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第七章FIRDF有限長(zhǎng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 7 1引言一 IIRDF的特點(diǎn)1 DF的設(shè)計(jì)依托AF的設(shè)計(jì) 有圖表可查 方便簡(jiǎn)單 2 相位的非線性H Z 的頻響 其中 是幅度函數(shù) 是相位函數(shù) 通常 與不是呈線性的 這是IIRfilter 無(wú)限長(zhǎng)響應(yīng)濾波器 的一大缺點(diǎn) 因此限制了它的應(yīng)用 如圖象處理 數(shù)據(jù)傳輸都要求信道具有線性相位特性 3 用全通網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行相位校正 可以得線性特性 二 FIRDF的特點(diǎn)1 單位抽樣響應(yīng)h n 是有限長(zhǎng)的 因此FIRDF一定是穩(wěn)定的 2 經(jīng)延時(shí) h n 總可變成因果序列 所以FIRDF總可以由因果系統(tǒng)實(shí)現(xiàn) 3 h n 為有限長(zhǎng) 可以用FFT實(shí)現(xiàn)FIRDF 4 FIR的系統(tǒng)函數(shù)是Z 1的多項(xiàng)式 故IIR的方法不適用 5 FIR的相位特性可以是線性的 因此 它有更廣泛的應(yīng)用 非線性的FIR一般不作研究 7 2線性相位FIRDF的特點(diǎn)一 線性相位的條件如果FIRDF的單位抽樣響應(yīng)h n 為實(shí)數(shù) 而且滿足偶對(duì)稱h n h N 1 n 或滿足奇對(duì)稱h n h N 1 n 其對(duì)稱中心在處 可證明filter就具有準(zhǔn)確的線性相位 N又分為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況 所以有4種線性相位FIRDF 如下所述 1 N為奇數(shù)的偶對(duì)稱例如N 11 對(duì)稱中心為 2 N為偶數(shù)時(shí)的偶對(duì)稱例如N 10 對(duì)稱中心為 n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 N為奇數(shù)時(shí)的奇對(duì)稱例如 N 11 對(duì)稱中心為 n 5 6 7 8 9 10 4 N為偶數(shù)時(shí)的奇對(duì)稱例如 N 10 對(duì)稱中心為4 5 n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 二 線性相位的特點(diǎn) 為幅度函數(shù) 是一個(gè)純實(shí)數(shù) 是相位函數(shù) 下面分為奇 偶對(duì)稱兩種情況討論 1 h n 為偶對(duì)稱情況 也就是 上式兩邊同時(shí)加H Z 再用2去除得 所以 這時(shí)的幅度函數(shù)和相位函數(shù)如下所示 幅度函數(shù)為相位函數(shù)為 顯然與呈正比 是嚴(yán)格的線性相位 0 2 h n 為奇對(duì)稱的情況當(dāng)h n h N 1 n 時(shí) 可以通過(guò)類似的推導(dǎo) 得到 所以 其幅度函數(shù)和相位函數(shù)分別為 可見(jiàn) 其相位特性是線性相位 而且還產(chǎn)生一個(gè)900相移 這樣就使得通過(guò)filter的所有頻率都相移900 因此稱它為正交變換網(wǎng)絡(luò) 相移900的信號(hào)與原信號(hào)為正交的 0 1 N為奇數(shù) h n 為偶對(duì)稱的情況 三 幅度函數(shù)的特點(diǎn) 可見(jiàn) 對(duì)呈現(xiàn)偶對(duì)稱 2 N為偶數(shù) h n 為偶對(duì)稱的情況 可見(jiàn) 對(duì)呈奇對(duì)稱 3 N為奇數(shù) h n 為奇對(duì)稱的情況 可見(jiàn) 時(shí) 對(duì)呈奇對(duì)稱 4 N為偶數(shù) h n 為奇對(duì)稱的情況 可見(jiàn) 時(shí) 