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第五章數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)DF DigitalFilter 第一節(jié)引言 一 什么是數(shù)字濾波器 顧名思義 其作用是對輸入信號起到濾波的作用 即DF是由差分方程描述的一類特殊的離散時間系統(tǒng) 它的功能 把輸入序列通過一定的運(yùn)算變換成輸出序列 不同的運(yùn)算處理方法決定了濾波器的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的不同 二 數(shù)字濾波器的工作原理 h n x n y n 則LTI系統(tǒng)的輸出為 三 數(shù)字濾波器表示方法 有兩種表示方法 方框圖表示法 流圖表示法 數(shù)字濾波器中 信號只有延時 乘以常數(shù)和相加三種運(yùn)算 所以DF結(jié)構(gòu)中有三個基本運(yùn)算單元 加法器 單位延時 乘常數(shù)的乘法器 1 方框圖 流圖表示法 Z 1 單位延時系數(shù)乘相加 Z 1 a 方框圖表示法 信號流圖表示法 a 把上述三個基本單元互聯(lián) 可構(gòu)成不同數(shù)字網(wǎng)絡(luò)或運(yùn)算結(jié)構(gòu) 也有方框圖表示法和流圖表示法 2 例子 例 二階數(shù)字濾波器 其方框圖及流圖結(jié)構(gòu)如下 Z 1 Z 1 x n y n b0 a1 a2 x n y n b0 a1 a2 Z 1 Z 1 看出 可通過流圖或方框圖看出系統(tǒng)的運(yùn)算步驟和運(yùn)算結(jié)構(gòu) 以后我們用流圖來分析數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu) DF網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或DF運(yùn)算結(jié)構(gòu)二個術(shù)語有微小的差別 但大抵一樣 可以混用 四 數(shù)字濾波器的分類 濾波器的種類很多 分類方法也不同 1 從功能上分 低 帶 高 帶阻 2 從實(shí)現(xiàn)方法上分 FIR IIR3 從設(shè)計(jì)方法上來分 Chebyshev 切比雪夫 Butterworth 巴特沃斯 4 從處理信號分 經(jīng)典濾波器 現(xiàn)代濾波器等等 1 經(jīng)典濾波器 假定輸入信號x n 中的有用成分和希望去除的成分 各自占有不同的頻帶 當(dāng)x n 經(jīng)過一個線性系統(tǒng) 即濾波器 后即可將欲去除的成分有效地去除 但如果信號和噪聲的頻譜相互重疊 那么經(jīng)典濾波器將無能為力 X ejw w wc 有用 無用 wc H ejw Y ejw w wc 2 現(xiàn)代濾波器 它主要研究內(nèi)容是從含有噪聲的數(shù)據(jù)記錄 又稱時間序列 中估計(jì)出信號的某些特征或信號本身 一旦信號被估計(jì)出 那么估計(jì)出的信號將比原信號會有高的信噪比 現(xiàn)代濾波器把信號和噪聲都視為隨機(jī)信號 利用它們的統(tǒng)計(jì)特征 如自相關(guān)函數(shù) 功率譜等 導(dǎo)出一套最佳估值算法 然后用硬件或軟件予以實(shí)現(xiàn) 現(xiàn)代濾波器理論源于維納在40年代及其以后的工作 這一類濾波器的代表為 維納濾波器 此外 還有卡爾曼濾波器 線性預(yù)測器 自適應(yīng)濾波器 本課程主要講經(jīng)典濾波器 外帶一點(diǎn)自適應(yīng)濾波器 3 模擬濾波器和數(shù)字濾波器 經(jīng)典濾波器從功能上分又可分為 低通濾波器 LPAF LPDF Lowpassanalogfilter帶通濾波器 BPAF BPDF Bandpassanalogfilter高通濾波器 HPAF HPDF Highpassanalogfilter帶阻濾波器 BSAF BSDF Bandstopanalogfilter即它們每一種又可分為 數(shù)字 Digital 和模擬 Analog 濾波器 4 模擬濾波器的理想幅頻特性 LPAFHPAFBPAFBSAF 5 數(shù)字濾波器的理想幅頻特性 LPDFHPDFBPDFBSDF 五 研究DF實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)意義 1 濾波器的基本特性 如有限長沖激響應(yīng)FIR與無限長沖激響應(yīng)IIR 決定了結(jié)構(gòu)上有不同的特點(diǎn) 2 不同結(jié)構(gòu)所需的存儲單元及乘法次數(shù)不同 前者影響復(fù)雜性 后者影響運(yùn)算速度 3 有限精度 有限字長 實(shí)現(xiàn)情況下 不同運(yùn)算結(jié)構(gòu)的誤差及穩(wěn)定性不同 4 好的濾波器結(jié)構(gòu)應(yīng)該易于控制濾波器性能 適合于模塊化實(shí)現(xiàn) 便于時分復(fù)用 六 本章介紹主要的內(nèi)容 1 介紹IIR濾波器實(shí)現(xiàn)的基本結(jié)構(gòu) 2 