《新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第九章 :第一節(jié)變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算回扣主干知識(shí)提升學(xué)科素養(yǎng)》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第九章 :第一節(jié)變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算回扣主干知識(shí)提升學(xué)科素養(yǎng)(4頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料
第一節(jié) 變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算
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1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景.
2.理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.
3.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)y=c(c為常數(shù)),y=x,y=x2,y=x3,y=的導(dǎo)數(shù).
4.能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù),能求簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)(僅限于形如y=f(ax+b)的復(fù)合函數(shù))的導(dǎo)數(shù).
1.導(dǎo)數(shù)的概念
(1)函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù):
稱函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時(shí)變化率
li =li 為函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù),記作f′(x0)或y′|x=x0,即f′(x0)=
2、li =li .
(2)導(dǎo)數(shù)的幾何意義:
函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是在曲線y=f(x)上點(diǎn)P(x0,y0)處的切線的斜率(瞬時(shí)速度就是位移函數(shù)s(t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)).相應(yīng)地,切線方程為y-y0=f′(x0)·(x-x0).
(3)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù):稱函數(shù)f′(x)=li 為f(x)的導(dǎo)函數(shù).
2.幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
原函數(shù)
導(dǎo)函數(shù)
f(x)=c(c為常數(shù))
f′(x)=0
f(x)=xn(n∈Q)
f′(x)=nxn-1
f(x)=sin x
f′(x)=cos_x
f(x)=cos x[來(lái)源:]
f′(x)=-sin_x
f(x)
3、=ax
f′(x)=axln_a
f(x)=ex
f′(x)=ex
f(x)=logax
f′(x)=
f(x)=ln x
f′(x)=[來(lái)源:]
3.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
(1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x);
(2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);[來(lái)源:]
(3)′=(g(x)≠0).
4.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)[來(lái)源:]
復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx′=y(tǒng)u′·ux′,即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積.
1.f′(x)與f′(x0)有何區(qū)別
4、與聯(lián)系?
提示:f′(x)是一個(gè)函數(shù),f′(x0)是常數(shù),f′(x0)是函數(shù)f′(x)在x0處的函數(shù)值.
2.曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,y0)處的切線與過(guò)點(diǎn),y0)的切線,兩種說(shuō)法有區(qū)別嗎?
提示:(1)曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,y0)處的切線是指P為切點(diǎn),斜率為k=f′(x0)的切線,是唯一的一條切線.
(2)曲線y=f(x)過(guò)點(diǎn)P(x0,y0)的切線,是指切線經(jīng)過(guò)P點(diǎn).點(diǎn)P可以是切點(diǎn),也可以不是切點(diǎn),而且這樣的直線可能有多條.
3.過(guò)圓上一點(diǎn)P的切線與圓只有公共點(diǎn)P,過(guò)函數(shù)y=f(x)圖象上一點(diǎn)P的切線與圖象也只有公共點(diǎn)P嗎?
提示:不一定,它們可能有2個(gè)或3個(gè)或無(wú)數(shù)多
5、個(gè)公共點(diǎn).
1.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是( )
A.′=1+ B.(log2x)′=
C.(3x)′=3xlog3e D.(x2cos x)′=-2sin x
解析:選B ′=x′+′=1-;(3x)=3xln 3;(x2cos x)′=(x2)′cos x+ x2(cos x)′=2xcos x-x2sin x.
2.若f(x)=ax4+bx2+c滿足f′(1)=2,則f′(-1)=( )
A.-4 B.-2 C.2 D.4
解析:選B ∵f(x)=ax4+bx2+c,∴f′(x)=4ax3+2bx,
又f
6、′(1)=2,∴4a+2b=2,∴f′(-1)=-4a-2b=-2.
3.曲線y=2x-x3在x=-1處的切線方程為( )
A.x+y+2=0 B.x+y-2=0
C.x-y+2=0 D.x-y-2=0
解析:選A ∵f(x)=2x-x3,∴f′(x)=2-3x2.∴f′(-1)=2-3=-1.
又f(-1)=-2+1=-1,∴切線方程為y+1=-(x+1),即x+y+2=0.
4.曲線y=ax2-ax+1(a≠0)在點(diǎn)(0,1)處的切線與直線2x+y+1=0垂直,則a=( )[來(lái)源:]
A. B.- C. D.-
7、解析:選B ∵y=ax2-ax+1,∴y′=2ax-a,∴y′|x=0=-a.
又∵曲線y=ax2-ax+1(a≠0)在點(diǎn)(0,1)處的切線與直線2x+y+1=0垂直,∴(-a)·(-2)=-1,即a=-.
5.(教材習(xí)題改編)如圖,函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)P處的切線方程是y=-x+8,則f(5)+f′(5)=________.
解析:由題意知f′(5)=-1,f(5)=-5+8=3,∴f(5)+f′(5)=3-1=2.
答案:2
易誤警示(十一)
導(dǎo)數(shù)幾何意義應(yīng)用的易誤點(diǎn)
[典例] 若存在過(guò)點(diǎn)(1,0)的直線與曲線y=x3和y=ax2+x-9都相切,則a等于( )
8、
A.-1或- B.-1或
C.-或- D.-或7
[解題指導(dǎo)] 由于點(diǎn)(1,0)不在曲線y=x3上,故點(diǎn)(1,0)不是切點(diǎn),因此應(yīng)設(shè)直線與曲線y=x3相切于點(diǎn)(x0,x),通過(guò)直線與y=x3相切求得切點(diǎn)坐標(biāo),然后再求a的值.
[解析] 設(shè)過(guò)(1,0)的直線與y=x3相切于點(diǎn)(x0,x),所以切線方程為y-x=3x(x-x0),即y=3xx-2x,又(1,0)在切線上,則x0=0或x0=,當(dāng)x0=0時(shí),由y=0與y=ax2+x-9相切可得a=-,當(dāng)x0=時(shí),由y=x-與y=ax2+x-9相切可得a=-1,所以選A.
[答案] A
[名師點(diǎn)評(píng)]
9、 1.如果審題不仔細(xì),未對(duì)點(diǎn)(1,0)的位置進(jìn)行判斷,誤認(rèn)為(1,0)是切點(diǎn),則易誤選B.
2.解決與導(dǎo)數(shù)的幾何意義有關(guān)的問(wèn)題時(shí), 應(yīng)重點(diǎn)注意以下幾點(diǎn):
(1)首先確定已知點(diǎn)是否為曲線的切點(diǎn)是解題的關(guān)鍵;
(2)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則是正確解決此類問(wèn)題的保證;
(3)熟練掌握直線的方程與斜率的求解是正確解決此類問(wèn)題的前提.
已知曲線f(x)=2x3-3x,過(guò)點(diǎn)M(0,32)作曲線f(x)的切線,則切線的方程為________________.
解析:設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為N(x0,2x-3x0),由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知切線的斜率k就是切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值,而f′(x)=6x2-3,則切線的斜率k=f′(x0)=6x-3,所以切線方程為y=(6x-3)x+32.又點(diǎn)N在切線上,所以有2x-3x0=(6x-3)x0+32,解得x0=-2.故切線方程為y=21x+32.
答案:y=21x+32