對(duì)呈奇對(duì)稱 而對(duì)呈偶對(duì)稱 這四種線性相位FIRfilter的特性歸納在表7 1中 P341 四 系統(tǒng)函數(shù)H Z 的零點(diǎn)分布情況1 零點(diǎn)的分布原則 所以 如果是零點(diǎn) 則也一定是H Z 的零點(diǎn) h n 為實(shí)數(shù)時(shí) H Z 的零點(diǎn)必成共軛對(duì)出現(xiàn) 即也一定是H Z 的零點(diǎn) 也一定是H Z 的零點(diǎn) 2 零點(diǎn)的位置 1 既不在實(shí)軸上 也不在單位圓上 則零點(diǎn)是互為倒數(shù)的兩組共軛對(duì) 2 不在實(shí)軸上 但在單位圓上 共軛對(duì)的倒數(shù)就是它們本身 如 3 在實(shí)軸上 不在單位圓上 實(shí)數(shù)零點(diǎn) 沒(méi)復(fù)共軛 只有倒數(shù) 例如 0 1 4 既在實(shí)軸上也在單位圓上 此時(shí) 只有一個(gè)零點(diǎn) 且有兩種可能 或位于Z 1 或位于Z 1 N為偶數(shù)時(shí)的偶對(duì)稱為其零點(diǎn) N為偶數(shù)奇對(duì)稱H 0 0 有Z 1零點(diǎn) N為奇數(shù)奇對(duì)稱有零點(diǎn)Z 1 和Z 1 7 3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法一 設(shè)計(jì)方法1 設(shè)計(jì)思想先給定理想filter的頻響 所要求設(shè)計(jì)一個(gè)FIR的filter的頻響為 使逼近2 設(shè)計(jì)過(guò)程設(shè)計(jì)是在時(shí)域進(jìn)行的 先用傅氏反變換求出理想filter的單位抽樣響應(yīng) 然后加時(shí)間窗對(duì)截?cái)?以求得FIRfilter的單位抽樣響應(yīng)h n 例如 低通filter 0 是矩形的 則一定是無(wú)限長(zhǎng)的且是非因果的 二 窗函數(shù)對(duì)頻響的影響1 理想LF的單位抽樣響應(yīng)理想低通filter的頻響為 1 0 0 為群延時(shí) 因?yàn)槠湎辔?所以是偶對(duì)稱 其對(duì)稱中心為 這是因?yàn)闀r(shí) 即為其最大 故為其對(duì)稱中心 又是無(wú)限長(zhǎng)的非因果序列 2 加矩形窗加窗就是實(shí)行乘操作 而矩形窗就是截?cái)鄶?shù)據(jù) 這相當(dāng)于通過(guò)窗口看 稱為窗口函數(shù) 其他n值 因h n 是偶對(duì)稱的 長(zhǎng)度為N 所以其對(duì)稱中心應(yīng)為 所以h n 可寫(xiě)作 h n n為其他值 3 h n 的頻響h n 的頻響可通過(guò)傅式變換求得 為了便于與的頻響相比較 利用卷積定理 1 對(duì)于矩形窗的頻響 其中 為幅度函數(shù) 為相位函數(shù) 2 對(duì)于理想LF的頻響 其中 為幅度函數(shù) 為相位函數(shù) 3 h n 的頻響 其中 為幅度函數(shù) 為相位函數(shù) 4 窗函數(shù)頻響產(chǎn)生的影響從幾個(gè)特殊頻率點(diǎn)的卷積過(guò)程就可看出其影響 1 時(shí) 也就在到全部面積的積分 因此 H 0 H 0 1 用H 0 歸一化 0 0 2 時(shí) 正好與的一半相重疊 這時(shí)有 3 時(shí) 的主瓣全部在的通帶內(nèi) 這時(shí)應(yīng)出現(xiàn)正的肩峰 4 時(shí) 主瓣全部在通帶外 出現(xiàn)負(fù)的肩峰 5 當(dāng)時(shí) 隨增加 左邊旁瓣的起伏部分掃過(guò)通帶 卷積也隨著的旁瓣在通帶內(nèi)的面積變化而變化 故將圍繞著零值而波動(dòng) 6 當(dāng)時(shí) 的右邊旁瓣將進(jìn)入的通帶 右邊旁瓣的起伏造成值圍繞值而波動(dòng) 1 0 0 5 5 幾點(diǎn)結(jié)論 1 加窗后 使頻響產(chǎn)生一過(guò)渡帶 其寬度正好等于窗的頻響的主瓣寬度 2 在處出現(xiàn)肩峰 肩峰兩側(cè)形成起伏振蕩 其振蕩幅度取決于旁瓣的相對(duì)幅度 而振蕩的多少則取決于旁瓣的多少 3 