《2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一部分 基礎(chǔ)與考點過關(guān) 第五章 數(shù)列學(xué)案.doc》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一部分 基礎(chǔ)與考點過關(guān) 第五章 數(shù)列學(xué)案.doc(41頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
第五章 數(shù) 列
第1課時 數(shù)列的概念及其簡單表示法
理解數(shù)列的概念,認(rèn)識數(shù)列是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型,探索并掌握數(shù)列的幾種簡單表示法(列表、圖象、通項公式);了解數(shù)列是一種特殊的函數(shù);發(fā)現(xiàn)數(shù)列規(guī)律,寫出其通項公式.
① 了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式).② 了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù).③ 會利用數(shù)列的前n項和求通項公式.
1. (必修5P34習(xí)題3改編)已知數(shù)列{an}滿足an=4an-1+3,且a1=0,則a 5=________.
答案:255
解析:a2=4a1+3=3,a3=4a2+3=43+3=15,a4=4a3+3=415+3=63,a5=4a4+3=463+3=255.
2. (必修5P34習(xí)題2改編)數(shù)列-1,,-,,…的一個通項公式是________.
答案:an=(-1)n
解析:-1=-,數(shù)列1,4,9,16,…對應(yīng)通項n2,數(shù)列1,3,5,7,…對應(yīng)通項2n-1,數(shù)列-1,1,-1,1,…對應(yīng)通項(-1)n,故an=(-1)n.
3. (必修5P48習(xí)題9改編)若數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2+3n,則=________.
答案:2
解析:∵ 數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2+3n,
∴ a1+a2+a3=S3=32+33=18,
a4+a5+a6=S6-S3=36,
∴ =2.
4. (必修5P34習(xí)題9改編)已知數(shù)列{an}的通項公式是an=n2-8n+5,則這個數(shù)列的最小項是________.
答案: -11
解析:由an=(n-4)2-11,可知n=4時,an取最小值為-11.
5. (必修5P34習(xí)題5改編)已知數(shù)列,,2,,,…,則4是這個數(shù)列的第________項.
答案:11
解析:易知該數(shù)列的通項為,則有=4,得n=11,則4是這個數(shù)列的第11項.
1. 數(shù)列的定義
按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列.?dāng)?shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項.排在第一位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第1項,通常也叫做首項.
2. 數(shù)列的分類
項數(shù)有限的數(shù)列叫做有窮數(shù)列.
項數(shù)無限的數(shù)列叫做無窮數(shù)列.
3. 數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系
從函數(shù)觀點看,數(shù)列可以看成是以正整數(shù)或其子集為定義域的函數(shù)an=f(n),當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時所對應(yīng)的一列函數(shù)值.反過來,對于函數(shù)y=f(x),如果f(i)(i=1,2,3,…)有意義,那么可以得到一個數(shù)列{f(n)}.
4. 數(shù)列的通項公式
如果數(shù)列{an}的第n項與序號n之間的關(guān)系可以用一個公式an=f(n)(n=1,2,3,…)來表示,那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式.通項公式可以看成數(shù)列的函數(shù)解析式.
5. 數(shù)列{an}的前n項和Sn與通項an的關(guān)系是an=[備課札記]
, 1 由數(shù)列的前幾項求數(shù)列的通項)
, 1) 根據(jù)下面各數(shù)列前幾項的值,寫出數(shù)列的一個通項公式:
(1) -1,7,-13,19,…;
(2) ,,,,,…;
(3) 1,0,-,0,,0,-,0,…;
(4) 1,2,3,4,….
解:(1) 偶數(shù)項為正,奇數(shù)項為負(fù),故通項公式必含有因式(-1)n,觀察各項的絕對值,后一項的絕對值總比它前一項的絕對值大6,故數(shù)列的一個通項公式為an=(-1)n(6n-5).
(2) 這是一個分?jǐn)?shù)數(shù)列,其分子構(gòu)成偶數(shù)數(shù)列,而分母可分解為13,35,57,79,911,…,每一項都是兩個相鄰奇數(shù)的乘積.故所求數(shù)列的一個通項公式為an=.
(3)將數(shù)列改寫為,,-,,,,-,,…,則an=.
(4) 觀察不難發(fā)現(xiàn)1=1+,2=2+=2+,3=3+=3+,…,一般地,an=n+.則an=n+.
變式訓(xùn)練
(1) 數(shù)列-,,-,,…的一個通項公式an=__________;
(2) 該數(shù)列,,,,…的一個通項公式為________.
答案:(1) (-1)n (2)
解析:(1) 這個數(shù)列前4項的絕對值都等于項數(shù)與項數(shù)加1的積的倒數(shù),且奇數(shù)項為負(fù),偶數(shù)項為正,所以它的一個通項公式為an=(-1)n.
