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第22講 不等式選講
1.[2018全國卷Ⅱ]設(shè)函數(shù)f(x)=5-|x+a|-|x-2|.
(1)當(dāng)a=1時,求不等式f(x)≥0的解集;
(2)若f(x)≤1,求a的取值范圍.
[試做]
2.[2018全國卷Ⅰ]已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.
(1)當(dāng)a=1時,求不等式f(x)>1的解集;
(2)若x∈(0,1)時不等式f(x)>x成立,求a的取值范圍.
[試做]
3.[2017全國卷Ⅱ]已知a>0,b>0,a3+b3=2,證明:
(1)(a+b)(a5+b5)≥4;
(2)a+b≤2.
[試做]
(1)形如|x-a|+|x-b|≥c(或≤c)的不等式主要有兩種解法:
①分段討論法:利用絕對值內(nèi)表達(dá)式對應(yīng)方程的根,將數(shù)軸分為(-∞,a],(a,b],(b,+∞)(此處設(shè)a
0).
(1)當(dāng)a=1時,解不等式f(x)>x-1;
(2)若關(guān)于x的不等式f(x)>4有解,求a的取值范圍.
[聽課筆記]
【考場點撥】
(1)對于形如|f(x)|≥|g(x)|的不等式,可利用不等式兩邊平方的技巧去掉絕對值;(2)對于形如|f(x)||g(x)|≥a,|f(x)||g(x)|≤a的不等式,通常利用“零點”分區(qū)間法去掉絕對值.
【自我檢測】
設(shè)函數(shù)f(x)=|2x-7|+1.
(1)求不等式f(x)≤x的解集;
(2)若存在x使不等式f(x)-2|x-1|≤a成立,求實數(shù)a的取值范圍.
解答2不等式的證明
2 已知a>0,b>0,且a2+b2=2.
(1)若1a2+4b2≥|2x-1|-|x-1|恒成立,求x的取值范圍;
(2)證明:1a+1b(a5+b5)≥4.
[聽課筆記]
【考場點撥】
(1)證明不等式的基本方法有綜合法、分析法,也常用到基本不等式進(jìn)行證明;(2)對于含有絕對值的不等式,在證明時常用到絕對值三角不等式;(3)對于含有根號的不等式,在證明時可用平方法(前提是不等式兩邊均為正數(shù));(4)如果所證命題是否定性命題或唯一性命題,或以“至少”“至多”等方式給出,可以考慮反證法.
【自我檢測】
已知關(guān)于x的不等式12x+m≤|x+2|的解集為R.
(1)求實數(shù)m的值;
(2)若a,b,c>0,且a+b+c=m,求證:a+b+c≤3.
解答3含絕對值不等式的恒成立問題
3 已知函數(shù)f(x)=|x-2|+2|x-1|.
(1)求不等式f(x)>4的解集;
(2)若不等式f(x)>2m2-7m+4對任意x∈R恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
[聽課筆記]
【考場點撥】
利用絕對值不等式恒成立求參數(shù)的值或取值范圍常用以下結(jié)論:①若f(x)>g(a)恒成立,則f(x)min>g(a);②若f(x)0的解集;
(2)若對于任意x∈R,不等式f(x)≥2恒成立,求m的取值范圍.
第22講 不等式選講
典型真題研析
1.解:(1)當(dāng)a=1時,
f(x)=2x+4,x≤-1,2,-12.
可得f(x)≥0的解集為{x|-2≤x≤3}.
(2)f(x)≤1等價于|x+a|+|x-2|≥4.
而|x+a|+|x-2|≥|a+2|,且當(dāng)x=2時等號成立,故f(x)≤1等價于|a+2|≥4.
由|a+2|≥4可得a≤-6或a≥2,
所以a的取值范圍是(-∞,-6]∪[2,+∞).
2.解:(1)當(dāng)a=1時,f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)=-2,x≤-1,2x,-11的解集為xx>12.
(2)當(dāng)x∈(0,1)時|x+1|-|ax-1|>x成立等價于當(dāng)x∈(0,1)時|ax-1|<1成立.
若a≤0,則當(dāng)x∈(0,1)時|ax-1|≥1;
若a>0,|ax-1|<1的解集為x0x-1即為|x-1|-|3x+2|>x-1.
當(dāng)x>1時,不等式可化為-2x-3>x-1,解得x<-23,與x>1矛盾,此時不等式無解;
當(dāng)-23≤x≤1時,不等式可化為-4x-1>x-1,
解得x<0,所以-23≤x<0;
當(dāng)x<-23時,不等式可化為2x+3>x-1,
解得x>-4,所以-4a.