介紹FIR濾波器實(shí)現(xiàn)的基本結(jié)構(gòu) 3 介紹一種特殊的濾波器結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)形式 格型濾波器結(jié)構(gòu) 第二節(jié)IIRDF的基本結(jié)構(gòu) 一 IIRDF特點(diǎn) 1 單位沖激響應(yīng)h n 是無限長的n 2 系統(tǒng)函數(shù)H z 在有限長Z平面 0 Z 有極點(diǎn)存在 3 結(jié)構(gòu)上存在輸出到輸入的反饋 也即結(jié)構(gòu)上是遞歸型的 4 因果穩(wěn)定的IIR濾波器其全部極點(diǎn)一定在單位園內(nèi) 二 IIRDF基本結(jié)構(gòu) IIRDF類型有 直接型 級聯(lián)型 并聯(lián)型 直接型結(jié)構(gòu) 直接I型 直接II型 正準(zhǔn)型 典范型 1 IIRDF系統(tǒng)函數(shù)及差分方程 一個N階IIRDF有理的系統(tǒng)函數(shù)可能表示為 以下我們討論M N情況 則這一系統(tǒng)差分方程為 2 直接I型 1 直接I型流圖 IIRDF的差分方程就代表了一種最直接的計(jì)算公式 用流圖表現(xiàn)出來的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)即為直接I型結(jié)構(gòu) 即由差分方程直接實(shí)現(xiàn) x n b0 b1 b2 Z 1 Z 1 y n a1 a2 Z 1 Z 1 bM Z 1 aN 1 aN Z 1 Z 1 方程看出 y n 由兩部分組成 第一部分是一個對輸入x n 的M節(jié)延時鏈結(jié)構(gòu) 即每個延時抽頭后加權(quán)相加 即是一個橫向網(wǎng)絡(luò) 第二部分是一個N節(jié)延時鏈結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò) 不過它是對y n 延時 因而是個反饋網(wǎng)絡(luò) 2 結(jié)構(gòu)的特點(diǎn) 此結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)為 1 兩個網(wǎng)絡(luò)級聯(lián) 第一個橫向結(jié)構(gòu)M節(jié)延時網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)零點(diǎn) 第二個有反饋的N節(jié)延時網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)極點(diǎn) 2 共需 N M 級延時單元 3 系數(shù)ai bi不是直接決定單個零極點(diǎn) 因而不能很好地進(jìn)行濾波器性能控制 4 極點(diǎn)對系數(shù)的變化過于靈敏 從而使系統(tǒng)頻率響應(yīng)對系統(tǒng)變化過于靈敏 也就是對有限精度 有限字長 運(yùn)算過于靈敏 容易出現(xiàn)不穩(wěn)定或產(chǎn)生較大誤差 3 直接II型 正準(zhǔn)型 典范型 1 直接II型原理 從上面直接型結(jié)構(gòu)的兩部分看成兩個獨(dú)立的網(wǎng)絡(luò) 即兩個子系統(tǒng) 原理 一個線性時不變系統(tǒng) 若交換其級聯(lián)子系統(tǒng)的次序 系統(tǒng)函數(shù)不變 把此原理應(yīng)用于直接I型結(jié)構(gòu) 即 1 交換兩個級聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的次序 2 合并兩個具有相同輸入的延時支路 得到另一種結(jié)構(gòu)即直接II型 2 直接II型的結(jié)構(gòu)流圖過程1 對調(diào) x n b0 b1 b2 Z 1 Z 1 y n a1 a2 Z 1 Z 1 bM Z 1 aN 1 aN Z 1 Z 1 第一部分 第二部分 對調(diào) x n y n a1 a2 Z 1 Z 1 aN 1 aN Z 1 Z 1 b0 b1 b2 Z 1 Z 1 bM Z 1 Z 1 對調(diào) 3 直接II型的結(jié)構(gòu)流圖過程2 合并 x n a1 a2 Z 1 Z 1 aN 1 aN Z 1 Z 1 b0 b1 b2 Z 1 Z 1 bM Z 1 合并 x n a1 a2 Z 1 Z 1 aN 1 aN Z 1 Z 1 b0 b1 b2 bM y n y n 由于對調(diào)后前后兩路都有一條內(nèi)容完全相同的延時鏈 可以合并為一條即可 這就是直接II型的結(jié)構(gòu)流圖 4 直接II型特點(diǎn) 直接II型結(jié)構(gòu)特點(diǎn) 1 兩個網(wǎng)絡(luò)級聯(lián) 第一個有反饋的N節(jié)延時網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)極點(diǎn) 第二個橫向結(jié)構(gòu)M節(jié)延時網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)零點(diǎn) 2 實(shí)現(xiàn)N階濾波器 一般N