吉布斯 Gibbs 效應(yīng)因?yàn)榇昂瘮?shù)的頻響的幅度函數(shù)為這是一個(gè)很特殊的函數(shù) 分析表明 當(dāng)改變N時(shí)僅能改變的絕對(duì)值的大小 和主瓣的寬度 旁瓣的寬度 但不能改變主瓣與旁瓣的相對(duì)比例 也就是說(shuō) 不會(huì)改變歸一化頻響的肩峰的相對(duì)值 對(duì)于矩形窗最大相對(duì)肩峰為8 95 不管N怎樣改變 最大肩峰總是8 95 這種現(xiàn)象稱作吉布斯效應(yīng) 三 各種窗函數(shù)1 基本概念 1 窗譜 窗函數(shù)的頻響的幅度函數(shù)亦稱作窗譜 2 對(duì)窗函數(shù)要求a 希望窗譜主瓣盡量窄 以獲得較陡的過(guò)渡帶 這是因?yàn)檫^(guò)渡帶等于主瓣寬度 b 盡量減少窗譜最大旁瓣的相對(duì)幅度 這樣可使肩峰和波紋減少 2 矩形窗時(shí)域表達(dá)式 頻域表達(dá)式 頻譜 幅度函數(shù) 3 三角形 Bartlett 窗時(shí)域表達(dá)式 1 01234 頻譜 第一對(duì)零點(diǎn)為 即 所以主瓣寬度 比矩形寬一倍 4 漢寧窗 升余弦窗 其窗譜可利用如下方法求出 將變形為又由于其中又考慮到 這里 所以有 當(dāng)時(shí) 窗譜分析可知 它等于三部分之和 旁瓣較大程度地互相抵消 但主瓣加寬一倍 即為 漢寧窗是時(shí) 特例 5 海明窗 又稱作改進(jìn)升余弦窗其窗函數(shù)為仿照漢寧窗的分析方法可以得其頻響的幅度函數(shù)為其主瓣寬度仍為 旁瓣峰值 主瓣峰值 1 有99 963 的能量集中在主瓣內(nèi) 海明窗是下一類窗的特例 6 布拉克曼窗 又稱二階余弦窗加上余弦的二次諧波分量 可以進(jìn)一步抑制旁瓣相應(yīng)的幅度函數(shù)為其主瓣寬度為 是矩形窗的三倍 7 五種窗函數(shù)的比較 1 時(shí)域窗 布拉克曼 三角 矩形 海明 2 各個(gè)窗的幅度函數(shù) 如P 200 圖6 10 注意圖中是dB表示的 3 理想LF加窗后的幅度函數(shù) 響應(yīng) 如P201 圖6 11所示 四 窗函數(shù)法的設(shè)計(jì)1 設(shè)計(jì)步驟 1 給定頻響函數(shù) 2 求出單位抽樣響應(yīng) 3 根據(jù)過(guò)渡帶寬度和阻帶最小衰減 借助窗函數(shù)基本參數(shù)表 P202表3 確定窗的形式及N的大小 4 最后求及2 設(shè)計(jì)舉例 例 分別利用矩形窗與漢寧窗設(shè)計(jì)具有線性相位的FIR低通濾波器 具體要求 其他 并畫(huà)出相應(yīng)的頻響特性 解 1 由于是一理想LF 所以可以得出 2 確定N由于相位函數(shù) 所以呈偶對(duì)稱 其對(duì)稱中心為 因此 3 加矩形窗 則有 可以求出h n 的數(shù)值 注意偶對(duì)稱 對(duì)稱中心 由于h n 為偶對(duì)稱 N 25為奇數(shù) 所以 例如H 0 0 94789 可以計(jì)算的值 畫(huà)如下圖 4 加漢寧窗由于可以求出序列的各點(diǎn)值 通過(guò)可求出加窗后的h n 相應(yīng)幅度函數(shù)可用下式求得 如H 0 0 98460 圖如下 7 4 凱澤 Kaiser 窗及其濾波器設(shè)計(jì) 上述幾種窗函數(shù) 矩形窗 漢寧窗 海明窗等 為了壓制旁瓣 是以加寬主瓣為代價(jià)的 而且 每一種窗的主瓣和旁瓣之比是固定不變的 而凱澤窗 可以在主瓣寬度與旁瓣衰減之間自由選擇 一 凱澤窗 凱澤在1966 1974 發(fā)現(xiàn) 利用第一類零階修正 變形 貝賽爾函數(shù)可以構(gòu)成一種近似最佳的窗 函數(shù) 凱澤窗定義為 1 定義 其中 為第一類零階修正貝塞爾函數(shù) 是一個(gè)可自由選擇的參數(shù) 2 特點(diǎn) 可同時(shí)調(diào)整主瓣寬度與旁瓣 越大 窗越窄 頻譜旁瓣越小 而主瓣 相應(yīng)增加 相當(dāng)于矩形窗 通常選擇 它們相當(dāng)于旁瓣與主 瓣幅度為 3 1 0 047 凱澤窗隨變化的曲線如下圖 注 第一類零階修正貝塞爾函數(shù)為 由圖可以看出 為對(duì)稱中心 且是偶對(duì)稱 即 3 凱澤經(jīng)驗(yàn)公式 