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第七章FIR數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計(jì) 宜春學(xué)院理工學(xué)院 內(nèi)容提要 7 1線性相移FIR數(shù)字濾波器的特性7 2窗口法7 3頻率取樣法7 4FIR數(shù)字濾波器的優(yōu)化設(shè)計(jì)7 5IIR數(shù)字濾波器與FIR數(shù)字濾波器的比較習(xí)題及作業(yè) 學(xué)習(xí)目標(biāo) 掌握線性相位FIR數(shù)字濾波器的特點(diǎn)掌握窗函數(shù)設(shè)計(jì)法理解頻率抽樣設(shè)計(jì)法了解設(shè)計(jì)FIR濾波器的最優(yōu)化方法理解IIR與FIR數(shù)字濾波器的比較 7 1FIR數(shù)字濾波器的差分方程 沖激響應(yīng) 系統(tǒng)函數(shù)及其零極點(diǎn)FIR數(shù)字濾波器是非遞歸的線性時(shí)不變因果系統(tǒng) 其差分方程為 系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為 可見這個(gè)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)是有限長度的 即有限沖激響應(yīng) FIR 濾波器 上式兩邊進(jìn)行Z變換后 可得FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù) 可見 FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)都位于z 0處 為N 1階極點(diǎn) 與系數(shù)h n 無關(guān) 因此FIR濾波器總是穩(wěn)定的 而N 1個(gè)零點(diǎn)由沖激響應(yīng)h n 決定 可以位于有限z平面的任何位置 兩種濾波器的比較一 IIRDF的特點(diǎn)1 DF的設(shè)計(jì)依托AF的設(shè)計(jì) 有圖表可查 方便簡單 2 相位的非線性H Z 的頻響 其中 是幅度函數(shù) 是相位函數(shù) 通常 與不是呈線性的 這是IIRfilter 無限長響應(yīng)濾波器 的一大缺點(diǎn) 因此限制了它的應(yīng)用 如圖象處理 數(shù)據(jù)傳輸都要求信道具有線性相位特性 3 用全通網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行相位校正 可以得線性特性 二 FIRDF的特點(diǎn)1 單位抽樣響應(yīng)h n 是有限長的 因此FIRDF一定是穩(wěn)定的 2 經(jīng)延時(shí) h n 總可變成因果序列 所以FIRDF總可以由因果系統(tǒng)實(shí)現(xiàn) 3 h n 為有限長 可以用FFT實(shí)現(xiàn)FIRDF 4 FIR的系統(tǒng)函數(shù)是Z 1的多項(xiàng)式 故IIR的方法不適用 5 FIR的相位特性可以是線性的 因此 它有更廣泛的應(yīng)用 非線性的FIR一般不作研究 FIR與IIR數(shù)字濾波器比較 優(yōu)點(diǎn) 1 很容易獲得嚴(yán)格的線性相位 避免被處理的信號產(chǎn)生相位失真 這一特點(diǎn)在寬頻帶信號處理 陣列信號處理 數(shù)據(jù)傳輸?shù)认到y(tǒng)中非常重要 2 可得到多帶幅頻特性 3 極點(diǎn)全部在原點(diǎn) 永遠(yuǎn)穩(wěn)定 無穩(wěn)定性問題 4 任何一個(gè)非因果的有限長序列 總可以通過一定的延時(shí) 轉(zhuǎn)變?yōu)橐蚬蛄?