M 只需N級延時單元 所需延時單元最少 故稱典范型 3 同直接I型一樣 具有直接型實(shí)現(xiàn)的一般缺點(diǎn) 例子 已知IIRDF系統(tǒng)函數(shù) 畫出直接I型 直接II型的結(jié)構(gòu)流圖 解 為了得到直接I II型結(jié)構(gòu) 必須將H z 代為Z 1的有理式 x n 8 4 11 Z 1 Z 1 y n 5 4 3 4 Z 1 Z 1 Z 1 1 8 Z 1 2 5 4 Z 1 Z 1 Z 1 3 4 1 8 4 11 2 8 y n x n 注意反饋部分系數(shù)符號 作業(yè) P226第1題 4 級聯(lián)型結(jié)構(gòu) 1 系統(tǒng)函數(shù)因式分解 一個N階系統(tǒng)函數(shù)可用它的零 極點(diǎn)來表示即系統(tǒng)函數(shù)的分子 分母進(jìn)行因式分解 2 系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)分析 3 基本二階節(jié)的級聯(lián)結(jié)構(gòu) 4 濾波器的基本二階節(jié) 所以 濾波器就可以用若干個二階網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)起來構(gòu)成 這每一個二階網(wǎng)絡(luò)也稱濾波器的基本二階節(jié) 即濾波器的二階節(jié) 一個基本二階節(jié)的系統(tǒng)函數(shù)的形式為 一般用直接II型 正準(zhǔn)型 典范型表示 x n 1i a2i Z 1 Z 1 a1i 2i y n 5 用二階節(jié)級聯(lián)表示的濾波器系統(tǒng) 整個濾波器則是多個二階節(jié)級聯(lián) x n 11 a21 Z 1 Z 1 a11 21 12 a22 Z 1 Z 1 a12 22 1M a2M Z 1 Z 1 a1M 2M y n 例子 設(shè)IIR數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)為 1 Z 1 1 1 1 Z 1 Z 1 1 1 y n x n 6 級聯(lián)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn) 從級聯(lián)結(jié)構(gòu)中看出 它的每一個基本節(jié)只關(guān)系到濾波器的某一對極點(diǎn)和一對零點(diǎn) 調(diào)整 1i 2i 只單獨(dú)調(diào)整濾波器第I對零點(diǎn) 而不影響其它零點(diǎn) 同樣 調(diào)整a1i a2i 只單獨(dú)調(diào)整濾波器第I對極點(diǎn) 而不影響其它極點(diǎn) 級聯(lián)結(jié)構(gòu)特點(diǎn) a 每個二階節(jié)系數(shù)單獨(dú)控制一對零點(diǎn)或一對極點(diǎn) 有利于控制頻率響應(yīng) b 分子分母中二階因子配合成基本二階節(jié)的方式 以及各二階節(jié)的排列次序不同 作業(yè) P226第2題 5 并聯(lián)型 1 系統(tǒng)函數(shù)的部分分式展開 將系統(tǒng)函數(shù)展成部分分式的形式 用并聯(lián)的方式實(shí)現(xiàn)DF 相加 在電路中實(shí)現(xiàn)用并聯(lián) 如果遇到某一系數(shù)為復(fù)數(shù) 那么一定有另一個為共軛復(fù)數(shù) 將它們合并為二階實(shí)數(shù)的部分分式 2 基本二階節(jié)的并聯(lián)結(jié)構(gòu) AN1 Z 1 a1 x n aN1 a11 Z 1 Z 1 A1 11 y n A0 01 a21 a1N2 a2N2 0N2 1N2 其實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)為 3 并聯(lián)型基本二階節(jié)結(jié)構(gòu) 并聯(lián)型的基本二階節(jié)的形式 其中 要求分子比分母小一階 x n 0 a2 Z 1 Z 1 a1 1 y n 4 并聯(lián)型特點(diǎn) 1 可以單獨(dú)調(diào)整極點(diǎn)位置 但不能象級聯(lián)那樣直接控制零點(diǎn) 因?yàn)橹粸楦鞫A節(jié)網(wǎng)絡(luò)的零點(diǎn) 并非整個系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn) 2 其誤差最小 因?yàn)椴⒙?lián)型各基本節(jié)的誤差互不影響 所以比級聯(lián)誤差還少 若某一支路a1誤差為1 但總系統(tǒng)的誤差仍可達(dá)到少1 因?yàn)榉殖蒩1 a2 支路 注意 1 為什么二階節(jié)是最基本的 因?yàn)槎A節(jié)是實(shí)系數(shù) 而一階節(jié)一般為復(fù)系數(shù) 2 統(tǒng)一用二階節(jié)表示 保持結(jié)構(gòu)上的一致性 有利于時分多路復(fù)用 3 級聯(lián)結(jié)構(gòu)與并聯(lián)結(jié)構(gòu)的基本二階節(jié)是不同的 5 例子 其并聯(lián)結(jié)構(gòu)為 