因為函數(shù)f(x)在-∞,-23上單調(diào)遞增,在-23,+∞上單調(diào)遞減,
所以當(dāng)x=-23時,f(x)max=23+a.
不等式f(x)>4有解等價于f(x)max=23+a>4,解得a>103,
故a的取值范圍為103,+∞.
【自我檢測】
解:(1)由f(x)≤x,得|2x-7|+1≤x,即|2x-7|≤x-1.
當(dāng)x≤1時,顯然不成立.
當(dāng)x>1時,兩邊平方得3x2-26x+48≤0,即(x-6)(3x-8)≤0,解得83≤x≤6,
綜上得,不等式的解集為x83≤x≤6.
(2)因為存在x使不等式|2x-7|-2|x-1|+1≤a成立,所以|2x-7|-2|x-1|+1的最小值小于等于a.
又因為|2x-7|-2|x-1|+1=6,x≤1,-4x+10,12.
不等式f(x)>4等價于x<1,4-3x>4或1≤x≤2,x>4或x>2,3x-4>4,
解得x<0或x∈?或x>83,故所求解集為(-∞,0)∪83,+∞.
(2)由(1)可得,當(dāng)x=1時,f(x)取得最小值1.
∵f(x)>2m2-7m+4對任意x∈R恒成立,
∴f(x)min>2m2-7m+4,即2m2-7m+4<1,
∴2m2-7m+3<0,解得122.
當(dāng)m=5時,f(x)>0等價于x≤-1,-2x+1>5或-15或x>2,2x-1>5,
解得x<-2或x∈?或x>3,
∴不等式f(x)>0的解集為(-∞,-2)∪(3,+∞).
(2)由題意知m≤|x+1|+|x-2|-2在R上恒成立,
又|x+1|+|x-2|-2≥|(x+1)-(x-2)|-2=1,
∴m≤1,即m的取值范圍是(-∞,1].
[備選理由] 例1考查含參絕對值不等式的求解,解題時要對參數(shù)進(jìn)行分類討論,有利于學(xué)生進(jìn)一步掌握去掉絕對值的原則;例2考查不等式的證明,需要采用反證法證明,難度不大,但思維含量較高;例3考查絕對值不等式恒成立問題,需要分類討論去掉絕對值,涉及分類與整合思想,分離參數(shù)法,利用基本不等式及導(dǎo)數(shù)求最值等知識與思想方法, 綜合性較大.
例1 [配例1使用] 已知函數(shù)f(x)=|2x+1|+|x-a|,a∈R.
(1)當(dāng)a=2時,解不等式f(x)≤4;
(2)若不等式f(x)<1的解集為非空集合,求a的取值范圍.
解:(1)當(dāng)a=2時,原不等式即為|2x+1|+|x-2|≤4.
①當(dāng)x≤-12時,原不等式為-2x-1-x+2≤4,可得-1≤x≤-12;
②當(dāng)-122時,原不等式為2x+1+x-2≤4,可得x∈?.
綜上可知,原不等式的解集是[-1,1].
(2)f(x)=|2x+1|+|x-a|,a∈R.
①當(dāng)a=-12時,f(x)=32|2x+1|≥0,顯然不等式f(x)<1的解集為非空集合.
②當(dāng)a>-12時,易知當(dāng)x=-12時,f(x)取得最小值a+12,即f(x)=|2x+1|+|x-a|≥a+12.欲使不等式f(x)<1的解集為非空集合,則需a+12<1,
∴-120,n>0,求證:m+n≤2.
解:(1)f(x)=|x+1|+|x-1|≥|x+1-(x-1)|=2,當(dāng)且僅當(dāng)-1≤x≤1時取等號,
所以f(x)min=2,即a=2.
(2)證明:假設(shè)m+n>2,則m>2-n,則m3>(2-n)3,
所以m3+n3>(2-n)3+n3=2+6(1-n)2≥2.①
由(1)知a=2,所以m3+n3=2.②
①②矛盾,所以假設(shè)不成立,即m+n≤2.
例3 [配例3使用] 已知函數(shù)f(x)=|2x|+|2x+3|+m,m∈R.
(1)當(dāng)m=-2時,求不等式f(x)≤3的解集;
(2)若對任意x∈(-∞,0),都有f(x)≥x+2x恒成立,求m的取值范圍.
解:(1)當(dāng)m=-2時,f(x)=|2x|+|2x+3|-2=4x+1(x≥0),1-320,
∴y=5x+2x+3在-∞,-32上是增函數(shù).
∴當(dāng)x=-32時,y=5x+2x+3取到最大值,最大值為-356,
∴m≥-356.
綜上可得m≥-3-22.
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