所以因果性總是滿足 5 無反饋運(yùn)算 運(yùn)算誤差小 缺點(diǎn) 1 因?yàn)闊o極點(diǎn) 要獲得好的過渡帶特性 需以較高的階數(shù)為代價(jià) 2 無法利用模擬濾波器的設(shè)計(jì)結(jié)果 一般無解析設(shè)計(jì)公式 要借助計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)程序完成 7 2 1線性相移FIR數(shù)字濾波器條件 所謂線性相移濾波器 也就是指其相移特性或頻率響應(yīng)的幅角是頻率的線性函數(shù) FIR數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)為 1 恒時(shí)延濾波相延時(shí)群延時(shí)所謂恒延時(shí)濾波就是要求相延時(shí)與群延時(shí)都是不隨頻率變化的常量 其中有 所謂時(shí)延是指信號通過傳輸通道所需要的傳輸時(shí)間 它是濾波器平均延遲的一個(gè)度量 它是濾波器某一頻率延遲的一個(gè)度量 7 2線性相移FIR數(shù)字濾波器 2 要求恒相延時(shí)與恒群延時(shí)同時(shí)成立 如圖7 1 的圖像是一條經(jīng)過原點(diǎn)的直線 式中H 是正或負(fù)的實(shí)函數(shù) 等式中間和等式右邊的實(shí)部與虛部應(yīng)當(dāng)各自相等 同樣實(shí)部與虛部的比值應(yīng)當(dāng)相等 由上式交叉相乘后利用三角函數(shù)恒等公式得 滿足上式的條件是 上述條件下 就有 即 為一常數(shù) 恒相延時(shí)與恒群延時(shí)同時(shí)成立 如上所述 沖激相應(yīng)h n 關(guān)于中心點(diǎn)偶對稱 由圖7 2可見無論N是偶數(shù)還是奇數(shù) 對稱中心都位于 N 1 2 只是當(dāng)N為偶數(shù)時(shí) N 1 2不是整數(shù) 圖7 2h n 為偶對稱的情形 3只要求恒群延時(shí)成立 相移特性為一條不經(jīng)過原點(diǎn)的直線 如下圖可見沖激響應(yīng)關(guān)于中心點(diǎn)奇對稱 無論N為奇數(shù)還是偶數(shù) 對稱中心都位于 N 1 2 當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)有 圖7 4h n 為奇對稱的情形 總之 線性相移FIR濾波器的必要條件是其沖激響應(yīng)為偶對稱或奇對稱 7 1 2線性相移FIR濾波器的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 1 偶對稱的情形 偶對稱時(shí) a N為偶數(shù)時(shí) 利用對稱性可作如下化簡 b N為奇數(shù)時(shí) 利用對稱性可作如下化簡 可見 以其偶對稱性作這樣的簡化可以使FIR濾波器比一般的直接型結(jié)構(gòu)的乘法器減少一半 2 奇對稱的情形 奇對稱時(shí) a 當(dāng)N為偶數(shù)時(shí) b 當(dāng)N為奇數(shù)時(shí) 可見 以其奇對稱性作這樣的簡化可以使FIR濾波器比一般的直接型結(jié)構(gòu)的乘法器減少近一半 7 2 3線性相移FIR濾波器的頻率響應(yīng) 1 偶對稱 N為奇數(shù) 則其頻率響應(yīng)為 則 圖7 5偶對稱 N為奇數(shù) 該類濾波器適合于設(shè)計(jì)任何關(guān)于為偶對稱特性頻率的濾波器 特點(diǎn) 對皆為偶對稱 所以幅度函數(shù)對也是偶對稱 2 偶對稱 N為偶數(shù) 其頻率響應(yīng)為 圖7 6偶對稱 N為偶數(shù) 3 奇對稱 N為奇數(shù) 推導(dǎo)方法與前面類似 可得 其幅頻特性為 圖7 7奇對稱 N為奇數(shù) 4 奇對稱 N為偶數(shù) 推導(dǎo)方法與前面類似 可得 其幅頻特性為 圖7 8奇對稱 N為偶數(shù) 這種情況不適合做在處為偶對稱的濾波器 如低通濾波器 特點(diǎn) 當(dāng)時(shí) 相當(dāng)于在z 1處有一個(gè)零點(diǎn) 并且由于對呈奇對稱 對呈偶對稱 因而也對呈奇對稱 對呈偶對稱 以上四種情況可以用統(tǒng)一的形式 即 其中 的實(shí)函數(shù) 相移由 決定 而 的線性函數(shù) 當(dāng)h n 為偶對稱時(shí) 當(dāng)h n 為奇對稱時(shí) 圖7 94種類型的線性相位濾波器的相位響應(yīng) 時(shí)域幅度響應(yīng)和頻域幅度響應(yīng)的示意圖 總結(jié) 第一種情況 偶 奇 四種濾波器都可設(shè)計(jì) 第二種情況 偶 偶 可設(shè)計(jì)低 帶通濾波器 不能設(shè)計(jì)高通和帶阻 第三種情況 