x n Z 1 Z 1 1 4 y n 1 6 1 6 1 Z 1 作業(yè) P226頁 第3題 第三節(jié)FIRDF的結(jié)構(gòu) 有限長沖激響應(yīng)濾波器 一 FIRDF的特點(diǎn) 1 系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h n 在有限個n值處不為零 即h n 是個有限長序列 2 系統(tǒng)函數(shù) H z 在 z 0處收斂 極點(diǎn)全部在z 0處 即FIR一定為穩(wěn)定系統(tǒng) 3 結(jié)構(gòu)上主要是非遞歸結(jié)構(gòu) 沒有輸出到輸入反饋 但有些結(jié)構(gòu)中 例如頻率抽樣結(jié)構(gòu) 也包含有反饋的遞歸部分 二 FIR的系統(tǒng)函數(shù)及差分方程 長度為N的單位沖激響應(yīng)h n 的系統(tǒng)函數(shù)為 三 FIR濾波器實(shí)現(xiàn)基本結(jié)構(gòu) 1 FIR的橫截型結(jié)構(gòu) 直接型 2 FIR的級聯(lián)型結(jié)構(gòu)3 FIR的頻率抽樣型結(jié)構(gòu)4 FIR的快速卷積型結(jié)構(gòu)5 FIR的線性型結(jié)構(gòu) 1 FIR直接型結(jié)構(gòu) 卷積型 橫截型 1 流圖 h 0 h 1 h 2 h N 1 h N Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 x n y n 倒下 h 0 h 1 h N 1 h N Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 y n x n 2 框圖 Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 x n h 0 h 1 h 2 h N 1 y n 2 級聯(lián)型結(jié)構(gòu) 1 流圖 當(dāng)需要控制濾波器的傳輸零點(diǎn)時 可將H z 系統(tǒng)函數(shù)分解成二階實(shí)系數(shù)因子的形成 即可以由多個二階節(jié)級聯(lián)實(shí)現(xiàn) 每個二階節(jié)用橫截型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn) x n 11 Z 1 Z 1 21 12 Z 1 Z 1 22 1N 2 Z 1 Z 1 2N 2 y n 01 02 0N 21 2 級聯(lián)型結(jié)構(gòu)特點(diǎn) 由于這種結(jié)構(gòu)所需的系數(shù)比直接型多 所需乘法運(yùn)算也比直接型多 很少用 由于這種結(jié)構(gòu)的每一節(jié)控制一對零點(diǎn) 因而只能在需要控制傳輸零點(diǎn)時用 作業(yè) P226頁第4 5題 3 頻率抽樣型結(jié)構(gòu) 1 頻率抽樣型結(jié)構(gòu)的導(dǎo)入 若FIRDF的沖激響應(yīng)為有限長 N點(diǎn) 序列h n 則有 h n H z H k H ejw DFT 取主值序列 N等分抽樣 單位園上頻響 Z變換 內(nèi)插 所以 對h n 可以利用DFT得到H k 再利用內(nèi)插公式 來表示系統(tǒng)函數(shù) 2 頻率抽樣型濾波器結(jié)構(gòu) 由 得到FIR濾波器提供另一種結(jié)構(gòu) 頻率抽樣型結(jié)構(gòu) 它是由兩部分級聯(lián)而成 其中 級聯(lián)中的第一部分為梳狀濾波器 第二部分由N個諧振器組成的諧振柜 3 梳狀濾波器 a 零 極點(diǎn)特性 它是一個由N節(jié)延時單元所組成的梳狀濾波器 它在單位園上有N個等分的零點(diǎn) 無極點(diǎn) 由 看出 b 幅頻特性及流圖 頻率響應(yīng)為 w H ejw 0 幅頻曲線 1 x n y n Z N 梳狀濾波器信號流圖 4 諧振器 諧振器 是一個階網(wǎng)絡(luò) Z 1 H k Hk z 諧振器的零極點(diǎn) 此為一階網(wǎng)絡(luò) 有一極點(diǎn) 5 諧振柜 諧振柜 它是由N個諧振器并聯(lián)而成的 這個諧振柜的極點(diǎn)正好與梳狀濾波器的一個零點(diǎn) i k 相抵消 從而使這個頻率 w 2 k N 上的頻率響應(yīng)等于H k 將兩部分級聯(lián)起來 得到頻率抽樣結(jié)構(gòu) 6 頻率抽樣型結(jié)構(gòu)流圖 Z 1 H 0 Z 1 H 1 Z 1 H 2 Z 1 H N 1 Z N x n y n 7 頻率抽樣型結(jié)構(gòu)特點(diǎn) 1 它的系數(shù)H k 直接就是濾波器在處的頻率響應(yīng) 因此 控制濾波器的頻率響應(yīng)是很直接的 2 結(jié)構(gòu)有兩個主要缺點(diǎn) a 所有的相乘系數(shù)及H k 都是復(fù)數(shù) 應(yīng)將它們先化成二階的實(shí)數(shù) 這樣乘起來較復(fù)雜 增加乘法次數(shù) 存儲量 b 所有諧振器的極點(diǎn)都是在單位園上 由決定考慮到系數(shù)量化的影響 當(dāng)系數(shù)量化時 