(2) 各項的分子為22,32,42,52,…,分母比分子大1,因此該數(shù)列的一個通項公式為an=.
, 2 由an與Sn關(guān)系求an)
, 2) 已知數(shù)列{an}的前n項和Sn,求通項an.
(1) Sn=3n-1;
(2) Sn=2n+1.
解:(1) 當(dāng)n=1時,a1=S1=2.
當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=23n-1.
當(dāng)n=1時,an=2符合上式.
∴ an=23n-1.
(2) 當(dāng)n=1時,a1=S1=21+1=3;
當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=(2n+1)-(2n-1+1)=2n-2n-1=2n-1.當(dāng)n=1時,an=3不符合上式.
綜上有 an=
變式訓(xùn)練
(1) 已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=3n+1,則an=__________;
(2) 若數(shù)列{an}的前n項和Sn=an+,則{an}的通項公式an=__________.
答案:(1) (2) (-2)n-1
解析:(1) 當(dāng)n=1時,a1=S1=3+1=4,
當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=3n+1-3n-1-1=23n-1.
∵ a1=4不適合上等式,∴ an=
(2) 由Sn=an+得,當(dāng)n≥2時,Sn-1=an-1+,
兩式相減,得an=an-an-1,
∴ 當(dāng)n≥2時,an=-2an-1,即=-2.
又n=1時,S1=a1=a1+,a1=1,
∴ an=(-2)n-1.
, 3 由數(shù)列的遞推關(guān)系求數(shù)列的通項公式)
, 3) (1) 設(shè)數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=an+n+1,則通項公式an=________;
(2) a1=1,an=an-1+(n≥2,n∈N*),通項公式an=________;
(3) 在數(shù)列{an}中,a1=1,前n項和Sn=an,則{an}的通項公式為an=________.
答案:(1) +1 (2) 2-(n∈N*) (3)
解析:(1) 由題意得,當(dāng)n≥2時,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=2+(2+3+…+n)
=2+=+1.
又a1=+1=2,符合上式,
因此an=+1.
(2) 由an=an-1+(n≥2),得an-an-1=-(n≥2).則a2-a1=-,a3-a2=-,…,an-an-1=-.將上述n-1個式子累加,得an=2-.當(dāng)n=1時,a1=1也滿足,故an=2-(n∈N*).
(3) 由題設(shè)知,a1=1.
當(dāng)n>1時,an=Sn-Sn-1=an-an-1,
∴ =,
∴ =,…,=,=,=3.
以上n-1個式子的等號兩端分別相乘,得到=.
∵ a1=1,∴ an=.
(1) 已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an=3n-1+an-1(n≥2),則an=________.
(2) 已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an=an-1(n≥2),則an=________.
答案:(1) an= (2)
解析:(1) 由a1=1,an-an-1=3n-1(n≥2),得a1=1,a2-a1=31,a3-a2=32,…,an-1-an-2=3n-2,an-an-1=3n-1,以上等式兩邊分別相加得an=1+3+32+…+3n-1=.當(dāng)n=1時,a1=1也適合,∴ an=.
(2) an=an-1 (n≥2),an-1=an-2,…,a2=a1.以上(n-1)個式子相乘得an=a1…==.當(dāng)n=1時也滿足此等式,∴ an=.
1. (2017太原模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an-an+1=nanan+1(n∈N*),則an=________.
答案:
解析:由an-an+1=nanan+1得-=n,則由累加法得-=1+2+…+(n-1)=.因為a1=1,所以=+1=,所以an=.
2. 設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和,Sn=kn2+n,n∈N*,其中k是常數(shù).若對于任意的m∈N*,am,a2m,a4m成等比數(shù)列,則k的值為________.
答案:0或1
解析:∵ Sn=kn2+n,n∈N*,∴ 數(shù)列{an}是首項為k+1,公差為2k的等差數(shù)列,
an=2kn+1-k.又對于任意的m∈N*都有a=ama4m,
a=a1a4,(3k+1)2=(k+1)(7k+1),解得k=0或1.又k=0時,an=1,顯然對于任意的m∈N*,am,a2m,a4m成等比數(shù)列;k=1時,an=2n,am=2m,a2m=4m,a4m=8m,顯然對于任意的m∈N*,am,a2m,a4m也成等比數(shù)列.綜上所述,k=0或1.
3. 已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1an=2n(n∈N*),則a10等于________.
答案:32
解析:∵ an+1an=2n,∴ an+1an+2=2n+1,兩式相除得=2.又a1a2=2,a1=1,∴ a2=2,則=24,即a10=25=32.
4. 對于數(shù)列{an},定義數(shù)列{bn}滿足:bn=an+1-an(n∈N*),且bn+1-bn=1(n∈N*),a3=1,a4=-1,則a1=________.