奇 奇 只能設(shè)計(jì)帶通濾波器 其它濾波器都不能設(shè)計(jì) 第四種情況 奇 偶 可設(shè)計(jì)高通 帶通濾波器 不能設(shè)計(jì)低通和帶阻四種FIR數(shù)字濾波器的相位特性只取決于h n 的對稱性 而與h n 的值無關(guān) 幅度特性取決于h n 設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器時(shí) 在保證h n 對稱的條件下 只要完成幅度特性的逼近即可 例1N 5 h 0 h 1 h 3 h 4 1 2 h 2 2 求幅度函數(shù)H 解 a 0 h 2 2 a 1 2h 3 1 a 2 2h 4 1 H 2 cos cos2 2 cos cos2 分析 為奇數(shù) 并且h n 滿足偶對稱關(guān)系 7 2 4線性相移FIR數(shù)字濾波器的零 極點(diǎn)分布 線性相移FIR濾波器有 即 當(dāng)為實(shí)數(shù)時(shí) 為實(shí)系數(shù)的多項(xiàng)式 此時(shí)應(yīng)是共軛成對的 則也是零點(diǎn) 所以線性相位濾波器的零點(diǎn)必須是互為倒數(shù)的共軛對 這種共軛對共有四種 1 既不在單位圓上 也不在實(shí)軸上 有四個(gè)互為倒數(shù)的兩組共軛對 如圖zi z i 1 zi 1 z i 2 在單位圓上 但不在實(shí)軸上 因倒數(shù)就是自己的共軛 所以有一對共軛零點(diǎn) zi z i 圖7 10 a 零點(diǎn)分布 3 不在單位圓上 但在實(shí)軸上 是實(shí)數(shù) 共軛就是自己 所以有一對互為倒數(shù)的零點(diǎn) zi 1 zi 線性相位濾波器是FIR濾波器中最重要的一種 應(yīng)用最廣 實(shí)際使用時(shí)應(yīng)根據(jù)需用選擇其合適類型 并在設(shè)計(jì)時(shí)遵循其約束條件 圖7 10 b 零點(diǎn)分布 7 3FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 窗口法 7 3 0引言設(shè)計(jì)思路 1 先給定所要求設(shè)計(jì)的理想濾波器的頻率響應(yīng)Hd ejw 2 設(shè)計(jì)一個(gè)可實(shí)現(xiàn)的FIR濾波器頻率響應(yīng)H ejw 3 由于設(shè)計(jì)是在時(shí)域中進(jìn)行 使所設(shè)計(jì)濾波器的h n 去逼近理想單位取樣響應(yīng)hd n 如果希望得到的濾波器的理想頻率響應(yīng)為 那么FIR濾波器的設(shè)計(jì)就在于尋找一個(gè)傳遞函數(shù)去逼近 逼近方法有三種 窗口設(shè)計(jì)法 時(shí)域逼近 頻率采樣法 頻域逼近 最優(yōu)化設(shè)計(jì) 等波紋逼近 時(shí)間窗口設(shè)計(jì)法是從單位脈沖響應(yīng)序列著手 使h n 逼近理想的單位脈沖響應(yīng)序列hd n 我們知道hd n 可以從理想頻響通過付氏反變換獲得 但一般來說 理想頻響是矩形頻率特性 所以 這樣得到的理想單位脈沖響應(yīng)hd n 往往都是無限長序列 而且是非因果的 但FIR的h n 是有限長的 問題是怎樣用一個(gè)有限長的序列去近似無限長的hd n 最簡單的辦法是直接截取一段hd n 代替h n 這種截取等效于在hd n 上施加了一個(gè)長度為N的矩形窗 h n 是通過一個(gè) 窗口 所看到的一段 因此 h n 也可表達(dá)為h n 和一個(gè) 窗函數(shù) 的乘積 即h n w n hd n 這一方法通常稱為窗口設(shè)計(jì)法 設(shè)計(jì)步驟 1 由定義 3 卷積 插值 7 3 1窗口法的基本思想 1 設(shè)計(jì)思想在時(shí)域 設(shè)計(jì)逼近理想 下面以理想低通濾波器為例說明其設(shè)計(jì)過程 為一 以為對稱中心的 偶對稱的 無限長的 非因果序列 圖7 11理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)及矩形窗截取 要得到有限長的 最簡單的方法是用一長為的矩形窗截?cái)?