極點(diǎn)會移動 有些極點(diǎn)就不能被梳狀濾波器的零點(diǎn)所抵消 零點(diǎn)由延時單元決定 不受量化的影響 系統(tǒng)就不穩(wěn)定了 8 修正的頻率抽樣結(jié)構(gòu) a 產(chǎn)生的原因 為了克服系數(shù)量化后可能不穩(wěn)定的缺點(diǎn) 將頻率抽樣結(jié)構(gòu)做一點(diǎn)修正 即將所有零極點(diǎn)都移到單位園內(nèi)某一靠近單位園 半徑為r r 1 的園上 同時梳狀濾波器的零點(diǎn)也移到r園上 即將頻率采樣由單位園移到修正半徑r的園上 b 修正的頻率抽樣結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)函數(shù) 為了使系數(shù)是實(shí)數(shù) 可將共軛根合并 這些共軛根在半徑為r的圓周上以實(shí)軸成對稱分布 c 修正的頻率抽樣結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)極點(diǎn)分布 0 0 z r N 8 N 7 d 修正頻率結(jié)構(gòu)的復(fù)根部分 第k和第N k個諧振器合并為一個實(shí)系數(shù)的二階網(wǎng)絡(luò) 因?yàn)閔 n 是實(shí)數(shù) 它的DFT也是圓周共軛對稱的 因此 可以將第k和第N k個諧振器合并為一個二階網(wǎng)絡(luò) e 有限Q的諧振器 第k和第N k個諧振器合并為一個二階網(wǎng)絡(luò)的極點(diǎn)在單位園內(nèi) 而不是在單位園上 因而從頻率響應(yīng)的幾何解釋可知 它相當(dāng)于一個有限Q的諧振器 其諧振頻率為 f 修正頻率抽樣結(jié)構(gòu)的諧振器的實(shí)根部分 除了共軛復(fù)根外 還有實(shí)根 當(dāng)N 偶數(shù)時 有一對實(shí)根 它們分別為兩點(diǎn) 當(dāng)N 奇數(shù)時 只有一個實(shí)根z r k 0 即只有H0 z r r g 修正頻率抽樣結(jié)構(gòu)流圖 N 偶數(shù) r r x n y n h 修正頻率抽樣結(jié)構(gòu)流圖 N 奇數(shù) r x n y n i 修正頻率抽樣結(jié)構(gòu)的特點(diǎn) 1 結(jié)構(gòu)有遞歸型部分諧振柜又有非遞歸部分 梳狀濾波器 2 它的零 極點(diǎn)數(shù)目只取決于單位抽樣響應(yīng)的長度 因而單位沖激響應(yīng)長度相同 利用同一梳狀濾波器 同一結(jié)構(gòu)而只有加權(quán)系數(shù) 0k 1k H 0 H N 2 不同的諧振器 就能得到各種不同的濾波器 3 其結(jié)構(gòu)可以高度模塊化 適用于時分復(fù)用 j 頻率抽樣結(jié)構(gòu)的應(yīng)用范圍 1 如果多數(shù)頻率特性的采樣值H k 為零 例 窄帶低通情況下 這時諧振器中剩下少數(shù)幾個所需要的諧振器 因而可以比直接型少用乘法器 但存儲器還是比直接型多用一些 2 可以共同使用多個并列的濾波器 例 信號頻譜分析中 要求同時將信號的各種頻率分量分別濾出來 這時可采用頻率采樣結(jié)構(gòu)的濾波器 大家共用一個梳狀濾波器及諧振柜 只是將各諧振器的輸出適當(dāng)加權(quán)組合就能組成各所需的濾波器 這樣結(jié)構(gòu)具有很大的經(jīng)濟(jì)性 3 常用于窄帶濾波 不適于寬帶濾波 作業(yè) P226頁 第6題 4 快速卷積結(jié)構(gòu) 1 原理 設(shè)FIRDF的單位沖激響應(yīng)h n 的非零值長度為M 輸入x n 的非零值長度為N 則輸出y n x n h n 且長度L N M 1若將x n 補(bǔ)零加長至L 補(bǔ)L N個零點(diǎn) 將h n 補(bǔ)零加長至L 補(bǔ)L M個零點(diǎn) 這樣進(jìn)行L點(diǎn)圓周卷積 可代替x n h n 線卷積 其中 而由圓卷積可用DFT和IDFT來計(jì)算 即可得到FIR的快速卷積結(jié)構(gòu) 2 快速卷積結(jié)構(gòu)框圖 L點(diǎn)DFT L點(diǎn)DFT L點(diǎn)IDFT X k H k Y k x n h n 當(dāng)N M中夠大時 比直接計(jì)算線性卷積快多了 5 線性相位FIR型結(jié)構(gòu) 1 定義 所謂線性相位 是指濾波器產(chǎn)生的相移與輸入信號頻率成線性關(guān)系 2 線性相位FIRDF具有特性 h n 是因果的 為實(shí)數(shù) 且滿足對稱性 即滿足約束條件 h n h N 1 n 其中 h n 為偶對稱時 h n h N 1 n h n 為奇對稱時 h n h N 1 n 下面我們針對h n 奇 偶進(jìn)行討論 3 h n 為偶 奇對稱 N 偶數(shù)時 a FIR的線性相位的特性 令n N 1 n代入 用n n 應(yīng)用線性FIR特性 h n h N 1 n b 線性相位FIR的結(jié)構(gòu)流圖 Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 x n y n x n N 2 1 h 0 h 1 h 2 h 3 h N 2 1 