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學案12導數的應用 考點1 考點2 考點3 考點4 返回目錄 考綱解讀 考向預測 返回目錄 1 以解答題的形式考查利用導數研究函數的單調性 求單調區(qū)間 求極值與最值 2 以實際問題為背景 考查利用導數解決生活中的優(yōu)化問題 3 以解答題的形式考查導數與解析幾何 不等式 平面向量等知識相結合的問題 返回目錄 1 函數的單調性與導函數 1 如果在 a b 內 則f x 在此區(qū)間是增函數 a b 為f x 的單調增區(qū)間 2 如果在 a b 內 則f x 在此區(qū)間是減函數 a b 為f x 的單調減區(qū)間 2 函數的極值 f x 0 f x 0 返回目錄 1 函數極值的定義 已知函數y f x 設x0是定義域 a b 內任一點 如果對x0附近的所有點x 都有f x f x0 則稱函數f x 在點x0處取 記作 并把x0稱為函數f x 的一個 極大值與極小值統(tǒng)稱為 與統(tǒng)稱為極值點 極大值 y極大 f x0 極大值點 極小值 y極小 f x0 極小值點 極值 極大值點 極小值點 返回目錄 2 求函數極值的方法解方程f x 0 當f x0 0時 如果在x0附近左側 右側 那么f x0 是極大值 如果在x0附近左側 右側 那么f x0 是極小值 如果f x 在點x0的左 右兩側 則f x0 不是函數極值 3 函數的最值 1 函數f x 在 a b 上有最值的條件如果在區(qū)間 a b 上函數y f x 的圖象是一條的曲線 那么它必有最大值和最小值 函數的最值必在極值點或區(qū)間端點取得 f x 0 f x 0 f x 0 f x 0 符號不變 連線不斷 返回目錄 2 求函數y f x 在 a b 上的最大值與最小值的步驟 求函數y f x 在 a b 內的 將函數y f x 的各極值與比較 其中的一個是最大值 的一個是最小值 4 用導數解決生活中的優(yōu)化問題解決優(yōu)化問題的基本思路是 最小 極值 端點處的函數值f a f b 最大 返回目錄 考點1函數的單調性與導數 2010年高考北京卷 已知函數f x ln 1 x x x2 k 0 1 當k 2時 求曲線y f x 在點 1 f 1 處的切線方程 2 求f x 的單調區(qū)間 返回目錄 分析 1 利用導數的幾何意義求切線方程 2 對k的不同取值分類討論 求出函數的單調區(qū)間 解析 1 當k 2時 f x ln 1 x x x2 f x 1 2x 由于f 1 ln2 f 1 所以曲線y f x 在點 1 f 1 處的切線 方程為y ln2 x 1 即3x 2y 2ln2 3 0 返回目錄 2 f x x 1 當k 0時 f x 所以 在區(qū)間 1 0 上 f x 0 在區(qū)間 0 上 f x 0 所以 在區(qū)間 1 0 和 上 f x 0 在區(qū)間 0 上 f x 0 返回目錄 故f x 的單調遞增區(qū)間是 1 0 和 單調遞減區(qū)間是 0 當k 1時 f x 故f x 的單調遞增區(qū)間是 1 當k 1時 由f x 0 得x1 1 0 x2 0 所以 在區(qū)間 1 和 0 上 f x 0 在區(qū)間 0 上 f x 0 故f x 的單調遞增區(qū)間是 1 和 0 單調遞減區(qū)間是 0 利用導數研究函數的單調性比用函數單調性的定義要方便 但應注意f x 0 或f x 0 僅是f x 在某個區(qū)間上為增函數 或減函數 的充分條件 在 a b 內可導的函數f x 在 a b 上遞增 或遞減 的充要條件應是f x 0 或f x 0 x a b 恒成立 且f x 在 a b 的任意子區(qū)間內都不恒等于0 這就是說 函數f x 在區(qū)間上的增減性并不排斥在區(qū)間內個別點處有f x0 0 甚至可以在無窮多個點處f x0 0 只要這樣的點不能充滿所給區(qū)間的任何一個子區(qū)間 因此 在已知函數f x 是增函數 或減函數 求參數的取值范圍時 應令f x 0 或f x 0 恒成立 解出參數的取值范圍 一般可用不等式恒成立理論求解 然后檢驗參數的取值能否使f x 恒等于0 若能恒等于0 則參數的這個值應舍去 若f x 不恒為0 則由f x 0 或f x 0 恒成立解出的參數的取值范圍確定 返回目錄 設函數f x ax a 1 ln x 1 其中a 1 求f x 的單調區(qū)間 由已知得函數f x 的定義域為 且f x a 1 1 當 1 a 0時 由f x 0知 函數f x 在 1 上單調遞減 返回目錄 2 當a 0時 由f x 0 解得x f x f x 隨x的變化情況如下表 返回目錄 從上表可知當x 1 時 f x 0 函數f x 在 上單調遞增 綜上所述 當 1 a 0時 函數f x 在 1 上單調遞減 當a 0時 函數f x 在 1 上單調遞減 f x 在 上單調遞增 考點2函數的極值與導數 2010年高考安徽卷 設a為實數 函數f x ex 2x 2a x R 1 求f x 的單調區(qū)間與極值 2 求證 當a ln2 1且x 0時 ex x2 2ax 1 返回目錄 分析 求出f x 利用f x 0 f x 0 求出單調區(qū)間 再求極值 解析 1 由f x ex 2x 2a x R知f x ex 2 x R 令f x 0 得x ln2 于是當x變化時 f x