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2019屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題理 (III) 說明：1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分. 滿分150分．考試時 間120分鐘． 2.將試題卷中題目的答案填(涂)在答題卷 (答題卡)的相應(yīng)位置. 一. 選擇題： 本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1. 設(shè)集合，集合 ，則 等于( ) A.(1,2) B. (1,2] C. [1,2) D. [1,2] 2. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為( ) A. B. C. D. 3. 已知拋物線的準(zhǔn)線方程是，則的值為( ) A. B. C. D. 4. 已知等差數(shù)列{}，，則此數(shù)列的前11項的和( ) A.44 B.33 C.22 D.11 5. 已知函數(shù)則下列結(jié)論正確的是( ) A.是偶函數(shù) B.在上是增函數(shù) C.是周期函數(shù) D.的值域為 6. 平面向量的夾角為等于( ) A. B. C.12 D. 7. 已知都是實(shí)數(shù)，那么“”是“”的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 8. 若不等式組表示的平面區(qū)域是面積為的三角形，則的值為( ) A. B. C. D. 9. 已知函數(shù)，其中，，則函數(shù)在上是增函數(shù)的概率為( ) A. B. C. D. 10. 有六人排成一排，其中甲只能在排頭或排尾，乙丙兩人必須相鄰，則滿足要求的 排法有( ) A.34種 B.48種 C.96種 D.144種 11. 已知直線被雙曲線的兩條漸近線所截得線段的長度恰好等于其一個焦點(diǎn)到漸近線的距離,則此雙曲線的離心率為( ) A. B. C.2 D.3 12. 如果函數(shù)在區(qū)間I上是增函數(shù)，而函數(shù)在區(qū)間I上是減函數(shù)，那么稱函數(shù)是區(qū)間I上“緩增函數(shù)”，區(qū)間I叫做“緩增區(qū)間”.若函數(shù)是區(qū)間I上“緩增函數(shù)”，則“緩增區(qū)間”I為( ) A. B. C. D. 第Ⅱ卷 （非選擇題 共90分） 二. 填空題： 本大題共4小題，每小題5分． 13. 已知球的表面積為，用一個平面截球，使截面圓的半徑為2，則截面圓心與球心的距離是__________. 14. 閱讀左下面的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的結(jié)果為__________. 15. 我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載了公元前344年商鞅督造一種標(biāo)準(zhǔn)量器——商鞅銅方升，其三視圖如上右圖所示（單位：寸），若取3，其體積為12.6（立方寸），則圖中的為__________. 16. 已知數(shù)列滿足：對任意均有（為常數(shù)，且），若，則所有可能值的集合為__________. 三. 解答題：本大題共6小題. 解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟． 17．（本小題滿分12分） 北 A P 東 B C D “鄭一”號宇宙飛船返回艙順利到達(dá)地球后，為了及時將航天員救出，地面指揮中心在返回艙預(yù)計到達(dá)的區(qū)域安排了同一條直線上的三個救援中心（記為）．當(dāng)返回艙距地面1萬米的點(diǎn)時（假定以后垂直下落，并在點(diǎn)著陸），救援中心測得飛船位于其南偏東方向，仰角為，救援中心測得飛船位于其南偏西方向，仰角為．救援中心測得著陸點(diǎn)位于其正東方向. （Ⅰ）求兩救援中心間的距離； （Ⅱ）救援中心與著陸點(diǎn)間的距離. 18. （本小題滿分12分） 某批發(fā)市場對某種商品的日銷售量（單位：噸）進(jìn)行統(tǒng)計，最近50天的統(tǒng)計結(jié)果如下： 日銷售量 1 1.5 2 天數(shù) 10 25 15 頻率 0.2 a b 若以上表中頻率作為概率，且每天的銷售量相互獨(dú)立． （Ⅰ）求5天中該種商品恰好有兩天的銷售量為1．5噸的概率； （Ⅱ）已知每噸該商品的銷售利潤為2千元，X表示該種商品某兩天銷售利潤的和（單位：千元），求X的分布列和數(shù)學(xué)期望. 19．（本小題滿分12分） 如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，⊥底面，是棱的中點(diǎn)，且，. （Ⅰ）求證：⊥平面； （Ⅱ）如果是棱上一點(diǎn)，且直線與平面所成角的正弦值為，求的值. 20.（本小題滿分12分） 已知圓心在軸上的圓過點(diǎn)和，圓的方程為． （Ⅰ）求圓的方程； （Ⅱ）由圓上的動點(diǎn)向圓作兩條切線分別交軸于，兩點(diǎn)，求的取值范圍. 21.（本小題滿分12分） 已知函數(shù). （Ⅰ）當(dāng)時，比較與1的大?。? （Ⅱ）當(dāng)時，如果函數(shù)僅有一個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍； (Ⅲ)求證：對于一切正整數(shù)，都有. 請考生在第22，23題中任選一題做答，在答題卷上將所選題號涂黑，如果多做，則按所做的第一題記分. 