h N 1 其中h 0 h N 1 h 2 h N 2 Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 4 h n 為奇 偶對稱 N 奇數(shù)時 a FIR的線性相位的特性 當(dāng)N 奇數(shù)時 有一中間項(xiàng)h N 1 2 無法合并 需提出 b 線性相位FIR的結(jié)構(gòu)流圖 Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 x n y n h 0 h 1 h 2 h 3 h N 1 其中h 0 h N 1 h 2 h N 2 h N 3 2 h N 1 2 共有 N 3 2項(xiàng) Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 5 總結(jié) h n 為奇 偶對稱 N 奇數(shù)時FIR的線性相位的特性 同理 當(dāng)h n 奇 偶對稱時 即h n h N 1 n 可求出 作業(yè) P226頁 第7題 第四節(jié)格型濾波器 引言 在數(shù)字信號處理中 格型 Lattice 網(wǎng)絡(luò)起著重要的作用 事實(shí)證明 1 由于它的模塊化結(jié)構(gòu)便于實(shí)現(xiàn)高速并行處理 2 一個m階格型濾波器可以產(chǎn)生從1階到m階的m個橫向?yàn)V波器的輸出性能 3 它對有限字長的舍入誤差不靈敏 由于這些優(yōu)點(diǎn) 使得它在現(xiàn)代譜估計(jì) 語音處理 自適應(yīng)濾波 線性預(yù)測和逆濾波等方面已得到廣泛應(yīng)用 本節(jié)討論 1 全零點(diǎn) FIR 格型濾波器2 全極點(diǎn) IIR 格型濾波器3 零 極點(diǎn) IIR 的格型濾波器 一 全零點(diǎn) IIR 格型濾波器 一個M階的FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H z 可寫成如下形式 1 全零點(diǎn)格型濾波器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 2 導(dǎo)出格型結(jié)構(gòu)的參量 從上看出 要分析這一格型結(jié)構(gòu) 先討論如何由橫向結(jié)構(gòu)的參量導(dǎo)出格型結(jié)構(gòu)的參量 或由格型結(jié)構(gòu)的參量如何導(dǎo)出橫向結(jié)構(gòu)的參量 在FIR橫向結(jié)構(gòu)中有M個 共需M次乘法 M次延遲 在FIR的格型結(jié)構(gòu)中也有M個參數(shù)ki i 1 2 M ki稱為反射系數(shù) 共需2M次乘法 M次延遲 此格型結(jié)構(gòu)的信號只有正饋通路 沒有反饋通路 所以是一個典型的FIR系統(tǒng) 3 格型網(wǎng)絡(luò)單元 由上結(jié)構(gòu)可看出 它們是由M個格型網(wǎng)絡(luò)單元級聯(lián)而成 每個網(wǎng)絡(luò)單元有兩個輸入端和兩個輸出端 輸入信號x n 同時送到第一級網(wǎng)絡(luò)單元的兩個輸入端 而在輸出端僅取最后一級網(wǎng)絡(luò)單元上面的一個輸出端作為整個格型濾波器的輸出信號y n 4 推導(dǎo)出格型結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)系數(shù) ki 的遞推公式 如上圖所示的基本格型單元的輸入 輸出關(guān)系如下式 且 式中 fm n gm n 分別為第m個基本單元的上 下端的輸出序列 fm 1 n gm 1 n 分別為該單元的上 下端的輸入序列 設(shè)Bm z Jm z 分別表示由輸入端x n 至第m個基本單元的上 下端的輸出端fm n gm n 對應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù) 即 對 1 2 式兩邊進(jìn)行z變換得 對上式分別除以F0 z 和G0 z 再代入Bm z Jm z 式 其中F0 z G0 z 得 以上兩式給出了格型結(jié)構(gòu)中由低階到高階 或由高階到低階 系統(tǒng)函數(shù)的遞推關(guān)系 反過來 由于上式中同時包含B z 和J z 實(shí)際中只給出Bm z 所以應(yīng)找出Bm z 和Bm 1 z 之間的遞推關(guān)系 5 導(dǎo)出km與濾波器系數(shù)bm之間的遞推關(guān)系 6 實(shí)際中具體遞推步驟 實(shí)際工作中 一般先給出H z B z BM z 要畫出H z 的格型結(jié)構(gòu) 需求出k1 k2 kM 7 例子 H z 格型結(jié)構(gòu)流圖如圖所示 作業(yè) P226頁第10題 第12題 二 全極點(diǎn) IIR 格型濾波器 IIR濾波器的格型結(jié)構(gòu)受限于全極點(diǎn)系統(tǒng)函數(shù) 可以根據(jù)FIR格型結(jié)構(gòu)開發(fā) 設(shè)一個全極點(diǎn)系統(tǒng)函數(shù)由下式給定 1 全極點(diǎn)格型網(wǎng)絡(luò)單元 