f x 的變化情況如下表 返回目錄 返回目錄 故f x 的區(qū)間是 ln2 區(qū)間是 ln2 f x 在x ln2處取得極小值 極小值為f ln2 eln2 2ln2 2a 2 1 ln2 a 2 證明 設g x ex x2 2ax 1 x R 于是g x ex 2x 2a x R 由 1 知當a ln2 1時 g x 取最小值為g ln2 2 1 ln2 a 0 于是對任意x R 都有g x 0 所以g x 在R內單調遞增 于是當a ln2 1時 對任意x 0 都有g x g 0 而g 0 0 從而對任意x 0 都有g x 0 即ex x2 2ax 1 0 故ex x2 2ax 1 返回目錄 本題考查導數的運算 利用導數研究函數的單調區(qū)間 求函數的極值和證明函數不等式 考查運算能力 綜合分析和解決問題的能力 返回目錄 設函數f x x x a 2 x R 其中a R 1 當a 1時 求曲線y f x 在點 2 f 2 處的切線方程 2 當a 0時 求函數f x 的極大值和極小值 1 當a 1時 f x x x 1 2 x3 2x2 x f 2 2 f x 3x2 4x 1 f 2 12 8 1 5 當a 1時 曲線y f x 在點 2 f 2 處的切線方程為5x y 8 0 返回目錄 2 f x x x a 2 x3 2ax2 a2x f x 3x2 4ax a2 3x a x a 令f x 0 解得x 或x a 由于a 0 以下分兩種情況討論 若a 0 當x變化時 f x f x 的變化情況如下表 因此 函數f x 在x 處取得極小值f 且f 函數f x 在x a處取得極大值f a 且f a 0 返回目錄 若a 0 當x變化時 f x f x 的變化情況如下表 因此 函數f x 在x a處取得極小值f a 且f a 0 函數f x 在x 處取得極大值f 且f 返回目錄 考點3函數的最值與導數 返回目錄 2010年高考江西卷 設函數f x lnx ln 2 x ax a 0 1 當a 1時 求f x 的單調區(qū)間 2 若f x 在 0 1 上的最大值為 求a的值 分析 利用單調性求最值 返回目錄 解析 函數f x 的定義域為 0 2 f x a 1 當a 1時 f x 所以f x 的單調遞增區(qū)間為 0 2 單調遞減區(qū)間為 2 2 2 當x 0 1 時 f x a 0 即f x 在 0 1 上單調遞增 故f x 在 0 1 上的最大值為f 1 a 因此a 本題主要考查函數的單調區(qū)間 最值及導數的應用 同時考查運算求解能力 返回目錄 已知a為常數 求函數f x x3 3ax 0 x 1 的最大值 f x 3x2 3a 3 x2 a 若a 0 則f x 0 函數f x 單調遞減 當x 0時 有最大值f 0 0 若a 0 則令f x 0 解得x x 0 1 則只考慮x 的情況 如下表所示 解析 返回目錄 1 0 1 即0 a 1 當x 時 f x 有最大值f 2a 2 1 即a 1 當x 1時 f x 有最大值f 1 3a 1 綜上 當a 0 x 0時 f x 有最大值0 當0 a 1 x 時 f x 有最大值2a 當a 1 x 1時 f x 有最大值3a 1 返回目錄 返回目錄 考點4最優(yōu)化問題 一艘輪船在航行中的燃料費和它速度的立方成正比 已知在速度為每小時10公里時的燃料費是每小時6元 而其他與速度無關的費用是每小時96元 問此輪船以多大速度航行時 能使行駛每公里的費用總和最小 分析 由題意構造函數 利用導數求最值 解析 設船的速度為x x 0 公里 小時 時 燃料費用為Q元 則Q kx3 由6 k 103可得k Q x3 總費用y x3 96 x2 y x 令y 0得x 20 當x 0 20 時 y 0 此時函數單調遞減 當x 20 時 y 0 此時函數單調遞增 當x 20時 y取得最小值 此輪船以20公里 小時的速度行駛時每公里的費用總和最小 返回目錄 1 用導數解應用題求最值的一般方法是 求導 令導數等于零 求y 0的根 求出極值點 最后寫出解答 2 在有關極值應用的問題中 絕大多數在所討論的區(qū)間上函數只有一點使得f x 0 且在兩側f x 的符號各異 一般稱為單峰問題 此時該點就是極值點 也是最值點 返回目錄 從邊長為2a的正方形鐵片的四個角各截去一個邊長為x的正方形 再將四邊向上折起 做成一個無蓋長方體鐵盒 要求長方體的高度與底面邊長的比值不超過常數t t 0 試問當x取何值時 容積V有最大值 返回目錄 V x 2a 2x 2 4 a x 2 x t 00 得0a 此時V x 為增函數 由V 0 得 x a 此時V x 為減函數 返回目錄 當 即t 時 在x 時 V有最大值a3 當 即0 t 時 在x 時 V有最大值 返回目錄 返回目錄 1 注意單調函數的充要條件 尤其對于已知單調性求參數值 范圍 時 隱含恒成立思想 2 求極值 最值時 要求步驟規(guī)范 表格齊全 含參數時 要討論參數的大小 3 在實際問題中 如果函數在區(qū)間內只有一個極值點 那么只要根據實際意義判定最大值還是最小值即可 不必再與端點的函數值比較 4 求函數單調區(qū)間與函數極值時要養(yǎng)成列表的習慣 可使問題直觀且有條理 減少失分的可能 5 求函數最值時 不可想當然地認為極值點就是最值點 要通過認真比較才能下結論 6 要強化自己用導數知識處理函數最值 單調性 方程的根 不等式的證明等數學問題的意識 返回目錄 祝同學們學習上天天有進步