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第7章FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 線性相位FIR濾波器的性質(zhì)窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器頻率取樣法設(shè)計(jì)線性相位FIR濾波器線性相位FIR濾波器的優(yōu)化設(shè)計(jì) 線性相位FIR濾波器的性質(zhì) 線性相位系統(tǒng)的時(shí)域特性線性相位系統(tǒng)的頻域特性線性相位系統(tǒng)H z 的零點(diǎn)分布特性 FIR濾波器的定義 M階 長(zhǎng)度N M 1 的FIR數(shù)字濾波器 FIR濾波器的特點(diǎn) 1 h k 在有限范圍內(nèi)非零 系統(tǒng)總是穩(wěn)定的 2 容易設(shè)計(jì)成線性相位 3 可利用FFT實(shí)現(xiàn) 4 運(yùn)算量比IIR大 FIR濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo) 嚴(yán)格線性相位定義 例 單頻信號(hào)exp jW0k 通過線性相位 LTI 系統(tǒng)的響應(yīng) 若f W aW 則稱系統(tǒng)H z 是嚴(yán)格線性相位的 廣義線性相位定義 A W 稱為幅度頻函數(shù) 線性相位系統(tǒng)的時(shí)域特性 M 4偶對(duì)稱 M 3偶對(duì)稱 M 4奇對(duì)稱 M 3奇對(duì)稱 定理 為線性相位的充要條件為h k h M k 線性相位系統(tǒng)的頻域特性 1 1型 h k h M k M為偶數(shù) 例 M 4 h k h 0 h 1 h 2 h 1 h 0 A W 關(guān)于0和p點(diǎn)偶對(duì)稱 例 h k 1 2 1 M 2 2 II型 h k h M k M為奇數(shù) M 3h k h 0 h 1 h 1 h 0 cos 0 5W 的周期 4p cos 1 5W 的周期 4 3 p A W 的周期 4p A p 0 不能用于高通 帶阻濾波器的設(shè)計(jì) H W 關(guān)于W p點(diǎn)奇對(duì)稱 例 h k d k d k 1 2 3 III型 h k h M k M為偶數(shù) M 4h k h 0 h 1 0 h 1 h 0 A W 關(guān)于0和p點(diǎn)奇數(shù)對(duì)稱 A 0 A p 0 不能用于高通和低通濾波器的設(shè)計(jì) 例 h k d k d k 2 2 4 IV型 h k h M k M為奇數(shù) M 3h k h 0 h 1 h 1 h 0 A 0 0 不能用于低通濾波器的設(shè)計(jì) 例 h k d k d k 1 2 線性相位FIR濾波器頻率響應(yīng)一般形式可寫為 線性相位系統(tǒng)H z 的零點(diǎn)分布特性 z 0不可能有系統(tǒng)的零點(diǎn) zk是系統(tǒng)的零點(diǎn) 則zk 1也是系統(tǒng)的零點(diǎn) h k 是實(shí)的 1 2 3 4 任意線性相位系統(tǒng)是上述四種子系統(tǒng)的組合 h k 奇對(duì)稱時(shí) H z 在z 1處一定有奇數(shù)階零點(diǎn) 四種不同類型的線性相位系統(tǒng)在zk 1的零點(diǎn) 1 I型FIR濾波器 M為偶 在zk 1和zk 1無零點(diǎn)或者有偶數(shù)個(gè)零點(diǎn) 2 II型FIR濾波器 M為奇 在zk 1有奇數(shù)個(gè)零點(diǎn) 在zk 1無零點(diǎn)或者有偶數(shù)個(gè)零點(diǎn) 3 III型FIR濾波器 M為偶 在zk 1和zk 1有奇數(shù)個(gè)零點(diǎn) 4 IV型FIR濾波器 M為奇 在zk 1有奇數(shù)個(gè)零點(diǎn) 在zk 1無零點(diǎn)或者有偶數(shù)個(gè)零點(diǎn) 最小積分平方誤差設(shè)計(jì)FIR濾波器吉伯斯 Gibbs 現(xiàn)象常用窗函數(shù) 窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器 問題 已知Hd ejW 設(shè)計(jì)使其頻率響應(yīng)逼近Hd ejW hd k 一般情況下是無窮序列 需對(duì)其進(jìn)行截?cái)?設(shè)M 2K w k RN 1 k h k hd k K RN 1 k 方案1 設(shè)Hd ejW 是實(shí)偶函數(shù) 則hd k 是實(shí)偶對(duì)稱的 h M k hd M k M 2 RN 1 k hd k N 2 RN 1 k h k hd k M RN 1 k 最小積分平方誤差設(shè)計(jì)FIR濾波器 例 設(shè)計(jì)一個(gè)線性相位的FIR濾波器 其頻率響應(yīng)能逼近截頻為Wc的理想低通 解 設(shè) 方案2 設(shè)Hd ejW 為Hd ejW Ad W exp j 0 5MW b I型和II b 0 III型和IV b p 2 h k hd k RN 1 k 例 設(shè)計(jì)一個(gè)線性相位的FIR濾波器 其頻率響應(yīng)能逼近截頻為Wc的理想低通 解 設(shè) 例 理想數(shù)字微分器的頻率響應(yīng)為HDIF ejW jW W p試用窗口法設(shè)計(jì)一線性相位FIR濾波器 使其幅度響應(yīng)逼近理想數(shù)字微分器 解 設(shè)理想微分器的頻率響應(yīng)為HDIF ejW Wej 0 5p 0 5MW W p A W p p 0 W p p A W W 0 M 10 M 9 積分平方誤差定義為 由Parseval等式 e2可表示為 可選擇h k hd k 0 k M使積分平方誤差最小 吉伯斯 Gibbs 現(xiàn)象 M 14 M 60 矩形窗對(duì)H ejW 的影響 矩形窗的幅度函數(shù)為 