答案:8
解析:b3=a4-a3=-1-1=-2,由b3-b2=1,得b2=-3,而b2=a3-a2=-3,得a2=4.又b2-b1=1,則b1=-4,而b1=a2-a1=4-a1=-4,則a1=8.
5. 已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=an+,則{an}的通項公式an=__________.
答案:
解析:當(dāng)n=1時,a1=S1=a1+,∴ a1=1.當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=an-an-1,∴ =-.∴ 數(shù)列{an}為首項a1=1,公比q=-的等比數(shù)列,故an=(-)n-1.
1. 若an=n2+λn+3(其中λ為實常數(shù)),n∈N*,且數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列,則實數(shù)λ的取值范圍是________.
答案:(-3,∞)
解析:(解法1:函數(shù)觀點)因為{an}為單調(diào)遞增數(shù)列, 所以an+1>an,即(n+1)2+λ(n+1)+3>n2+λn+3,化簡為λ>-2n-1對一切n∈N*都成立,所以λ>-3.
故實數(shù)λ的取值范圍是(-3,+∞).
(解法2:數(shù)形結(jié)合法)因為{an}為單調(diào)遞增數(shù)列,所以a1
-3,故實數(shù)λ的取值范圍為(-3,+∞).
2. 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a1=1,an+1=Sn,求a2,a3,a4的值及數(shù)列{an}的通項公式.
解:由已知得a2=,a3=,a4=.由a1=1,an+1=Sn,得an=Sn-1,n≥2,
故an+1-an=Sn-Sn-1=an,n≥2,得an+1=an,n≥2.
又a1=1,a2=,故該數(shù)列從第二項開始為等比數(shù)列,故an=
3. 已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn滿足S-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,n∈N*.
(1) 求a1的值;
(2) 求數(shù)列{an}的通項公式.
解:(1) 由題設(shè),S-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,n∈N*.
令n=1,有S-(12+1-3)S1-3(12+1)=0,
可得S+S1-6=0,解得S1=-3或2,即a1=-3或2.
又an為正數(shù),所以a1=2.
(2) 由S-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,n∈N*可得,
(Sn+3)(Sn-n2-n)=0,則Sn=n2+n或Sn=-3.
又?jǐn)?shù)列{an}的各項均為正數(shù),所以Sn=n2+n,Sn-1=(n-1)2+(n-1),
所以當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=n2+n-[(n-1)2+(n-1)]=2n.
又a1=2,所以an=2n.
4. 設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知a1=a(a≠3),an+1=Sn+3n,n∈N*.
(1) 設(shè)bn=Sn-3n,求數(shù)列{bn}的通項公式;
(2) 若an+1≥an,n∈N*,求a的取值范圍.
解:(1) 依題意,Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n,
即Sn+1=2Sn+3n,由此得Sn+1-3n+1=2(Sn-3n),
即bn+1=2bn.又b1=S1-3=a-3,
因此,所求通項公式為bn=(a-3)2n-1,n∈N*.
(2) 由(1)知Sn=3n+(a-3)2n-1,n∈N*,
于是,當(dāng)n≥2時,
an=Sn-Sn-1=3n+(a-3)2n-1-3n-1-(a-3)2n-2=23n-1+(a-3)2n-2,
an+1-an=43n-1+(a-3)2n-2
=2n-2.
當(dāng)n≥2時,an+1≥an?12+a-3≥0?a≥-9.
又a2=a1+3>a1,
綜上,所求的a的取值范圍是[-9,3)∪(3,+∞).
1. 數(shù)列中的數(shù)的有序性是數(shù)列定義的靈魂,要注意辨析數(shù)列的項和數(shù)集中元素的異同,數(shù)列可以看成是一個定義域為正整數(shù)集或其子集的函數(shù),因此在研究數(shù)列問題時,既要注意函數(shù)方法的普遍性,又要注意數(shù)列方法的特殊性.
2. 根據(jù)所給數(shù)列的前幾項求其通項,需要仔細(xì)觀察分析,抓住特征:分式中分子、分母的獨立特征,相鄰項變化的特征,拆項后的特征,各項的符號特征和絕對值特征,并由此進行歸納、聯(lián)想.
3. 通項an與其前n項和Sn的關(guān)系是一個十分重要的考點,運用時不要忘記討論an=[備課札記]
第2課時 等 差 數(shù) 列(對應(yīng)學(xué)生用書(文)、(理)84~85頁)
理解等差數(shù)列的概念,掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式,能在具體的問題情境中用等差數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.
① 理解等差數(shù)列的概念.② 掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式.③ 理解等差中項的概念,掌握等差數(shù)列的性質(zhì).
1. (必修5P47習(xí)題5改編)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a1=2,S3=12,則a6=________.
答案:12
解析:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由題意知,32+3d=12,得d=2,則a6=2+(6-1)2=12.
