《高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪教師用書：第7章 第5節(jié) 綜合法、分析法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法 Word版含解析》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪教師用書：第7章 第5節(jié) 綜合法、分析法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法 Word版含解析（12頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第五節(jié)　綜合法、分析法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法 [最新考綱]　1.了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程和特點(diǎn).2.了解間接證明的一種基本方法——反證法；了解反證法的思考過程和特點(diǎn).3.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理.4.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題． 1．綜合法、分析法 內(nèi)容 綜合法 分析法 定義 從命題的條件出發(fā)，利用定義、公理、定理及運(yùn)算法則，通過演繹推理，一步一步地接近要證明的結(jié)論，直到完成命題的證明．我們把這樣的思維方法稱為綜合法 從求證的結(jié)論出發(fā)，一步一步地探索保證前一個(gè)結(jié)論成立的充分條件，直到歸結(jié)為這個(gè)命題的條件，或者歸結(jié)

2、為定義、公理、定理等．我們把這樣的思維方法稱為分析法 實(shí)質(zhì) 由因?qū)Ч? 執(zhí)果索因 框圖 表示 → →…→ →→…→ 文字 語言 因?yàn)椤浴蛴伞谩? 要證……只需證……即證…… 2．反證法 (1)反證法的定義：在假定命題結(jié)論的反面成立的前提下，經(jīng)過推理，若推出的結(jié)果與定義、公理、定理矛盾，或與命題中的已知條件相矛盾，或與假定相矛盾，從而說明命題結(jié)論的反面不可能成立，由此斷定命題結(jié)論成立的方法叫反證法． (2)反證法的證題步驟： ①作出否定結(jié)論的假設(shè)；②進(jìn)行推理，導(dǎo)出矛盾；③否定假設(shè)，肯定結(jié)論． 3．?dāng)?shù)學(xué)歸納法 一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題

3、，可按下列步驟進(jìn)行： (1)歸納奠基：證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0∈N＋)時(shí)命題成立； (2)歸納遞推：假設(shè)n＝k(k≥n0，k∈N＋)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立． 只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都成立．上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法． 一、思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí)，第一步是驗(yàn)證當(dāng)n＝1時(shí)結(jié)論成立．(　　) (2)綜合法是直接證明，分析法是間接證明．(　　) (3)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件．(　　) (4)用反證法證明結(jié)論“a>b”時(shí)，應(yīng)假設(shè)“a

4、　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 二、教材改編 1．在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對(duì)角線為n(n－3)條時(shí)，第一步檢驗(yàn)n等于(　　) A．1　　　　　　 B．2 C．3 D．4 C　[凸n邊形邊數(shù)最小時(shí)是三角形，故第一步檢驗(yàn)n＝3.] 2．用反證法證明：若整系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理數(shù)根，那么a，b，c中至少有一個(gè)是偶數(shù)．用反證法證明時(shí)，下列假設(shè)正確的是(　　) A．假設(shè)a，b，c都是偶數(shù) B．假設(shè)a，b，c都不是偶數(shù) C．假設(shè)a，b，c至多有一個(gè)偶數(shù) D．假設(shè)a，b，c至多有兩個(gè)偶數(shù) B　[“至少有一個(gè)”的否定為“都不

5、是”，故B正確．] 3．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，則P，Q的大小關(guān)系是(　　) A．P>Q B．P＝Q C．PQ，只需P2>Q2，即2a＋13＋2>2a＋13＋2，只需a2＋13a＋42>a2＋13a＋40.因?yàn)?2>40成立，所以P>Q成立．故選A.] 4．已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝a－nan＋1，n∈N＋，且a1＝2，則a2＝________，a3＝________，a4＝________，猜想an＝________. 3　4　5　n＋1　[易得a2＝3，a3＝4，a4＝5，故猜想an＝n＋1.] 考點(diǎn)1　綜合法的應(yīng)用 　掌握綜

6、合法證明問題的思路 綜合法是“由因?qū)Ч钡淖C明方法，它是一種從已知到未知(從題設(shè)到結(jié)論)的邏輯推理方法，即從題設(shè)中的已知條件或已證的真實(shí)判斷(命題)出發(fā)，經(jīng)過一系列中間推理，最后導(dǎo)出所要求證結(jié)論的真實(shí)性． 　設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且a＋b＋c＝1. 證明：(1)ab＋bc＋ac≤； (2)＋＋≥1. [證明]　(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac， 得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca， 由題設(shè)得(a＋b＋c)2＝1， 即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1， 所以3(ab＋bc＋ca)≤1， 即ab＋bc＋ca≤. (2)因?yàn)閍，b