全極點(diǎn)IIR系統(tǒng)格型結(jié)構(gòu)的基本單元為 全零點(diǎn)FIR格型結(jié)構(gòu)基本單元 全極點(diǎn)IIR格型結(jié)構(gòu)基本單元 全極點(diǎn) IIR 濾波器格型結(jié)構(gòu) 例子 IIR格型結(jié)構(gòu) 最后說明 一般的IIR濾波器既包含零點(diǎn) 又包含極點(diǎn) 它可用全極點(diǎn)格型作為基本構(gòu)造模塊 用所謂的格型梯形結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn) 作業(yè) P226頁第11題 第13題 三 零 極點(diǎn)系統(tǒng) IIR系統(tǒng) 的格型結(jié)構(gòu) 一個在有限z平面 0 z 既有極點(diǎn)又有零點(diǎn)的IIR系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H z 可表示為 系統(tǒng)的格型結(jié)構(gòu)流圖 看出 1 若k1 k2 kN 0 即所有乘k 或 k 處的聯(lián)線全斷開 則上圖將變成一個N階的FIR系統(tǒng)的橫向結(jié)構(gòu) 2 若c1 c2 cN 0 即含c1 CN的聯(lián)線都斷開 C0 1那么上圖將變成全極點(diǎn)IIR格型濾波器結(jié)構(gòu) 3 因此 圖上半部分對應(yīng)于全極點(diǎn)系統(tǒng) 下半部分對應(yīng)于全零點(diǎn)系統(tǒng)B z 且下半部分無任何反饋 故參數(shù)k1 k2 kN 仍可按全極點(diǎn)系統(tǒng)的方法求出 但上半部分對下半部分有影響 所以這里的Ci和全零點(diǎn)系統(tǒng)的bi不會相同 任務(wù) 想辦法求出各個ci i 0 1 N 推導(dǎo) 由上式 設(shè) 是由g0 n 至gm n 之間的系統(tǒng)函數(shù) 是由x n 至gm n 之間的系統(tǒng)函數(shù)又因?yàn)?則 整個系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù) 應(yīng)是分別用加權(quán)后的相加 并聯(lián) 求解參數(shù)c1 c2 cN的方法 第一種方法 以N 2為例 則有 其中 令等式兩邊的同次冪的系數(shù)相等 可得 由上式 可求得c2 c1 c0 一般情況下 任意N時 有 第二種方法 則有 又定義 對一般項(xiàng)m來說 可有 由此得出 起始條件為 已給定 例子 已知 解 1 極點(diǎn)部分由全極點(diǎn)模型 按求全極點(diǎn)模型的方法求出 實(shí)際上是用求全零點(diǎn)型的方法求得 即 利用式子 可求得 由H z 可知 其格型流圖結(jié)構(gòu)為 總結(jié)本章主要的內(nèi)容 1 IIR濾波器實(shí)現(xiàn)的基本結(jié)構(gòu)2 FIR濾波器實(shí)現(xiàn)的基本結(jié)構(gòu)3 一種特殊的濾波器結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)形式 格型濾波器結(jié)構(gòu) 1 IIRDF基本結(jié)構(gòu) IIRDF類型有 直接型直接型結(jié)構(gòu) 直接I型 直接II型 正準(zhǔn)型 典范型 級聯(lián)型并聯(lián)型 直接I型直接I型流圖 IIRDF的差分方程就代表了一種最直接的計(jì)算公式 用流圖表現(xiàn)出來的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)即為直接I型結(jié)構(gòu) 即由差分方程直接實(shí)現(xiàn) x n b0 b1 b2 Z 1 Z 1 y n a1 a2 Z 1 Z 1 bM Z 1 aN 1 aN Z 1 Z 1 方程看出 y n 由兩部分組成 第一部分是一個對輸入x n 的M節(jié)延時鏈結(jié)構(gòu) 即每個延時抽頭后加權(quán)相加 即是一個橫向網(wǎng)絡(luò) 第二部分是一個N節(jié)延時鏈結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò) 不過它是對y n 延時 因而是個反饋網(wǎng)絡(luò) 直接II型的結(jié)構(gòu)流圖 x n a1 a2 Z 1 Z 1 aN 1 aN Z 1 Z 1 b0 b1 b2 bM y n 由于對調(diào)后前后兩路都有一條內(nèi)容完全相同的延時鏈 可以合并為一條即可 這就是直接II型的結(jié)構(gòu)流圖 級聯(lián)型 級聯(lián)型的基本二階節(jié) 所以 濾波器就可以用若干個二階網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)起來構(gòu)成 這每一個二階網(wǎng)絡(luò)也稱濾波器的基本二階節(jié) 即濾波器的二階節(jié) 一個基本二階節(jié)的系統(tǒng)函數(shù)的形式為 一般用直接II型 正準(zhǔn)型 典范型表示 x n 1i a2i Z 1 Z 1 a1i 2i y n 