空間中的垂直關(guān)系 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 1．掌握直線與平面、平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，并能用它們證明和解決有關(guān)問題。 2．線面垂直是線線垂直與面面垂直的樞紐，要理清楚它們之間的關(guān)系，學(xué)會(huì)互相轉(zhuǎn)化，善于利用轉(zhuǎn)化思想。 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1．“直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線”是“”的 必要 條件。 2．如果兩個(gè)平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面的位置關(guān)系是 平行或相交 。 3．已知是兩個(gè)平面，直線若以①，②，③中兩個(gè)為條件，另一個(gè)為結(jié)論構(gòu)成三個(gè)命題，則其中正確命題的個(gè)數(shù)是 2 個(gè)。 4．在正方體中，與正方體的一條對角線垂直的面對角線的條數(shù)是 6 。 5．兩個(gè)平面互相垂直，一條直線和其中一個(gè)平面平行，則這條直線和另一個(gè)平面的位置關(guān)系是 平行、相交或在另一個(gè)平面內(nèi) 。 6．在正方體中，寫出過頂點(diǎn)A的一個(gè)平面__AB1D1_____，使該平面與正方體的12條棱所在的直線所成的角均相等(注：填上你認(rèn)為正確的一個(gè)平面即可，不必考慮所有可能的情況)。 【范例導(dǎo)析】 例1．如圖,在四棱錐P—ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點(diǎn),作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F. （1）證明PA//平面EDB； （2）證明PB⊥平面EFD； 解析：本小題考查直線與平面平行,直線與平面垂直基礎(chǔ)知識,考查空間想象能力和推理論證能力. 證明：（1）連結(jié)AC,AC交BD于O,連結(jié)EO. ∵底面ABCD是正方形,∴點(diǎn)O是AC的中點(diǎn) 在中,EO是中位線,∴PA // EO 而平面EDB且平面EDB, 所以,PA // 平面EDB （2）∵PD⊥底面ABCD且底面ABCD,∴ ∵PD=DC,可知是等腰直角三角形,而DE是斜邊PC的中線, ∴. ① 同樣由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC. ∵底面ABCD是正方形,有DC⊥BC,∴BC⊥平面PDC. 而平面PDC,∴. ② 由①和②推得平面PBC. 而平面PBC,∴ 又且,所以PB⊥平面EFD. 例2．如圖，△ABC 為正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，CE ＝CA ＝2 BD ，M 是EA 的中點(diǎn)， 求證：（1）DE ＝DA ；（2）平面BDM ⊥平面ECA ； （3）平面DEA ⊥平面ECA。 分析：（1）證明DE ＝DA ，可以通過圖形分割，證明△DEF ≌△DBA。（2）證明面面垂直的關(guān)鍵在于尋找平面內(nèi)一直線垂直于另一平面。由（1）知DM ⊥EA ，取AC 中點(diǎn)N ，連結(jié)MN 、NB ，易得四邊形MNBD 是矩形。從而證明DM ⊥平面ECA。 證明：（1）如圖，取EC 中點(diǎn)F ，連結(jié)DF。 ∵ EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，得DB ⊥平面ABC 。 ∴ DB ⊥AB ，EC ⊥BC。 ∵ BD ∥CE ，BD ＝CE ＝FC ， 則四邊形FCBD 是矩形，DF ⊥EC。 又BA ＝BC ＝DF ，∴ Rt△DEF ≌Rt△ABD ，所以DE ＝DA。 （2）取AC 中點(diǎn)N ，連結(jié)MN 、NB ， ∵ M 是EA 的中點(diǎn)，∴ MN EC。 由BD EC ，且BD ⊥平面ABC ，可得四邊形MNBD 是矩形，于是DM ⊥MN。 ∵ DE ＝DA ，M 是EA 的中點(diǎn)，∴ DM ⊥EA ．又EA MN ＝M ， ∴ DM ⊥平面ECA ，而DM 平面BDM ，則平面ECA ⊥平面BDM。 （3）∵ DM ⊥平面ECA ，DM 平面DEA ， ∴ 平面DEA ⊥平面ECA。 點(diǎn)評：面面垂直的問題常常轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直的問題解決。 例3．如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1 中，AC ＝BC ＝1， ∠ACB ＝90°，AA1 ＝，D 是A1B1 中點(diǎn)． （1） 求證C1D ⊥平面A1B ；（2）當(dāng)點(diǎn)F 在BB1 上什么位置時(shí)， 會(huì)使得AB1 ⊥平面C1DF ？并證明你的結(jié)論。 分析：（1）由于C1D 所在平面A1B1C1 垂直平面A1B ，只要證明C1D 垂直交線A1B1 ，由直線與平面垂直判定定理可得C1D ⊥平面A1B。（2）由（1）得C1D ⊥AB1 ，只要過D 作AB1 的垂線，它與BB1 的交點(diǎn)即為所求的F 點(diǎn)位置。 證明：（1）如圖，∵ ABC—A1B1C1 是直三棱柱， ∴ A1C1 ＝B1C1 ＝1，且∠A1C1B1 ＝90°。 又 D 是A1B1 的中點(diǎn)，∴ C1D ⊥A1B1 。 ∵ AA1 ⊥平面A1B1C1 ，C1D 平面A1B1C1 ， ∴ AA1 ⊥C1D ，∴ C1D ⊥平面AA1B1B。 （2）解：作DE ⊥AB1 交AB1 于E ，延長DE 交BB1 于F ，連結(jié)C1F ，則AB1 ⊥平面C1DF ，點(diǎn)F 即為所求。 ∵ C1D ⊥平面AA1BB ，AB1 平面AA1B1B ， ∴ C1D ⊥AB1 ．又AB1 ⊥DF ，DF C1D ＝D ， ∴ AB1 ⊥平面C1DF 。 點(diǎn)評：本題（1）的證明中，證得C1D ⊥A1B1 后，由ABC—A1B1C1 是直三棱柱知平面C1A1B1 ⊥平面AA1B1B ，立得C1D ⊥平面AA1B1B。（2）是開放性探索問題，注意采用逆向思維的方法分析問題。 備用題．如圖，邊長為2的正方形ABCD中， （1）點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，將分別沿折起，使兩點(diǎn)重合于點(diǎn)，求證：． （2）當(dāng)時(shí)，求三棱錐的體積． 變式題．如圖，在矩形中，是的中點(diǎn)，以為折痕將向上折起，使為，且平面平面．求證：； 解：在中，， 在中，， ∵， ∴． ∵平面平面，且交線為， ∴平面． ∵平面， ∴ ． 【反饋演練】 1．下列命題中錯(cuò)誤的是 （3） 。 （1）若一直線垂直于一平面，則此直線必垂直于這一平面內(nèi)所有直線 （2）若一平面經(jīng)過另一平面的垂線，則兩個(gè)平面互相垂直 （3）若一條直線垂直于平面內(nèi)的一條直線，則此直線垂直于這一平面 （4）若平面內(nèi)的一條直線和這一平面的一條斜線的射影垂直，則它也和這條斜線垂直 2．設(shè)是空間的不同直線或不同平面，且直線不在平面內(nèi)，下列條件中能保證“若 ，且”為真命題的是 ①③④ （填所有正確條件的代號） ①x為直線，y，z為平面 ②x，y，z為平面 ③x，y為直線，z為平面 ④x，y為平面，z為直線 ⑤x，y，z為直線 3．二面角α—a—β的平面角為120°，在面α內(nèi)，AB⊥a于B，AB=2在平面β內(nèi)，CD⊥a 于D，CD=3，BD=1，M是棱a上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AM+CM的最小值為 。 4．已知三棱錐中，頂點(diǎn)在底面的射影是三角形的內(nèi)心，關(guān)于這個(gè)三棱錐有三個(gè)命題：①側(cè)棱；②側(cè)棱兩兩垂直；③各側(cè)面與底面所成的二面角相等。其中錯(cuò)誤的是 ①② 。 5．在三棱錐的四個(gè)面中，直角三角形最多可以有_____4____個(gè)。 6．若的中點(diǎn)到平面的距離為，點(diǎn)到平面的距離為，則點(diǎn)到平面 的距離為_2或14________。 7．三棱錐中，側(cè)棱兩兩垂直，底面內(nèi)一點(diǎn)到三個(gè)側(cè)面的距離分別是，那么__7______。 8．在球面上有四個(gè)點(diǎn)P、A、B、C，如果PA、PB、PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=a， 那么這個(gè)球面的表面積是 . 9．命題A：底面為正三角形，且頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心的三棱錐是正三棱錐。 命題A的等價(jià)命題B可以是：底面為正三角形，且 的三棱錐是正三棱錐。 答案：側(cè)棱相等（或側(cè)棱與底面所成角相等……） 10．α、β是兩個(gè)不同的平面，m、n是平面α及β之外的兩條不同直線.給出四個(gè)論斷： ①m⊥n ②α⊥β ③n⊥β ④m⊥α 以其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題： 。 答案：m⊥α，n⊥β，α⊥βm⊥n或m⊥n，m⊥α，n⊥βα⊥β 11．已知三棱錐P—ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC， D、F分別為AC、PC的中點(diǎn)，DE⊥AP于E． （1）求證：AP⊥平面BDE； （2）求證：平面BDE⊥平面BDF； （3）若AE∶EP=1∶2，求截面BEF分三棱錐P—ABC所成兩部分的體積比． 解: (1）∵PC⊥底面ABC，BD平面ABC，∴PC⊥BD． 由AB=BC，D為AC的中點(diǎn)，得BD⊥AC．又PC∩AC=C，∴BD⊥平面PAC． 又PA平面、PAC，∴BD⊥PA．由已知DE⊥PA，DE∩BD=D，∴AP⊥平面BDE． （2）由BD⊥平面PAC，DE平面PAC，得BD⊥DE．由D、F分別為AC、PC的中點(diǎn)，得DF//AP． 由已知，DE⊥AP，∴DE⊥DF. BD∩DF=D，∴DE⊥平面BDF． 又DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面BDF． （3）設(shè)點(diǎn)E和點(diǎn)A到平面PBC的距離分別為h1和h2．則 h1∶h2=EP∶AP=2∶3, 故截面BEF分三棱錐P—ABC所成兩部分體積的比為1∶2或2∶1 點(diǎn)評：值得注意的是, “截面BEF分三棱錐P—ABC所成兩部分的體積比”并沒有說明先后順序, 因而最終的比值答案一般應(yīng)為兩個(gè),不要犯這種“會(huì)而不全”的錯(cuò)誤. 12．在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB＜CD，SD⊥平面ABCD，AB=AD=a，S D=，在線段SA上取一點(diǎn)E（不含端點(diǎn)）使EC=AC，截面CDE與SB交于點(diǎn)F。 （1）求證：四邊形EFCD為直角梯形； （2）設(shè)SB的中點(diǎn)為M，當(dāng)?shù)闹凳嵌嗌贂r(shí)，能使△DMC 為直角三角形？請給出證明. 解：（1）∵　CD∥AB，AB平面SAB ∴CD∥平面SAB 面EFCD∩面SAB=EF， ∴CD∥EF ∵ 又面 ∴ 平面SAD，∴又 為直角梯形 (2)當(dāng)時(shí)，為直角三角形 . , 平面平面. 在中，為SB中點(diǎn)，. 平面平面 為直角三角形。