22.（本小題滿分10分）選修4-4：極坐標(biāo)系與參數(shù)方程 以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，且兩個坐標(biāo)系取相等的長度單位．已知直線的參數(shù)方程為 (為參數(shù)，)，曲線的極坐標(biāo)方程為． （Ⅰ）求曲線的直角坐標(biāo)方程； （Ⅱ）設(shè)直線與曲線相交于、兩點(diǎn)，當(dāng)變化時，求的最小值． 23.（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講 已知函數(shù). （Ⅰ）當(dāng)時，求不等式的解集； （Ⅱ）若二次函數(shù)與函數(shù)的圖象恒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 高三上學(xué)期期中考試 數(shù)學(xué)（理）試題參考答案 第Ⅰ卷 （選擇題，共60分） 一．選擇題： 本大題共12小題，每小題5分． 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A B C D B A C D C C D 第Ⅱ卷 （ 非選擇題，共90分） 二．填空題： 本大題共4小題，每小題5分． 13． 14． 15．1.6 16. 三．解答題： 本大題共6小題. 解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟． 17. 解：（Ⅰ）由題意知，則均為直角三角形……1分 在中，，解得…………………………2分 在中，，解得…………………………3分 又，萬米. …………………………5分 （Ⅱ），，…………………………7分 又，所以.………………………9分 在中，由正弦定理，…………………………10分 萬米…………………………12分 18. 解：（Ⅰ）， ，………………………2分 依題意，隨機(jī)選取一天，銷售量為噸的概率， 設(shè)5天中該種商品有天的銷售量為1.5噸，則， ．…………5分 （Ⅱ）的可能取值為，………………6分 則：， ， , , . 所以的分布列為： 4 5 6 7 8 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09 ………10分 的數(shù)學(xué)期望．……12分 19. 解：（Ⅰ）連結(jié)． 因為在中，，， 所以 ， 所以 ． 因為∥，所以． 又因為 底面， 所以 ．因為 ， 所以 ⊥平面．--------------------------- 5分 （Ⅱ）如圖以為原點(diǎn)，所在直線分別 為軸建立空間直角坐標(biāo)系. 則，，，，． 因為 是棱的中點(diǎn)，所以 ． 所以 ，． 設(shè)為平面的法向量， 所以， 即 ， 令 ，則 ，所以平面的法向量．---------------------- 8分 因為是在棱上一點(diǎn)，所以設(shè)，，． 設(shè)直線與平面所成角為， 因為平面的法向量， 所以. 解得，即，，所以 .--------------------------------- 12分 20. 解：（Ⅰ）設(shè)圓的方程為：，……………………1分 因為圓過點(diǎn)和， 所以……………………………………………………3分 解得，． 所以圓的方程為．……………………………………5分 （Ⅱ）設(shè)圓上的動點(diǎn)的坐標(biāo)為，則， 即，解得．…………………………………6分 由圓與圓的方程可知，過點(diǎn)向圓所作兩條切線的斜率必存在， 設(shè)的方程為：，則點(diǎn)的坐標(biāo)為， 同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以， 因為，是圓的切線，所以，滿足， 即，是方程的兩根， 即所以 因為，所以．………………………9分 設(shè)，則． 由，可知在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)， 所以， ， 所以的取值范圍為．……………………………12分 21. 解：（Ⅰ）當(dāng)時，，其定義域為 因為，所以在上是增函數(shù) 故當(dāng)時，；當(dāng)時，； 當(dāng)時， （Ⅱ）當(dāng)時，，其定義域為 ，令得， 因為當(dāng)或時，；當(dāng)時， 所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，在上遞增 且的極大值為，極小值為 又當(dāng)時，；當(dāng)時， 因為函數(shù)僅有一個零點(diǎn)，所以函數(shù)的圖象與直線僅 有一個交點(diǎn).所以或 (Ⅲ)根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論知當(dāng)時， 即當(dāng)時，，即令，則有 從而得，， 故得 即 所以. 22. 解：（Ⅰ）由，得 所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為.……………………5分 （Ⅱ）將直線的參數(shù)方程代入，得. 設(shè)、兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為、，則，， ∴， 當(dāng)時，的最小值為4. ……………………10分 23. 解：（Ⅰ）當(dāng)時，，……………3分 由易得不等式的解集為；……………5分 （Ⅱ）由二次函數(shù)，該函數(shù)在取得最小值2， 因為在處取得最大值，………7分 所以要使二次函數(shù)與函數(shù)的圖象恒有公共點(diǎn)， 只需，即.……………10分