級聯(lián)型二階節(jié)表示的濾波器系統(tǒng) 整個濾波器則是多個二階節(jié)級聯(lián) x n 11 a21 Z 1 Z 1 a11 21 12 a22 Z 1 Z 1 a12 22 1M a2M Z 1 Z 1 a1M 2M y n 并聯(lián)型 將系統(tǒng)函數(shù)展成部分分式的形式 用并聯(lián)的方式實(shí)現(xiàn)DF 相加 在電路中實(shí)現(xiàn)用并聯(lián) 如果遇到某一系數(shù)為復(fù)數(shù) 那么一定有另一個為共軛復(fù)數(shù) 將它們合并為二階實(shí)數(shù)的部分分式 并聯(lián)型基本二階節(jié)結(jié)構(gòu) 并聯(lián)型的基本二階節(jié)的形式 其中 要求分子比分母小一階 x n 0 a2 Z 1 Z 1 a1 1 y n 二 FIR濾波器 長度為N的單位沖激響應(yīng)h n 的系統(tǒng)函數(shù)為 FIR濾波器實(shí)現(xiàn)基本結(jié)構(gòu) 1 FIR的橫截型結(jié)構(gòu) 直接型 2 FIR的級聯(lián)型結(jié)構(gòu) 3 FIR的線性型結(jié)構(gòu) 4 FIR的頻率抽樣型結(jié)構(gòu) 5 FIR的軌跡卷積型結(jié)構(gòu) 1 FIR直接型結(jié)構(gòu) 卷積型 橫截型 h 0 h 1 h 2 h N 1 h N Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 x n y n 倒下 h 0 h 1 h N 1 h N Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 y n x n 2 級聯(lián)型結(jié)構(gòu) 當(dāng)需要控制濾波器的傳輸零點(diǎn)時 可將H z 系統(tǒng)函數(shù)分解成二階實(shí)系數(shù)因子的形成 即可以由多個二階節(jié)級聯(lián)實(shí)現(xiàn) 每個二階節(jié)用橫截型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn) x n 11 Z 1 Z 1 21 12 Z 1 Z 1 22 1N 2 Z 1 Z 1 2N 2 y n 01 02 0N 21 3 線性相位FIR型結(jié)構(gòu) 所謂線性相位 是指濾波器產(chǎn)生的相移與輸入信號頻率成線性關(guān)系 h n 為偶數(shù) N 奇 偶數(shù)時FIR的線性相位的特性 同理 當(dāng)h n 偶對稱時 即h n h N 1 n 可求出 N 奇數(shù)時 h n 為奇數(shù) N 奇 偶數(shù)時FIR的線性相位的特性 當(dāng)h n 奇對稱時 即h n h N 1 n 可求出 N 奇數(shù)時 4 快速卷積結(jié)構(gòu) 設(shè)FIRDF的單位沖激響應(yīng)h n 的非零值長度為M 輸入x n 的非零值長度為N 則輸出y n x n h n 且長度L N M 1若將x n 補(bǔ)零加長至L 補(bǔ)L N個零點(diǎn) 將h n 補(bǔ)零加長至L 補(bǔ)L M個零點(diǎn) 這樣進(jìn)行L點(diǎn)圓周卷積 可代替x n h n 線卷積 其中 而由圓卷積可用DFT和IDFT來計(jì)算 即可得到FIR的快速卷積結(jié)構(gòu) 2 快速卷積結(jié)構(gòu)框圖 L點(diǎn)DFT L點(diǎn)DFT L點(diǎn)DFT X k H k Y k x n h n 當(dāng)N M中夠大時 比直接計(jì)算線性卷積快多了 5 頻率抽樣型結(jié)構(gòu) 若FIRDF的沖激響應(yīng)為有限長 N點(diǎn) 序列h n 則有 h n H z H k H ejw DFT 取主值序列 N等分抽樣 單位園上頻響 Z變換 內(nèi)插 所以 對h n 可以利用DFT得到H k 再利用內(nèi)插公式 來表示系統(tǒng)函數(shù) 3 梳狀濾波器 a 零 極點(diǎn)特性 它是一個由N節(jié)延時單元所組成的梳狀濾波器 它在單位園上有N個等分的零點(diǎn) 無極點(diǎn) 由 看出 6 頻率抽樣型結(jié)構(gòu)流圖 Z 1 W k H 0 Z 1 W k H 1 Z 1 W k H 2 Z 1 W k H N 1 Z N x n y n 一 全零點(diǎn) IIR 格型濾波器 一個M階的FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H z 可寫成如下形式 全零點(diǎn)格型濾波器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) km與濾波器系數(shù)bm之間的遞推關(guān)系 二 全極點(diǎn) IIR 格型濾波器 IIR濾波器的格型結(jié)構(gòu)受限于全極點(diǎn)系統(tǒng)函數(shù) 可以根據(jù)FIR格型結(jié)構(gòu)開發(fā) 設(shè)一個全極點(diǎn)系統(tǒng)函數(shù)由下式給定 全極點(diǎn) IIR 濾波器格型結(jié)構(gòu)