該公式可使filter設(shè)計(jì)人員根據(jù)filter的設(shè)計(jì)指標(biāo) 估算出 值和N值 且 通帶截止頻率 由定 止帶截止頻率 由定 過(guò)渡帶寬度 4 設(shè)計(jì)舉例 利用凱澤窗設(shè)計(jì)一FIR低通filter 要求 解 取38 將N 38 5 653代入表達(dá)式 得 0370 01 0000 02040 02 1361 83362 0300 04150 04 2352 55683 3450 07040 07 8294 654819 960 40820 41 3343 0865 2510 10740 11 4333 51117 4410 15220 15 5323 865610 110 20670 21 6314 167813 100 26790 29 7304 428616 440 33620 34 17205 635048 030 98220 98 9284 851223 830 48730 49 10275 021527 730 56710 57 11265 168231 720 64890 65 12255 293135 330 72250 72 13245 398039 010 79780 80 14235 483841 930 85750 86 15225 551544 670 91350 91 16215 601746 740 95580 96 18195 651548 901 01 00 0 4 8 12 16 18 19 25 29 33 37 21 的圖形如下所示 7 5 頻率取樣設(shè)計(jì)法 一 設(shè)計(jì)思想 窗函數(shù)設(shè)計(jì)法是從時(shí)域出發(fā) 把理想的用一定 形狀的窗函數(shù)截取成有限長(zhǎng)的 以來(lái)近似 從而使頻響近似理想頻響 頻率取樣法是從頻域出發(fā) 對(duì)理想的頻響 進(jìn)行等間隔取樣 以有限個(gè)頻響采樣去近似理想頻響 即 等間隔取樣 并且 二 利用N個(gè)頻域采樣值重構(gòu)FIR的系統(tǒng)函數(shù)與頻響 1 重構(gòu)FIR的的單位抽樣響應(yīng)h n 根據(jù)頻域抽樣理論 p99 由N個(gè)頻域采樣點(diǎn) 可以唯一確定h n 即對(duì)H k 進(jìn)行IDFT 2 重構(gòu)系統(tǒng)函數(shù)H Z 3 FIR的頻響 將代入表達(dá)式可得 其中 為大家所知的內(nèi)插函數(shù) 分析可知 當(dāng)時(shí) 采樣點(diǎn) 有 這說(shuō)明 重構(gòu)的頻響 在采樣上嚴(yán)格等于H k 而在采樣點(diǎn)之間 頻響則由加權(quán)的內(nèi)插函數(shù)延伸疊加而成 三 線性相位的約束條件 以h n 為偶對(duì)稱 N為奇數(shù)的情況進(jìn)行分析 1 FIR的頻響具有線性相位的一般表達(dá)式 當(dāng)h n 為偶對(duì)稱 N為奇數(shù)時(shí) 則 P191 表6 1 而且幅度函數(shù)應(yīng)為偶對(duì)稱 即 2 采樣值H k 具有線性相位的約束 其中 表示采樣值的模 純標(biāo)量 表示 其相角 因此 在采樣點(diǎn)上具有線性相位的條件應(yīng)為 而且 必須滿足偶對(duì)稱 即 四 設(shè)計(jì)步驟 1 根據(jù)指標(biāo)要求 畫(huà)出頻率采樣序列的圖形 2 依據(jù)的對(duì)稱特點(diǎn) 可以使問(wèn)題得以簡(jiǎn)化 3 根據(jù)線性相位的約束條件 求出 4 將代入FIR的頻響表達(dá)式 5 由的表達(dá)式畫(huà)出實(shí)際頻響 四 設(shè)計(jì)舉例 例 試用頻率采樣法 設(shè)計(jì)一個(gè)具有線性相位 的低通FIR數(shù)字filter 其理想頻率特性為 已知 采樣點(diǎn)N 33 由于h n 為偶對(duì)稱 且N 33為奇數(shù) 所以對(duì)于 是偶對(duì)稱 所以上圖可畫(huà)一半 到 截止頻率 即 解 相位約束條件 而為 將代入FIR的頻響 得 考慮到時(shí) 所以將負(fù)頻部分加進(jìn)去 有 的圖形如下所示 0 放映結(jié)束