 3．方程|y|＝|2x|表示的曲線是________． [解析]　∵|y|＝|2x|，∴y＝2x，表示兩條直線． [答案]　兩條直線 4．已知曲線C的方程為x2－xy＋2y－7＝0，則下列四點(diǎn)中，在曲線C上的點(diǎn)有________(填序號(hào))． ①(－1,2)；②(1，－2)；③(2，－3)；④(3,6)． [解析]　把各點(diǎn)的坐標(biāo)代入檢驗(yàn)知，只有(－1,2)滿足方程． [答案]?、? [合 作 探 究攻 重 難] 曲線與方程的概念 　下列命題正確的是________(填序號(hào))． ①過點(diǎn)A(3,0)且垂直于x軸的直線方程為x＝3； ②到x軸距離為2的點(diǎn)的軌跡方程為y＝－2； ③到兩坐標(biāo)軸的距離的乘積等于1的點(diǎn)的軌跡方程為xy＝1； ④△ABC的頂點(diǎn)A(0，－3)，B(1,0)，C(－1,0)，D為BC的中點(diǎn)，則中線AD的方程為x＝0. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：71392119】 [解析]?、僬_，因?yàn)檫^點(diǎn)A(3,0)且垂直于x軸的直線上任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是3，滿足方程x＝3，滿足方程x＝3的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在過點(diǎn)A(3,0)且垂直于x軸的直線上． ②錯(cuò)誤，因?yàn)榈絰軸距離為2的點(diǎn)的軌跡方程為|y|＝2，即y＝2. ③錯(cuò)誤，因?yàn)榈絻勺鴺?biāo)軸的距離的乘積等于1的點(diǎn)的軌跡方程為|x||y|＝1即xy＝1. ④錯(cuò)誤，因?yàn)槿切沃芯€AD是一條線段，而不是直線，AD方程應(yīng)為x＝0(－3≤y≤0)． [答案]?、? [名師指津]　判斷方程是否是曲線的方程，要從兩個(gè)方面著手，一是檢驗(yàn)點(diǎn)的坐標(biāo)是否都適合方程，二是檢驗(yàn)以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)是否都在曲線上. [再練一題] 1．若命題“曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x，y)＝0的解”是正確的，則下列命題正確的是________(填序號(hào))． ①方程f(x，y)＝0的曲線是C； ②方程f(x，y)＝0的曲線不一定是C； ③f(x，y)＝0是曲線C的方程； ④以方程f(x，y)＝0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上． [解析]　只有正確地理解曲線與方程的定義，才能準(zhǔn)確作答．易知①③④錯(cuò)誤． [答案]?、? 由方程確定曲線 　方程2x2＋y2－4x＋2y＋3＝0表示什么圖形？ [精彩點(diǎn)撥]　由曲線的方程研究曲線的特點(diǎn)，類似于用函數(shù)的解析式研究函數(shù)的圖象，可由方程的特點(diǎn)入手分析． [自主解答]　方程的左邊配方得2(x－1)2＋(y＋1)2＝0， 而2(x－1)2≥0，(y＋1)2≥0， ∴2(x－1)2＝0，(y＋1)2＝0， ∴x－1＝0且y＋1＝0，即x＝1，y＝－1. ∴方程表示點(diǎn)(1，－1)． [名師指津]　曲線的方程是曲線的代數(shù)體現(xiàn)，判斷方程表示什么曲線，可根據(jù)方程的特點(diǎn)利用配方、因式分解等方法對(duì)已知方程變形，轉(zhuǎn)化為我們熟知的曲線方程，在變形時(shí)，應(yīng)保證變形過程的等價(jià)性. [再練一題] 2．方程4x2－y2＋6x－3y＝0表示什么圖形？ [解]　方程4x2－y2＋6x－3y＝0等價(jià)于(2x＋y)(2x－y)＋3(2x－y)＝0， 等價(jià)于(2x－y)(2x＋y＋3)＝0，等價(jià)于2x－y＝0或2x＋y＋3＝0. 故方程表示兩條相交直線2x－y＝0和2x＋y＋3＝0. 