按照線性相位濾波器的要求 必須偶對稱 如上圖 對稱中心必須等于濾波器的延時(shí)常數(shù) FIR濾波器的沖擊響應(yīng)h n 的頻響H ejw 一定與理想的頻響Hd ejw 存在差異 圖7 12理想低通濾波器的頻率響應(yīng) 7 3 2理論分析 可見 WR ejw 是w的偶函數(shù) 7 13矩形窗的頻譜 7 14矩形窗的卷積過程 正肩峰 負(fù)肩峰 圖7 15由 wc到wc區(qū)間曲線WR ej w q 下面積隨w取值變化演示 圖7 16加矩形窗后的頻響與理想頻響的比較 對加矩形窗處理后其頻率響應(yīng)將產(chǎn)生以下幾點(diǎn)影響 1 當(dāng)w 0時(shí) 主瓣位于積分區(qū)間內(nèi) 隨著w的移動不同大小的正 負(fù)旁瓣移出或移入積分區(qū)間 使得H ejw 的大小產(chǎn)生波動 主瓣附近窗的頻率響應(yīng)為 隨著N的加大 振蕩變密 主瓣變窄 主瓣與旁瓣的幅度亦有所加大 但主瓣與旁瓣的相對比例不變 吉布斯現(xiàn)象 個(gè)負(fù)值卻還在此區(qū)間內(nèi) 使得H ejw 取值最小值 0 0895H ej0 稱為下臂峰 5 w p時(shí) H ejw 隨著區(qū)間內(nèi)旁瓣的移動而在阻帶內(nèi)波動 另外 圖7 16表示了0到p范圍內(nèi)H ejw 變化的情況 0到 p的圖形變化與此對稱 如圖7 17 且以2p為周期 途中假定H ej0 1 在 為過渡帶 3 當(dāng)w wc時(shí) 即主瓣中心移到了wc處 此時(shí) 7 17 由圖可見 加矩形框后得到的濾波器的頻響與理想頻響之間存在差異 表現(xiàn)出肩峰 過渡帶及在通帶和阻帶內(nèi)的波動 只有肩峰和波動盡可能小 而且過渡帶盡可能窄 才能更接近理想特性 綜上 窗口法設(shè)計(jì)FIR濾波器 h n 長度N增大可使過度帶變窄 而所選窗函數(shù)不僅影響過渡帶的寬度 還能影響肩峰和波動的大小 光束 7 3 3幾種常用窗函數(shù) 2 三角形窗 BartlettWindow 其頻率響應(yīng)為 主瓣寬度為 1 矩形窗 其頻率響應(yīng)和幅度響應(yīng)分別為 是三項(xiàng)矩形窗的幅度響應(yīng)的移位加權(quán)和 它使旁瓣相互抵消 能量更集中在主瓣 但主瓣寬度比矩形窗的主瓣加寬了一倍 為 3 漢寧 Hanning 窗 又稱升余弦窗 下圖為N 31時(shí) 矩形窗 三角窗 漢寧窗 漢明窗及布萊克曼這5種窗口函數(shù)的包絡(luò)曲線 下圖為N 51時(shí)矩形窗 漢寧窗 漢明窗及布萊克曼4種窗口函數(shù)的幅度響應(yīng) 下圖為N 5時(shí)用矩形窗 漢寧窗 漢明窗及布萊克曼設(shè)計(jì)的低通濾波器的幅度響應(yīng) 5 凱塞 Kaiser 窗 是一個(gè)可選參數(shù) 用來選擇主瓣寬度和旁瓣衰減之間的交換關(guān)系 一般說來 越大 過渡帶越寬 阻帶越小衰減也越大 I0 是第一類修正零階貝塞爾函數(shù) 一般取15 25項(xiàng)就可滿足精度要求 若阻帶最小衰減表示為As 20lg s 的確定可采用以下經(jīng)驗(yàn)公式 凱澤窗 各種窗函數(shù)的主要性能 7 3 4 窗函數(shù)法的設(shè)計(jì)1 設(shè)計(jì)步驟 1 給定頻響函數(shù) 2 求出單位抽樣響應(yīng) 3 根據(jù)過渡帶寬度和阻帶最小衰減 借助窗函數(shù)基本參數(shù)表 P202表3 確定窗的形式及N的大小 4 最后求及2 設(shè)計(jì)舉例 例 分別利用矩形窗與漢寧窗設(shè)計(jì)具有線性相位的FIR低通濾波器 具體要求 其他 并畫出相應(yīng)的頻響特性 解 1 由于是一理想LF 所以可以得出 2 確定N由于相位函數(shù) 所以呈偶對稱 其對稱中心為 因此 3 加矩形窗 則有 可以求出h n 的數(shù)值 注意偶對稱 對稱中心 由于h n 為偶對稱 N 25為奇數(shù) 所以 例如H 0 0 94789 可以計(jì)算的值 畫如下圖 4 加漢寧窗由于可以求出序列的各點(diǎn)值 通過可求出加窗后的h n 相應(yīng)幅度函數(shù)可用下式求得 如H 0 0 98460 圖如下 2 求hd n 4 確定N值 3 選擇窗函數(shù) 由確定海明窗 53dB 5 確定FIR濾波器的h n 6 求 驗(yàn)證 