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直線、圓的位置關系
一、選擇題（本大題共12小題，共60分）
1. 已知圓M：x2+y2-2ay=0(a>0)截直線x+y=0所得線段的長度是22，則圓M與圓N：(x-1)2+(y-1)2=1的位置關系是( )
A. 內切 B. 相交 C. 外切 D. 相離
（正確答案）B
解：圓的標準方程為M：x2+(y-a)2=a2(a>0)，
則圓心為(0,a)，半徑R=a，
圓心到直線x+y=0的距離d=a2，
∵圓M：x2+y2-2ay=0(a>0)截直線x+y=0所得線段的長度是22，
∴2R2-d2=2a2-a22=2a22=22，
即a22=2，即a2=4，a=2，
則圓心為M(0,2)，半徑R=2，
圓N：(x-1)2+(y-1)2=1的圓心為N(1,1)，半徑r=1，
則MN=12+12=2，
∵R+r=3，R-r=1，
∴R-r
r，直線與圓相離，是基礎題．
7. 若直線y=x+m與圓x2+y2+4x+2=0有兩個不同的公共點，則實數m的取值范圍是( )
A. (2-2,2+2) B. (-4,0)
C. (-2-2,-2+2) D. (0,4)
（正確答案）D
解：圓x2+y2+4x+2=0化為(x+2)2+y2=2，圓的圓心坐標(-2,0)，半徑為2
∵直線y=x+m與圓(x+2)2+y2=2有兩個不同的公共點，
∴d=|m-2|2<2
∴m2-4m<0
∴00,n>0)截得圓(x+3)2+(y+1)2=1的弦長為2，則1m+3n的最小值為( )
A. 4 B. 12 C. 16 D. 6
（正確答案）D
解：圓(x+3)2+(y+1)2=1的半徑為1，圓心(-3,-1)
直線mx+ny+2=0(m>0,n>0)截得圓(x+3)2+(y+1)2=1的弦長為2，
直線經過圓的圓心．
可得：3m+n=2．
則1m+3n=12(1m+3n)(3m+n)=12(3+3+nm+9mn)≥3+nm?9mn=6．
當且僅當m=13，n=1時取等號．
故選：D．
利用已知條件求出m，n的關系式，然后利用基本不等式求解最值即可．
本題考查基本不等式的應用，直線與圓的位置關系的應用，考查轉化思想以及計算能力．
11. 已知圓x2+y2+2x-2y+a=0截直線x+y+2=0所得弦的長度為4，則實數a的值是( )
A. -2 B. -4 C. -6 D. -8
（正確答案）B
解：圓x2+y2+2x-2y+a=0即(x+1)2+(y-1)2=2-a，
故弦心距d=|-1+1+2|2=2．
再由弦長公式可得2-a=2+4，∴a=-4，
故選：B．
把圓的方程化為標準形式，求出弦心距，再由條件根據弦長公式求得a的值．
本題主要考查直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式，弦長公式的應用，屬于基礎題．
12. 若直線x+y=0與圓x2+(y-a)2=1相切，則a的值為( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 2
（正確答案）D
解：圓x2+(y-a)2=1的圓心坐標為(0,a)，半徑為1，
∵直線x+y=0與圓x2+(y-a)2=1相切，
∴圓心(0,a)到直線的距離d=r，
即|a|2=1，
解得：a=2．
故選D．
由直線與圓相切，得到圓心到直線的距離等于圓的半徑，利用點到直線的距離公式列出關于a的方程，求出方程的解即可得到a的值
本題考查了直線與圓的位置關系，當直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑，熟練掌握此性質是解本題的關鍵．
二、填空題（本大題共4小題，共20分）
13. 設直線y=x+2a與圓C：x2+y2-2ay-2=0相交于A，B兩點，若|AB|=23，則圓C的面積為______ ．
（正確答案）4π
解：圓C：x2+y2-2ay-2=0的圓心坐標為(0,a)，半徑為a2+2，
∵直線y=x+2a與圓C：x2+y2-2ay-2=0相交于A，B兩點，且|AB|=23，
∴圓心(0,a)到直線y=x+2a的距離d=a2-1，
即|a|2=a2-1，
解得：a2=2，
故圓的半徑r=2．
故圓的面積S=4π，
故答案為：4π
圓C：x2+y2-2ay-2=0的圓心坐標為(0,a)，半徑為a2+2，利用圓的弦長公式，求出a值，進而求出圓半徑，可得圓的面積．
本題考查的知識點是直線與圓相交的性質，點到直線的距離公式，難度中檔．
14. 已知直線l：mx+y+3m-3=0與圓x2+y2=12交于A，B兩點，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點，若|AB|=23，則|CD|= ______ ．
（正確答案）4
解：由題意，|AB|=23，∴圓心到直線的距離d=3，
∴|3m-3|m2+1=3，
∴m=-33
∴直線l的傾斜角為30°，
∵過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點，
∴|CD|=2332=4．
故答案為：4．
先求出m，可得直線l的傾斜角為30°，再利用三角函數求出|CD|即可．
本題考查直線與圓的位置關系，考查弦長的計算，考查學生的計算能力，比較基礎．
15. 在[-1,1]上隨機地取一個數k，則事件“直線y=kx與圓(x-5)2+y2=9相交”發(fā)生的概率為______．
（正確答案）34
解：圓(x-5)2+y2=9的圓心為(5,0)，半徑為3．
圓心到直線y=kx的距離為|5k|k2+1，
要使直線y=kx與圓(x-5)2+y2=9相交，則|5k|k2+1<3，解得-34
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