點(diǎn)與曲線的關(guān)系及應(yīng)用 　(1)判斷點(diǎn)A(－4,3)，B(－3，－4)，C(，2)是否在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲線上； (2)點(diǎn)P(a＋1，a＋4)在曲線y＝x2＋5x＋3上，則a的值是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：71392120】 [精彩點(diǎn)撥]　(1)由曲線與方程的關(guān)系知，只要點(diǎn)M的坐標(biāo)適合曲線的方程，則點(diǎn)M就在方程所表示的曲線上；而若點(diǎn)M為曲線上的點(diǎn)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)(x0，y0)一定適合曲線的方程．(2)利用點(diǎn)在曲線上，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，代入解方程可得． [自主解答]　(1)把點(diǎn)A(－4,3)的坐標(biāo)代入方程x2＋y2＝25中，滿足方程，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)滿足x≤0，則點(diǎn)A在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲線上； 把點(diǎn)B(－3，－4)的坐標(biāo)代入x2＋y2＝25，因?yàn)?－3)2＋(－4)2＝34≠25，所以點(diǎn)B不在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲線上． 把點(diǎn)C(，2)的坐標(biāo)代入x2＋y2＝25，得()2＋(2)2＝25，滿足方程，但因?yàn)闄M坐標(biāo)不滿足x≤0的條件，所以點(diǎn)C不在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲線上． (2)因?yàn)辄c(diǎn)P(a＋1，a＋4)在曲線y＝x2＋5x＋3上， 所以a＋4＝(a＋1)2＋5(a＋1)＋3，即a2＋6a＋5＝0，解得a＝－1或－5. [答案]　(2)－1或－5 [名師指津]　判斷點(diǎn)與曲線位置關(guān)系的方法 如果曲線C的方程是f(x，y)＝0，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0).,(1)點(diǎn)P(x0，y0)在曲線C：f(x，y)＝0上?f(x0，y0)＝0. (2)點(diǎn)P(x0，y0)不在曲線C：f(x，y)＝0上?f(x0，y0)≠0. [再練一題] 3．若曲線y2＝xy＋2x＋k通過點(diǎn)(a，－a)，a∈R，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________． [解析]　∵曲線y2＝xy＋2x＋k通過點(diǎn)(a，－a)， ∴a2＝－a2＋2a＋k， ∴k＝2a2－2a＝2－， ∴k≥－， ∴k的取值范圍是. [答案]　 曲線與方程的關(guān)系 [探究問題] 1．怎樣理解曲線與方程的概念？ [提示]　定義中的條件(1)闡明了曲線具有純粹性(或方程具有完備性)，即曲線上的所有點(diǎn)的坐標(biāo)都適合這個(gè)方程而毫無例外；條件(2)闡明了曲線具有完備性(或方程具有純粹性)，即適合條件的點(diǎn)都在曲線上而毫無遺漏． 曲線的方程和方程的曲線是兩個(gè)不同的概念，曲線的方程反映的是圖形所滿足的數(shù)量關(guān)系，而方程的曲線反映的是數(shù)量關(guān)系所表示的圖形． 2．理解曲線的方程與方程的曲線的概念時(shí)應(yīng)注意什么？ 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：71392121】 [提示]　(1)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解． (2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)，二者缺一不可． 　