若不滿足 則改變N或窗形狀重新設(shè)計(jì) 5 線性相位FIR高通濾波器的設(shè)計(jì) 其單位抽樣響應(yīng) 理想高通的頻響 6 線性相位FIR帶通濾波器的設(shè)計(jì) 其單位抽樣響應(yīng) 理想帶通的頻響 7 線性相位FIR帶阻濾波器的設(shè)計(jì) 其單位抽樣響應(yīng) 理想帶阻的頻響 4 設(shè)計(jì)舉例 利用凱澤窗設(shè)計(jì)一FIR低通filter 要求 解 經(jīng)驗(yàn)公式 取38 將N 38 5 653代入表達(dá)式 得 0370 01 0000 02040 02 1361 83362 0300 04150 04 2352 55683 3450 07040 07 8294 654819 960 40820 41 3343 0865 2510 10740 11 4333 51117 4410 15220 15 5323 865610 110 20670 21 6314 167813 100 26790 29 7304 428616 440 33620 34 9284 851223 830 48730 49 0 4 8 12 16 18 19 25 29 33 37 21 的圖形如右所示 7 4 頻率抽樣法 一 設(shè)計(jì)思想 窗函數(shù)設(shè)計(jì)法是從時(shí)域出發(fā) 把理想的用一定 形狀的窗函數(shù)截取成有限長的 以來近似 從而使頻響近似理想頻響 頻率取樣法是從頻域出發(fā) 對理想的頻響 進(jìn)行等間隔取樣 以有限個(gè)頻響采樣去近似理想頻響 即 等間隔取樣 并且 二 利用N個(gè)頻域采樣值重構(gòu)FIR的系統(tǒng)函數(shù)與頻響 1 重構(gòu)FIR的的單位抽樣響應(yīng)h n 根據(jù)頻域抽樣理論 由N個(gè)頻域采樣點(diǎn) 可以唯一確定h n 即對H k 進(jìn)行IDFT 2 重構(gòu)系統(tǒng)函數(shù)H Z 3 FIR的頻響 將代入表達(dá)式可得 其中 為大家所知的內(nèi)插函數(shù) 分析可知 當(dāng)時(shí) 采樣點(diǎn) 有 這說明 重構(gòu)的頻響 在采樣上嚴(yán)格等于H k 而在采樣點(diǎn)之間 頻響則由加權(quán)的內(nèi)插函數(shù)延伸疊加而成 三 線性相位的約束條件 以h n 為偶對稱 N為奇數(shù)的情況進(jìn)行分析 1 FIR的頻響具有線性相位的一般表達(dá)式 當(dāng)h n 為偶對稱 N為奇數(shù)時(shí) 則 而且幅度函數(shù)應(yīng)為偶對稱 即 2 采樣值H k 具有線性相位的約束 其中 表示采樣值的模 純標(biāo)量 表示 其相角 因此 在采樣點(diǎn)上具有線性相位的條件應(yīng)為 而且 必須滿足偶對稱 即 四 設(shè)計(jì)步驟 1 根據(jù)指標(biāo)要求 畫出頻率采樣序列的圖形 2 依據(jù)的對稱特點(diǎn) 可以使問題得以簡化 3 根據(jù)線性相位的約束條件 求出 4 將代入FIR的頻響表達(dá)式 5 由的表達(dá)式畫出實(shí)際頻響 四 設(shè)計(jì)舉例 例 試用頻率采樣法 設(shè)計(jì)一個(gè)具有線性相位 的低通FIR數(shù)字filter 其理想頻率特性為 已知 采樣點(diǎn)N 33 由于h n 為偶對稱 且N 33為奇數(shù) 所以對于 是偶對稱 所以上圖可畫一半 到 截止頻率 即 解 相位約束條件 而為 將代入FIR的頻響 得 考慮到時(shí) 所以將負(fù)頻部分加進(jìn)去 有 的圖形如下所示 0 五 IIR和FIR數(shù)字濾波器的比較 IIR濾波器 FIR濾波器 h n 無限長 h n 有限長 極點(diǎn)位于z平面任意位置 濾波器階次低 非線性相位 遞歸結(jié)構(gòu) 不能用FFT計(jì)算 可用模擬濾波器設(shè)計(jì) 用于設(shè)計(jì)規(guī)格化的選頻濾波器 極點(diǎn)固定在原點(diǎn) 濾波器階次高得多 可嚴(yán)格的線性相位 一般采用非遞歸結(jié)構(gòu) 可用FFT計(jì)算 設(shè)計(jì)借助于計(jì)算機(jī) 可設(shè)計(jì)各種幅頻特性和相頻特性的濾波器