2. (必修5P48習(xí)題7改編)在等差數(shù)列{an}中,
(1) 已知a4+a14=2,則S17=________;
(2) 已知S11=55,則a6=________;
(3) 已知S8=100,S16=392,則S24=________.
答案:(1) 17 (2) 5 (3) 876
解析:(1) S17===17.
(2) S11===55,∴ a6=5.
(3) S8,S16-S8,S24-S16成等差數(shù)列,∴ 100+S24-392=2(392-100),∴ S24=876.
3. (必修5P44練習(xí)6改編)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,已知S5=5,S9=27,則S7=________.
答案:14
解析:由S5=(a1+a5)=2a3=5a3=5,得a3=1.由S9=(a1+a9)=2a5=9a5=27,得a5=3.從而S7=(a1+a7)=(a3+a5)=4=14.
4. (必修5P48習(xí)題11改編)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,若a1=-3,11a5=5a8,則使其前n項和Sn取最小值的n=________.
答案:2
解析:∵ a1=-3,11a5=5a8,∴ d=2,∴ Sn=n2-4n=(n-2)2-4,∴ 當(dāng)n=2時,Sn最?。?
5. (必修5P43例2改編)在等差數(shù)列{an}中,已知d=,an=,Sn=-,則a1=________.
答案:-3
解析:由題意,得
由②得a1=-n+2,代入①得n2-7n-30=0,∴ n=10或n=-3(舍去),∴ a1=-3.
1. 等差數(shù)列的定義
(1) 文字語言:如果一個數(shù)列從第二項起,每一項減去它的前一項所得的差都等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列.
(2) 符號語言:an+1-an=d(n∈N*).
2. 等差數(shù)列的通項公式
若等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d,則其通項公式為an=a1+(n-1)d.
推廣:an=am+(n-m)d.
3. 等差中項
如果三個數(shù)a,A,b成等差數(shù)列,則A叫a和b的等差中項,且有A=.
4. 等差數(shù)列的前n項和公式
(1) Sn=na1+d.
(2) Sn=.
5. 等差數(shù)列的性質(zhì)
(1) 等差數(shù)列{an}中,對任意的m,n,p,q∈N*,若m+n=p+q,則am+an=ap+aq.特殊的,若m+n=2p,則am+an=2ap.
(2) 等差數(shù)列{an}中,依次每m項的和仍成等差數(shù)列,即Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍成等差數(shù)列.
6. 當(dāng)項數(shù)為2n(n∈N+),則S偶-S奇=nd,=;
當(dāng)項數(shù)為2n-1(n∈N+),則S奇-S偶=an,=.
, 1 數(shù)列中的基本量的計算)
, 1) (1) 設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,S8=4a3,a7=-2,則a9=__________;
(2) 設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,S3=6,S4=12,則S6=__________.
答案:(1) -6 (2) 30
解析:(1) 設(shè)公差為d,則8a1+28d=4a1+8d,即a1=-5d,a7=a1+6d=-5d+6d=d=-2,所以a9=a7+2d=-6.
(2) 設(shè)數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d,由S3=6,S4=12,可得解得即S6=6a1+15d=30.
變式訓(xùn)練
(1) 已知{an}是公差不為0 的等差數(shù)列,Sn是其前n項和,若a2a3=a4a5,S9=1,則a1的值是________;
(2) 設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,若a2=7,S7=-7,則a7的值為________.
答案:(1) - (2) -13
解析:(1) 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0).
∵ a2a3=a4a5,S9=1,
∴ 解得a1=-.
(2) 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.∵ a2=7,S7=-7,
∴ 解方程組可得
∴ a7=a1+6d=11-64=-13.
, 2 判斷或證明一個數(shù)列是否是等差數(shù)列)
, 2) 已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),前n項和為Sn,且滿足2Sn=a+n-4.
(1) 求證:{an}為等差數(shù)列;
(2) 求{an}的通項公式.
(1) 證明:當(dāng)n=1時,有2a1=a+1-4,即a-2a1-3=0,解得a1=3或a1=-1(舍去).當(dāng)n≥2時,有2Sn-1=a+n-5.又2Sn=a+n-4,兩式相減得2an=a-a+1,即a-2an+1=a,也即(an-1)2=a,因此an-1=an-1或an-1=-an-1.
若an-1=-an-1,則an+an-1=1,而a1=3,所以a2=-2,這與數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)相矛盾,所以an-1=an-1,即an-an-1=1,因此{(lán)an}為等差數(shù)列.
(2) 解:由(1)知a1=3,d=1,所以數(shù)列{an}的通項公式an=3+(n-1)1=n+2,即an=n+2.
變式訓(xùn)練
已知數(shù)列{an}滿足:a1=2,an+1=3an+3n+1-2n.設(shè)bn=.
(1) 證明:數(shù)列{bn}為等差數(shù)列;
(2) 求數(shù)列{an}的通項公式.