7、，c均為正數(shù)， ＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c， 故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)， 即＋＋≥a＋b＋c，所以＋＋≥1. [母題探究]　本例的條件不變，證明a2＋b2＋c2≥. [證明]　因?yàn)閍＋b＋c＝1， 所以1＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac， 因?yàn)?ab≤a2＋b2,2bc≤b2＋c2,2ac≤a2＋c2， 所以2ab＋2bc＋2ac≤2(a2＋b2＋c2)， 所以1≤a2＋b2＋c2＋2(a2＋b2＋c2)， 即a2＋b2＋c2≥. 　(1)不等式的證明常借助基本不等式，注意其使用的前提條件“一正、二定、三相等”；(2)

8、應(yīng)用重要不等式a2＋b2≥2ab放縮時(shí)要注意待證不等式的方向性． 　在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sin Asin B＋sin Bsin C＋cos 2B＝1. (1)求證：a，b，c成等差數(shù)列； (2)若C＝，求證：5a＝3b. [證明]　(1)由已知得sin Asin B＋sin Bsin C＝2sin2B， 因?yàn)閟in B≠0，所以sin A＋sin C＝2sin B， 由正弦定理， 得a＋c＝2b， 即a，b，c成等差數(shù)列． (2)由C＝，c＝2b－a及余弦定理得 (2b－a)2＝a2＋b2＋ab，即有5ab－3b2＝0， 即5a＝3b.

9、 考點(diǎn)2　分析法的應(yīng)用 　分析法證明問題的思路及適用范圍 利用分析法證明問題，先從結(jié)論入手，由此逐步推出保證此結(jié)論成立的充分條件；當(dāng)已知條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不夠明顯、直接，或證明過程中所需用的知識(shí)不太明確、具體時(shí)，往往采用分析法，特別是含有根號(hào)、絕對(duì)值的等式或不等式，?？紤]用分析法． 　已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c. 求證：＋＝. [證明]　要證＋＝， 即證＋＝3， 也就是＋＝1， 只需證c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)， 需證c2＋a2＝ac＋b2， 又△ABC三內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，故B＝60°，

10、由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos 60°， 即b2＝c2＋a2－ac， 故c2＋a2＝ac＋b2成立． 于是原等式成立． 　(1)用分析法證明時(shí)，要注意書寫格式的規(guī)范性，常常用“要證(欲證)……”“即證……”“只需證……”等，逐步分析，直到一個(gè)明顯成立的結(jié)論． (2)證明較復(fù)雜的問題時(shí)，可以采用兩頭湊的辦法，如本例中，通過分析法找出與結(jié)論等價(jià)(或充分)的中間結(jié)論“c2＋a2＝ac＋b2”，然后通過綜合法證明這個(gè)中間結(jié)論，從而使原命題得證． 　若a，b∈(1，＋∞)，證明＜. [證明]　要證＜， 只需證()2＜()2， 只需證a＋b－1－ab＜0， 即證(a－1)

11、(1－b)＜0. 因?yàn)閍＞1，b＞1，所以a－1＞0,1－b＜0， 即(a－1)(1－b)＜0成立， 所以原不等式成立． 考點(diǎn)3　反證法的應(yīng)用 　用反證法證明問題的步驟 (1)反設(shè)：假定所要證的結(jié)論不成立，而設(shè)結(jié)論的反面成立．(否定結(jié)論) (2)歸謬：將“反設(shè)”作為條件，由此出發(fā)經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)出矛盾，矛盾可以是與已知條件、定義、公理、定理及明顯的事實(shí)矛盾或自相矛盾．(推導(dǎo)矛盾) (3)立論：因?yàn)橥评碚_，所以產(chǎn)生矛盾的原因在于“反設(shè)”的謬誤．既然原命題結(jié)論的反面不成立，從而肯定了原命題成立．(命題成立) 　設(shè)a>0，b>0，且a＋b＝＋. 證明：(1)a＋b≥2；

12、(2)a2＋a<2與b2＋b<2不可能同時(shí)成立． [證明]　由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1. (1)由基本不等式及ab＝1， 有a＋b≥2＝2， 即a＋b≥2. (2)假設(shè)a2＋a<2與b2＋b<2同時(shí)成立， 則由a2＋a<2及a>0， 得0

13、等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an與前n項(xiàng)和Sn； (2)設(shè)bn＝(n∈N＋)，求證：數(shù)列{bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列． [解]　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d. 由已知得 所以d＝2，故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)(n∈N＋)． (2)證明：由(1)得bn＝＝n＋， 假設(shè)數(shù)列{bn}中存在三項(xiàng)bp，bq，br(p，q，r∈N＋，且互不相等)成等比數(shù)列，則b＝bpbr. 即(q＋)2＝(p＋)(r＋)， 所以(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0， 因?yàn)閜，q，r∈N＋， 所以 所以2

14、＝pr，(p－r)2＝0， 所以p＝r，與p≠r矛盾， 所以數(shù)列{bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列． 考點(diǎn)4　數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用 　(1)應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式應(yīng)注意的問題 ①當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時(shí)，應(yīng)用其他辦法不容易證，則可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法． ②用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n＝k成立，推證n＝k＋1時(shí)也成立，證明時(shí)用上歸納假設(shè)后，可采用分析法、綜合法、求差(求商)比較法、放縮法、構(gòu)造函數(shù)法等證明方法． (2)利用數(shù)學(xué)歸納法可以探索與正整數(shù)n有關(guān)的未知問題、存在性問題，其基本模式是“歸納—猜想—證明”，即先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后經(jīng)邏輯推理論證結(jié)論的正