W N p 主瓣 旁瓣 矩形窗的幅度函數(shù) 將理想濾波器的頻率響應(yīng)表示為 則可得FIR濾波器的頻率響應(yīng)為 所以FIR濾波器的幅度函數(shù)為 W p q p W p q p q d A q p W p 由矩形窗截?cái)喈a(chǎn)生的波峰大約是9 所以阻帶最小衰減為20log10 9 21dB 用矩形窗設(shè)計(jì)的Wc p 2FIR濾波器的幅度響應(yīng) 0 0 25 0 5 0 75 1 40 30 21 10 0 M 14 M 30 Gaindb 常用窗函數(shù) 矩形窗 Ap 0 82dB As 21dB Hann 漢納 窗 w hanning M 1 Ap 0 056dB As 44dB 由Hanning窗設(shè)計(jì)的Wc p 2FIR濾波器的頻響特性 M 38 0 0 25 0 5 0 75 1 80 60 44 20 0 Square Hanning GaindB 0 0 25 0 5 0 75 1 80 60 52 20 0 Square Hamming Hamming 哈明 窗 w hamming M 1 Gaindb Blackman窗 w blackman M 1 Kaiser窗 w kaiser M 1 beta b是一可調(diào)參數(shù) I0 b themodifiedzeroth orderBesselfunction I0 b 可用冪級(jí)數(shù)表示為 一般求20項(xiàng)就能達(dá)到所需精度 用Kaiser窗設(shè)計(jì)FIR濾波器的步驟 1 估計(jì)濾波器的階數(shù)MA 20log10 min dp ds 2 估計(jì)b 1 估計(jì)濾波器的階數(shù)M 2 估計(jì)bb 0 1102 As b 3 設(shè)定理想低通的截頻 4 h k hd k w k 例 用Kaiser窗設(shè)計(jì)一滿足下列指標(biāo)的I型線性相位FIR低通濾波器 Wp 0 2p Ws 0 4p Ap 0 3dB As 50dB M 30Ap 0 0105dBAs 50 7524dB 例 用Hamming窗設(shè)計(jì)一個(gè)逼近截頻為Wc的線性相位FIR高通濾波器 選I型FIR M為偶 k 0 5M k 0 5M 選IV型FIR M為奇 用Hamming窗設(shè)計(jì)的Wc 0 6pFIR濾波器HP的幅度響應(yīng)I型N 50IV型N 51 0 0 4 0 6 0 8 1 110 80 53 0 GainresponseofhighpassFIRfilter Normalizedfrequency Gain dB typeI typeIV 窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器 窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器 問題提出基本思路I型線性相位系統(tǒng)II型線性相位系統(tǒng)III型線性相位系統(tǒng)VI型線性相位系統(tǒng) 頻率取樣法 問題 已知Hd ejW 在M 1點(diǎn)上的抽樣值 Hd ejWm m 0 1 M 設(shè)計(jì) h k k 0 1 M 使設(shè)計(jì)出的濾波器H z 滿足Hd ejWm H ejWm 基本思路 Hd ejWm m 0 1 M 已確定 則可通過求解方程 h k 的附加約束 系數(shù)是實(shí)的 滿足線性相位條件 I型取樣 Wm 2pm M 1 m 0 1 M 線性相位FIR濾波器頻率響應(yīng)一般形式為 I型線性相位系統(tǒng) M為偶數(shù) h k 偶對(duì)稱 I型線性相位濾波器的幅度函數(shù)滿足 Ad W Ad 2p W Hd ejW 在M 1個(gè)取樣點(diǎn)上值Hd m 為 若設(shè)M 4 則有 對(duì)Hd m 做5點(diǎn)IDFT可得 I型線性相位濾波器在M 1個(gè)取樣點(diǎn)值為 例 用頻率取樣法設(shè)計(jì)一個(gè)滿足下列指標(biāo)的I型線性相位高通濾波器 Ws 0 5p Wp 0 6p 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0 2 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 1 2 A W 頻率取樣法設(shè)計(jì)的高通濾波器幅度函數(shù) W p 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0 2 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 1 2 A W 增加一個(gè)過渡點(diǎn)后頻率取樣法設(shè)計(jì)的高通濾波器幅度函數(shù) W p II型線性相位系統(tǒng) M為奇數(shù) h k 偶對(duì)稱 幅度函數(shù)滿足 Ad W Ad 2p W Ad p 0 若M 5 則Hd ejW 在6個(gè)取樣點(diǎn)上值Hd m 為 II型線性相位濾波器在M 1個(gè)取樣點(diǎn)值為 例 M 63 II型 Wp 0 5p Ws 0 6pFIR低通濾波器 G W dB 頻率取樣法設(shè)計(jì)的低通濾波器增益響應(yīng) W p G W dB 增加一個(gè)過渡點(diǎn)后頻率取樣法設(shè)計(jì)的低通濾波器增益響應(yīng) W p IV型線性相位濾波器在M 1個(gè)取樣點(diǎn)值為 例 用頻率取樣法設(shè)計(jì)一個(gè)線性相位數(shù)字微分器 解 HDIF ejW jW W p 0 m M 1 2范圍內(nèi)Hd m 值為 IV型線性相位系統(tǒng) 0 m M 1 2范圍內(nèi)Hd m 值為 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0 1 2 3 4 W p A W 頻率取樣設(shè)計(jì)的數(shù)字微分器的幅度函數(shù)