(1) 證明:∵ bn+1-bn=-=-=1,
∴ 數(shù)列{bn}為等差數(shù)列.
(2) 解:∵ b1==0,∴ bn=n-1,∴ an=(n-1)3n+2n.
已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足:an+2SnSn-1=0(n≥2,n∈N*),a1=,判斷與{an}是否為等差數(shù)列,并說明你的理由.
解:因為an=Sn-Sn-1(n≥2),又an+2SnSn-1=0,
所以Sn-Sn-1+2SnSn-1=0(n≥2),
所以-=2(n≥2).
因為S1=a1=,
所以是以2為首項,2為公差的等差數(shù)列.
所以=2+(n-1)2=2n,故Sn=.
所以當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=-=,
所以an+1=,而an+1-an=-
==.
所以當(dāng)n≥2時,an+1-an的值不是一個與n無關(guān)的常數(shù),故數(shù)列{an}不是一個等差數(shù)列.
綜上可知,是等差數(shù)列,{an}不是等差數(shù)列.
, 3 等差數(shù)列的性質(zhì))
, 3) (1) 已知{an}是等差數(shù)列,{Sn}是其前n項和.若a1+a=-3,S5=10,則a9的值是________;
(2) 在等差數(shù)列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,則a2+a8=________;
(3) 已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且S10=10,S20=30,則S30=________.
答案:(1) 20 (2) 10 (3) 60
解析:(1) 由S5=10得a3=2,因此2-2d+(2-d)2=-3?d=3,a9=2+36=20.
(2) 因為{an}是等差數(shù)列,所以a3+a7=a4+a6=a2+a8=2a5,a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25,即a5=5,a2+a8=2a5=10.
(3) 因為S10,S20-S10,S30-S20成等差數(shù)列,且S10=10,S20=30,S20-S10=20,
所以220=10+S30-30,所以S30=60.
變式訓(xùn)練
(1) 設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若2a8=6+a11,則S9的值等于__________;
(2) 設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若S3=9,S6=36,則a7+a8+a9=__________.
答案:(1) 54 (2) 45
解析:(1) 根據(jù)題意及等差數(shù)列的性質(zhì),知2a8-a11=a5=6,根據(jù)等差數(shù)列的求和公式,知S9=9=9=69=54.
(2) 由{an}是等差數(shù)列,得S3,S6-S3,S9-S6為等差數(shù)列.即2(S6-S3)=S3+(S9-S6),得到S9-S6=2S6-3S3=45,則a7+a8+a9=45.
設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a5=3,S10=40,求nSn的最小值.
解:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.∵ a5=3,S10=40,
∴ a1+4d=3,10a1+d=40,解得a1=-5,d=2.
∴ Sn=-5n+2=n2-6n,則nSn=n2(n-6).
n≤5時,nSn<0;n≥6時,nSn≥0.可得n=4時,nSn取得最小值-32.
, 4 等差數(shù)列中的最值問題)
, 4) (1) 若等差數(shù)列{an}滿足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,當(dāng)n取何值時,{an}的前n項和最大?
(2) 已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列.若<-1,且{an}的前n項和Sn有最大值,求使Sn>0時n的最大值.
(3) 在等差數(shù)列{an}中,a1>0,公差d<0,a5=3a7,其前n項和為Sn,求Sn取得最大值時n的值.
解:(1) 由等差數(shù)列的性質(zhì),得a7+a8+a9=3a8,a8>0.又a7+a10<0,∴ a8+a9<0,∴ a9<0,∴ S8>S7,S8>S9,故數(shù)列{an}的前8項和最大.
(2) ∵ <-1,且Sn有最大值,∴ a6>0,a7<0,且a6+a7<0,∴ S11==11a6>0,S12==6(a6+a7)<0,∴ 使Sn>0的n的最大值為11.
(3) 在等差數(shù)列{an}中,a1>0,公差d<0.
∵ a5=3a7,∴ a1+4d=3(a1+6d),∴ a1=-7d,
∴ Sn=n(-7d)+d=(n2-15n),
∴ n=7或8時,Sn取得最大值.
已知在等差數(shù)列{an}中,a1=31,Sn是它的前n項和,S10=S22.
(1) 求Sn;
(2) 這個數(shù)列的前多少項的和最大,并求出這個最大值.
解:(1) ∵ S10=a1+a2+…+a10,S22=a1+a2+…+a22,
S10=S22,∴ a11+a12+…+a22=0,=0,
即a11+a22=2a1+31d=0.又a1=31,∴ d=-2,
∴ Sn=na1+d=31n-n(n-1)=32n-n2.
(2) (解法1)由(1)知Sn=32n-n2,∴ 當(dāng)n=16時,Sn有最大值,Sn的最大值是256.
(解法2)由Sn=32n-n2=n(32-n),欲使Sn有最大值,應(yīng)有10,a2a4+2a3a5+a4a6=36,則a3+a5=________.