分析下列曲線上的點(diǎn)與相應(yīng)方程的關(guān)系： (1)與兩坐標(biāo)軸的距離的積等于5的點(diǎn)與方程xy＝5. (2)第二、四象限角平分線上的點(diǎn)與方程x＋y＝0. [精彩點(diǎn)撥]　判斷方程是不是曲線的方程的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)： 一是檢驗(yàn)點(diǎn)的坐標(biāo)是否適合方程；二是檢驗(yàn)以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)是否在曲線上． [自主解答]　(1)與兩坐標(biāo)軸的距離的積等于5的點(diǎn)的坐標(biāo)不一定滿足方程xy＝5，如點(diǎn)(1，－5)，但是，以方程xy＝5的解為坐標(biāo)的點(diǎn)一定滿足與兩坐標(biāo)軸的距離的積等于5，因此，與兩坐標(biāo)軸距離的積等于5的點(diǎn)的軌跡方程不是xy＝5. (2)第二、四象限角平分線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足x＋y＝0；反之，以方程x＋y＝0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在第二、四象限的角平分線上，因此第二、四象限角平分線上的點(diǎn)的軌跡方程是x＋y＝0. [名師指津]　判斷方程是不是曲線的方程的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)缺一不可，一是檢驗(yàn)點(diǎn)的坐標(biāo)是否滿足方程；二是檢驗(yàn)以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)是否在曲線上，要判斷點(diǎn)是否在方程的曲線上，只需驗(yàn)證點(diǎn)的坐標(biāo)是否滿足方程即可. [再練一題] 4．判斷下列命題是否正確，并說明理由． (1)以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，r為半徑的圓的方程是y＝； (2)過點(diǎn)A(2,0)平行于y軸的直線l的方程為|x|＝2. [解]　(1)不正確，因?yàn)橐栽c(diǎn)為圓心，r為半徑的圓上的一點(diǎn)如點(diǎn)在圓上，但此點(diǎn)坐標(biāo)不滿足方程y＝. (2)不正確，因?yàn)樽鴺?biāo)滿足方程|x|＝2的點(diǎn)不一定在直線l上，如|－2|＝2，但點(diǎn)(－2,0)不在直線l上．因此方程|x|＝2不是直線l的方程，l的方程是x＝2. [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基] 1．設(shè)方程F(x，y)＝0的解集非空，如果命題“坐標(biāo)滿足方程f(x，y)＝0的點(diǎn)都在曲線C上”是不正確的，則下面命題中正確的是________(填序號(hào))． ①坐標(biāo)滿足f(x，y)＝0的點(diǎn)都不在曲線C上； ②曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足f(x，y)＝0； ③坐標(biāo)滿足f(x，y)＝0的點(diǎn)有些在曲線C上，有些不在曲線C上； ④一定有不在曲線C上的點(diǎn)，其坐標(biāo)滿足f(x，y)＝0. [解析]　因?yàn)槊}“坐標(biāo)滿足方程f(x，y)＝0的點(diǎn)都在曲線C上”是不正確的，所以其否定：存在不在曲線C上的點(diǎn)，其坐標(biāo)滿足f(x，y)＝0，是正確的，即④正確． [答案]?、? 2．f(x0，y0)＝0是點(diǎn)P(x0，y0)在曲線f(x，y)＝0上的________條件. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：71392122】 [解析]　∵f(x0，y0)＝0，可知點(diǎn)P(x0，y0) 在曲線f(x，y)＝0上，又P(x0，y0)在曲線f(x，y)＝0上時(shí)，有f(x0，y0)＝0， ∴f(x0，y0)＝0是P(x0，y0)在曲線f(x，y)＝0上的充要條件． [答案]　充要 3．若P(2，－3)在曲線x2－ay2＝1上，則a的值為___________． [解析]　∵P(2，－3)在曲線x2－ay2＝1上，∴4－9a＝1，解得a＝. [答案]　 4．如圖262中，方程表示圖中曲線的是________． 圖262 [解析]　∵x2＋y2＝1表示單位圓，故①錯(cuò)；x2－y2＝0表示兩條直線y＝x和y＝－x，故②錯(cuò)；lg x＋lg y＝0可化為xy＝1(x>0，y>0)，故④錯(cuò)；只有③正確． [答案]?、? 5．方程(x＋y－2)＝0表示什么曲線？ [解]　(x＋y－2)＝0變形為 x2＋y2－9＝0或 表示以原點(diǎn)為圓心，3為半徑的圓和直線x＋y－2＝0在圓x2＋y2－9＝0外面的兩條射線．