15、確性． 　(2019·浙江高考)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a3＝4，a4＝S3.數(shù)列{bn}滿足：對(duì)每個(gè)n∈N＋，Sn＋bn，Sn＋1＋bn，Sn＋2＋bn成等比數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式； (2)記cn＝，n∈N＋，證明：c1＋c2＋…＋cn＜2，n∈N＋. [解]　(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d， 由題意得 解得a1＝0，d＝2， ∴an＝2n－2，n∈N＋. ∴Sn＝n2－n，n∈N＋. ∵數(shù)列{bn}滿足：對(duì)每個(gè)n∈N＋，Sn＋bn，Sn＋1＋bn，Sn＋2＋bn成等比數(shù)列， ∴(Sn＋1＋bn)2＝(Sn＋bn)(Sn＋2＋bn)，

16、 解得bn＝(S－SnSn＋2)， 即bn＝n2＋n，n∈N＋. (2)證明：cn＝＝＝，n∈N＋， 用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)n＝1時(shí)，c1＝0＜2，不等式成立； ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋)時(shí)不等式成立， 即c1＋c2＋…＋ck＜2， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， c1＋c2＋…＋ck＋ck＋1＜2＋＜2＋＜2＋＝2＋2(－)＝2， 即n＝k＋1時(shí)，不等式也成立． 由①②得c1＋c2＋…＋cn＜2，n∈N＋. 　用數(shù)學(xué)歸納法證明與n有關(guān)的不等式，在歸納假設(shè)使用后可運(yùn)用比較法、綜合法、分析法、放縮法等來加以證明，充分應(yīng)用均值不等式、不等式的性質(zhì)等放縮技巧，使問題得以簡(jiǎn)化． [教師

17、備選例題] 1．用數(shù)學(xué)歸納法證明：＋＋＋…＋＝ (n∈N＋)． [證明]?、佼?dāng)n＝1時(shí)， 左邊＝＝， 右邊＝＝， 左邊＝右邊，所以等式成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)等式成立，即有 ＋＋＋…＋＝， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，＋＋＋…＋＋ ＝＋ ＝ ＝＝ ＝. 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立． 由①②可知對(duì)于一切n∈N＋等式都成立． 2．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知對(duì)任意的n∈N＋，點(diǎn)(n，Sn)均在函數(shù)y＝bx＋r(b>0且b≠1，b，r均為常數(shù))的圖像上． (1)求r的值； (2)當(dāng)b＝2時(shí)，記bn＝2(log2an＋1)(n∈N＋)，證明：

18、對(duì)任意的n∈N＋，不等式··…·＞成立． [解]　(1)由題意得，Sn＝bn＋r， 當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝bn－1＋r. 所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)． 由于b＞0，且b≠1， 所以n≥2時(shí)，數(shù)列{an}是以b為公比的等比數(shù)列． 又a1＝S1＝b＋r，a2＝b(b－1)， 所以＝b，即＝b，解得r＝－1. (2)證明：由(1)及b＝2知an＝2n－1. 因此bn＝2n(n∈N＋)， 所證不等式為··…·＞. ①當(dāng)n＝1時(shí)，左式＝，右式＝， 左式＞右式，所以結(jié)論成立． ②假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)結(jié)論成立， 即··…·＞， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，

19、 ··…··＞·＝， 要證當(dāng)n＝k＋1時(shí)結(jié)論成立， 只需證≥， 即證≥， 由基本不等式得 ＝≥成立， 故≥成立，所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論成立． 由①②可知，n∈N＋時(shí)， 不等式··…·＞成立． 　已知f(n)＝1＋＋＋＋…＋，g(n)＝－，n∈N＋. (1)當(dāng)n＝1,2,3時(shí)，試比較f(n)與g(n)的大小關(guān)系； (2)猜想f(n)與g(n)的大小關(guān)系，并給出證明． [解]　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，f(1)＝1，g(1)＝1， 所以f(1)＝g(1)； 當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝，g(2)＝，所以f(2)＜g(2)； 當(dāng)n＝3時(shí)，f(3)＝，g(3)＝， 所以f(3)＜g(3)． (2)由(1)猜想，f(n)≤g(n)，用數(shù)學(xué)歸納法證明． ①當(dāng)n＝1,2,3時(shí)，不等式顯然成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k＞3，k∈N＋)時(shí)不等式成立， 即1＋＋＋＋…＋＜－， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， f(k＋1)＝f(k)＋＜－＋. 因?yàn)椋? ＝－ ＝＜0， 所以f(k＋1)＜－＝g(k＋1)． 由①②可知，對(duì)一切n∈N＋，都有f(n)≤g(n)成立．