答案:6
解析:a2a4+2a3a5+a4a6=(a3+a5)2=36.又a1>0,∴ a3,a5>0,∴ a3+a5=6.
4. (必修5P61習(xí)題3改編)在等比數(shù)列{an}中,a3=7,前3項和S3=21,則公比q=________.
答案:1或-
解析:由已知得 化簡得=3.整理得2q2-q-1=0,解得q=1或q=-.
5. (必修5P56例2改編)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若S2=3,S4=15,則S6=________.
答案:63
解析:設(shè)等比數(shù)列{an}的首項為a1,公比為q,易知q≠1,根據(jù)題意可得
解得q2=4,=-1,所以S6==(-1)(1-43)=63.
1. 等比數(shù)列的概念
(1) 文字語言:如果一個數(shù)列從第二項起,每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列.
(2) 符號語言:=q(n∈N*,q是等比數(shù)列的公比).
2. 等比數(shù)列的通項公式
設(shè){an}是首項為a1,公比為q的等比數(shù)列,則第n項an=a1qn-1.
推廣:an=amqn-m.
3. 等比中項
若a,G,b成等比數(shù)列,則G為a和b的等比中項且G=.
4. 等比數(shù)列的前n項和公式
(1) 當(dāng)q=1時,Sn=na1.
(2) 當(dāng)q≠1時,Sn==.
5. 等比數(shù)列的性質(zhì)
(1) 等比數(shù)列{an}中,對任意的m,n,p,q∈N*,若m+n=p+q,則aman=apaq.特殊的,若m+n=2p,則aman=a.
(2) 等比數(shù)列{an}中,依次每m項的和(非零)仍成等比數(shù)列,即Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍成等比數(shù)列,其公比為qm(q≠-1).(其中Sm≠0)[備課札記]
, 1 等比數(shù)列的基本運算)
, 1) (1) 設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a2=-1,a1-a3=-3,則a4=________;
(2) 等比數(shù)列{an}的各項均為實數(shù),其前n項和為Sn,已知S3=,S6=,則a8=________;
(3) 設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若27a3-a6=0,則=________.
答案:(1) -8 (2) 32 (3) 28
解析:(1) 設(shè)等比數(shù)列的公比為q,很明顯q≠-1,結(jié)合等比數(shù)列的通項公式和題意可得方程組
由②除以①可得q=-2 ,代入①可得a1=1,
由等比數(shù)列的通項公式可得a4=a1q3=-8.
(2) 當(dāng)q=1時,顯然不符合題意;當(dāng)q≠1時,解得則a8=27=32.
(3) 設(shè)等比數(shù)列的公比為q,首項為a1,則=q3=27.
==1+=1+=1+q3=28.
變式訓(xùn)練
(1) 在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,若a2=1,a8=a6+2a4,則a6的值是________;
(2) 設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a3=10,a2+a4=5,則a1a2a3…an的最大值為________.
答案:(1) 4 (2) 64
解析:(1) 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,由a2=1,a8=a6+2a4得q6=q4+2q2,q4-q2-2=0,解得q2=2,則a6=a2q4=4.
(2) 因為a1+a3=10,a2+a4=5,所以公比q==,所以a1+a1=10?a1=8,a1a2a3…an=8n1+2+…+n-1=23n2-=23n-=2,所以當(dāng)n=3或4時,取最大值64.
, 2 等比數(shù)列的判定與證明)
, 2) 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,3Sn=an-1(n∈N*).
(1) 求a1,a2;
(2) 求證:數(shù)列{an}是等比數(shù)列;
(3) 求an和Sn.
(1) 解:由3S1=a1-1,得3a1=a1-1,
所以a1=-.又3S2=a2-1,即3a1+3a2=a2-1,得a2=.
(2) 證明:當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=(an-1)-(an-1-1),得=-,所以{an}是首項為-,公比為-的等比數(shù)列.
(3) 解:由(2)可得an=n,
Sn==-.
已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=4an-3(n∈N*).
(1) 求證:數(shù)列{an}是等比數(shù)列;
(2) 若數(shù)列{bn}滿足bn+1=an+bn(n∈N*),且b1=2,求數(shù)列{bn}的通項公式.
(1) 證明:依題意Sn=4an-3(n∈N*),
當(dāng)n=1時,a1=4a1-3,解得a1=1.
因為Sn=4an-3,則Sn-1=4an-1-3(n≥2),
所以當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=4an-4an-1,
整理得an=an-1.
又a1=1≠0,所以{an}是首項為1,公比為的等比數(shù)列.
(2) 解:由(1)知an=,
由bn+1=an+bn(n∈N*),得bn+1-bn=.
可得bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)
=2+=3-1(n≥2).
當(dāng)n=1時也滿足,
所以數(shù)列{bn}的通項公式為bn=3-1(n∈N*).
