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第四類　概率問題重在“辨”——辨析、辨型 概率與統計問題的求解關鍵是辨別它的概率模型，只要模型一找到，問題便迎刃而解.而概率與統計模型的提取往往需要經過觀察、分析、歸納、判斷等復雜的辨析思維過程，同時，還需清楚概率模型中等可能事件、互斥事件、對立事件等事件間的關系，注意放回和不放回試驗的區(qū)別，合理劃分復雜事件. 【例4】 (2016全國Ⅱ卷)某險種的基本保費為a(單位：元)，繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數的關聯如下： 上年度出險次數 0 1 2 3 4 ≥5 保費 0.85a a 1.25a 1.5a 1. 75a 2a 設該險種一續(xù)保人一年內出險次數與相應概率如下： 一年內出險次數 0 1 2 3 4 ≥5 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 (1)求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率； (2)若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出60%的概率. (3)求續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值. 解　(1)設A表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費”，則事件A發(fā)生當且僅當一年內出險次數大于1， (辨析1) 故P(A)＝0.20＋0.20＋0.10＋0.05＝0.55. (辨型1) (2)設B表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費比基本保費高出60%”，則事件B發(fā)生當且僅當一年內出險次數大于3， (辨析2) 故P(B)＝0.10＋0.05＝0.15. 又P(AB)＝P(B)， 故P(B|A)＝＝＝＝. (辨型2) 因此所求概率為. (3)記續(xù)保人本年度的保費為X，則X的分布列為 X 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a P 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 (辨型3) E(X)＝0.85a0.30＋a0.15＋1.25a0.20＋1.5a0.20＋1.75a0.10＋2a0.05＝1.23a. 因此續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值為1.23. 探究提高　1.辨析(1)：判斷事件A發(fā)生，在一年內出險次數為2，3，4或≥5. 辨型(1)：該問題為求隨機事件的概率，利用互斥事件的概率加法公式求解. 辨析(2)：判斷事件B發(fā)生，在一年內出險次數為4或≥5. 辨型(2)：該問題為條件概率，可利用公式求解. 2.求解此類問題的關鍵： (1)會判斷，先判斷事件的類型，再利用對立事件的概率公式、條件概率的公式等求解概率； (2)會計算，要求隨機變量X的期望，需先求出X的所有可能取值，然后求出隨機變量X取每個值時的概率，再利用隨機變量的數學期望的定義進行計算. 【訓練4】 共享單車是指由企業(yè)在校園、公交站點、商業(yè)區(qū)、公共服務區(qū)等場所提供的自行車單車共享服務，由于其依托“互聯網＋”，符合“低碳出行”的理念，已越來越多地引起了人們的關注.某部門為了對該城市共享單車加強監(jiān)管，隨機選取了50人就該城市共享單車的推行情況進行問卷調查，并將問卷中的這50人根據其滿意度評分值(百分制)按照[50，60)，[60，70)，…，[90，100]分成5組，請根據下面尚未完成并有局部污損的頻率分布表和頻率分布直方圖(如圖所示)的解決下列問題： 頻率分布表 組別 分組 頻數 頻率 第1組 [50，60) 8 0.16 第2組 [60，70) a ■ 第3組 [70，80) 20 0.40 第4組 [80，90) ■ 0.08 第5組 [90，100] 2 b 合計 ■ ■ 頻率分布直方圖 (1)求出a，b，x的值； (2)若在滿意度評分值為[80，100]的人中隨機抽取2人進行座談，設所抽取的2人中來自第5組的人數記為ξ，求ξ的分布列和數學期望. 解　(1)由題意可知，＝，解得b＝0. 04； ∴樣本容量n＝＝50， ∴[80，90)內的頻數為500.08＝4， a＝50－8－20－4－2＝16； 又[60，70)內的頻率為＝0.32，∴x＝＝0.032； (2)由題意可知，第4組共有4人，第5組共有2人， ∴隨機變量ξ的可能取值為0，1，2， P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝. ∴ξ的分布列為： ξ 0 1 2 P ∴E(ξ)＝0＋1＋2＝.