, 3 等比數(shù)列的性質(zhì))
, 3) 已知等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),且滿足a1a9=4,則數(shù)列{log2an}的前9項之和為________.
答案:9
解析:∵ a1a9=a=4,∴ a5=2,
∴ log2a1+log2a2+…+log2a9=log2(a1a2…a9)=log2a=9log2a5=9.
變式訓(xùn)練
(1) 各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S10=2,S30=14,則S40=________;
(2) 等比數(shù)列{am}的前n項積為Tn(n∈N*),已知am-1am+1-2am=0,且T2m-1=128,則m=________.
答案:(1) 30 (2) 4
解析:(1) 依題意有S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30仍成等比數(shù)列,2(14-S20)=(S20-2)2,得S20=6.所以S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30,即為2,4,8,16,所以S40=S30+16=30.
(2) 因為{am}為等比數(shù)列,所以am-1am+1=a.又由am-1am+1-2am=0,得am=2.則T2m-1=a,所以22m-1=128,m=4.
, 4 等比數(shù)列的應(yīng)用)
, 4) 設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.
(1) 設(shè)bn=an+1-2an,求證:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;
(2) 求數(shù)列{an}的通項公式.
(1) 證明: 由a1=1及Sn+1=4an+2,
得a1+a2=S2=4a1+2.
∴ a2=5,∴ b1=a2-2a1=3.
又
①-②,得an+1=4an-4an-1,
∴ an+1-2an=2(an-2an-1).
∵ bn=an+1-2an,∴ bn=2bn-1,
故{bn}是首項b1=3,公比為2的等比數(shù)列.
(2) 解:由(1)知bn=an+1-2an=32n-1,
∴ -=.
故是首項為,公差為的等差數(shù)列.
∴ =+(n-1)=,
故an=(3n-1)2n-2.
已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n2+2n,數(shù)列{bn}的前n項和Tn=2-bn.
(1) 求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式;
(2) 設(shè)cn=abn,證明:當(dāng)且僅當(dāng)n≥3時,cn+10,且q≠1,∴ q=.
3. (2017蘇錫常鎮(zhèn)二模)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,公比q=3,S3+S4=,則a3=________.
答案:3
解析:∵ 等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,公比q=3,S3+S4=,
∴ +=,解得a1=.則a3=32=3.
4. (2017南通四模)已知數(shù)列{an}中,a1=1,a2=4,a3=10.若{an+1-an}是等比數(shù)列,則i=________.
答案:32n-2n-3
解析:a2-a1=4-1=3,a3-a2=10-4=6,∵ {an+1-an}是等比數(shù)列,∴ 首項為3,公比為2,
∴ an+1-an=32n-1,
∴ an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)
=1+3+32+…+32n-2=1+3=32n-1-2.
則i=3-2n=32n-2n-3.
1. (2017新課標(biāo)Ⅰ)幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召,開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案:已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一項是20,接下來的兩項是20,21,再接下來的三項是20,21,22,依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N:N>100且該數(shù)列的前N項和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是________.
答案:440
解析:由題意得,數(shù)列如下:
1,
1,2,
1,2,4,
…
1,2,4,…,2k-1,
…
則該數(shù)列的前1+2+…+k=項和為S=1+(1+2)+…+(1+2+…+2k-1)=2k+1-k-2,
要使>100,有k≥14,此時k+2<2k+1,所以k+2是之后的等比數(shù)列1,2,…,2k+1的部分和,即k+2=1+2+…+2t-1=2t-1,
所以k=2t-3≥14,則t≥5,此時k=25-3=29,
對應(yīng)滿足的最小條件為N=+5=440.
2. 已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=,其中n∈N*,λ,μ為非零常數(shù).
(1) 若λ=3,μ=8,求證:{an+1}為等比數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項公式;
(2) 若數(shù)列{an}是公差不等于零的等差數(shù)列,求實數(shù)λ,μ的值.
(1) 證明:當(dāng)λ=3,μ=8時,an+1==3an+2,化為an+1+1=3(an+1),
∴ {an+1}為等比數(shù)列,首項為2,公比為3.
∴ an+1=23n-1,可得an=23n-1-1.
(2) 解:設(shè)an=a1+(n-1)d=dn-d+1.
由an+1=,可得an+1(an+2)=λa+μan+4,
∴ (dn-d+3)(dn+1)=λ(dn-d+1)2+μ(dn-d+1)+4.
令n=1,2,3,解得λ=1,μ=4,d=2.
經(jīng)過檢驗滿足題意,∴ λ=1,μ=4.
3. 已知各項不為零的數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a1=1,Sn=panan+1(n∈N*),p∈R.
(1) 若a1,a2,a3成等比數(shù)列,求實數(shù)p的值;
(2) 若a1,a2,a3成等差數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項公式.
解:(1) 當(dāng)n=1時,a1=pa1a2,a2=;當(dāng)n=2時,a1+a2=pa2a3,a3==1+.
由a=a1a3得a1a3=,即p2+p-1=0,解得p=.
(2) 由2a2=a1+a3得p=,故a2=2,a3=3,所以Sn=anan+1,
當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=anan+1-an-1an.
因為an≠0,所以an+1-an-1=2,故數(shù)列{an}的所有奇數(shù)項組成以1為首項2為公差的等差數(shù)列,其通項公式是an=1+2=n.同理,數(shù)列{an}的所有偶數(shù)項組成以2為首項2為公差的等差數(shù)列,其通項公式是an=2+2=n,所以數(shù)列{an}的通項公式是an=n.
4. 已知數(shù)列{an}的首項a1=2a+1(a是常數(shù),且a≠-1),an=2an-1+n2-4n+2(n≥2),數(shù)列{bn}的首項b1=a,
bn=an+n2(n≥2).
(1) 求證:{bn}從第2項起是以2為公比的等比數(shù)列;
(2) 設(shè)Sn為數(shù)列{bn}的前n項和,且{Sn}是等比數(shù)列,求實數(shù)a的值;
(3) 當(dāng)a>0時,求數(shù)列{an}的最小項.
(1) 證明:∵ bn=an+n2,
∴ bn+1=an+1+(n+1)2=2an+(n+1)2-4(n+1)+2+(n+1)2=2an+2n2=2bn(n≥2).
由a1=2a+1,得a2=4a,b2=a2+4=4a+4.
∵ a≠-1,
∴ b2≠0,即{bn}從第2項起是以2為公比的等比數(shù)列.
(2) 解:由(1)知bn=
Sn=a+=-3a-4+(2a+2)2n,當(dāng)n≥2時,==2+.
∵ {Sn}是等比數(shù)列,
∴ (n≥2)是常數(shù),
∴ 3a+4=0,即a=-.
(3) 解:由(1)知當(dāng)n≥2時,bn=(4a+4)2n-2=(a+1)2n,
∴ an=
∴ 數(shù)列{an}為2a+1,4a,8a-1,16a,32a+7,…,
顯然最小項是前三項中的一項.
當(dāng)a∈時,最小項為8a-1;
當(dāng)a=時,最小項為4a或8a-1;
當(dāng)a∈時,最小項為4a;
當(dāng)a=時,最小項為4a或2a+1;
當(dāng)a∈時,最小項為2a+1.
1. 重點是本著化多為少的原則,解題時,需抓住首項a1和公比q這兩個基本量.
2. 運用等比數(shù)列求和公式時,要對q=1和q≠1進行討論.
3. 解決等比數(shù)列有關(guān)問題的常見思想方法:①方程的思想:等比數(shù)列中有五個量a1,q,n,an,Sn,一般可以“知三求二”,通過列方程組求關(guān)鍵量a1,q.②分類的思想:當(dāng)a1>0,q>1或者a1<0,00,01時,等比數(shù)列{an}遞減;當(dāng)q<0時,等比數(shù)列為擺動數(shù)列;當(dāng)q=1時,等比數(shù)列為常數(shù)列.③函數(shù)的思想:用函數(shù)的觀點來理解和掌握等比數(shù)列的概念、通項公式和前n項和公式.
4. 巧用性質(zhì),減少運算量,在解題中非常重要.
第4課時 數(shù)列的求和(對應(yīng)學(xué)生用書(文)、(理)88~89頁)
理解數(shù)列的通項公式;會由數(shù)列的前n項和求數(shù)列通項公式;掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列前n項和的公式;數(shù)列求和的常用方法:分組求和法、錯位相減法、裂項相消法、倒序相加法等.
① 掌握求數(shù)列通項公式的常用方法.② 掌握數(shù)列求和的常用方法.
1. (必修5P36例2改編)在數(shù)列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55中,x=________.
答案:13
解析:由an+2=an+1+an,得x=5+8=13.
2. (必修5P68復(fù)習(xí)題13(1)改編)求和:++…+=________.
答案:1-
解析:原式=++…+=1-.
3. (必修5P69本章測試12改編)等比數(shù)列1,2,4,8,…中從第5項到第10項的和為________.
答案:1 008
解析:由a1=1,a2=2,得q=2,∴ S10==1 023,S4==15,∴ S10-S4=1 008.
4. (必修5P68復(fù)習(xí)題13(2)改編)已知數(shù)列{an}的通項公式an=,則該數(shù)列的前________項之和等于9.
答案:99
解析:由題意知,an==-,所以Sn=(-1)+(-)+…+(-)=-1=9,解得n=99.
5. (必修5P62習(xí)題12改編)數(shù)列{an}中,an=(2n-1)3n-1,則數(shù)列{an}的前n項和Sn=______
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