中檔題保分練(四) 1．(2018唐山模擬)已知a＝(2sin ωx，sin ωx＋cos ωx)，b＝(cos ωx，(sin ωx－cos ωx))，0＜ω＜1，函數(shù)f(x)＝ab，直線x＝是函數(shù)f(x)圖象的一條對稱軸． (1)求函數(shù)f(x)的解析式及單調(diào)遞增區(qū)間； (2)在△ABC中，已知f(A)＝0，c＝3，a＝，求b. 解析：(1) f(x)＝ab＝sin 2ωx－cos 2ωx＝2sin. ∵x＝是函數(shù)f(x)圖象的一條對稱軸， ∴f＝2，∴2ω－＝kπ＋，k∈Z. ∴ω＝＋，k∈Z. ∵ω∈(0,1)，∴k＝0，ω＝， ∴f(x)＝2sin. 令2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z，得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z. ∴f(x)＝2sin，f(x)的增區(qū)間為，k∈Z. (2) ∵f(A)＝2sin＝0，∴A－＝kπ，∴A＝kπ＋，k∈Z. ∵A∈(0，π)，∴A＝. 在△ABC中，由余弦定理：cos A＝，∴b2＋c2－a2－2bccos A＝0， ∴b2＋32－13－2b3＝0， ∴b2－3b－4＝0， ∴(b－4)(b＋1)＝0. ∵b＞0，∴b＝4. 2．(2018哈師大附中模擬)哈師大附中高三學(xué)年統(tǒng)計(jì)甲、乙兩個(gè)班級一模數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)(滿分150分)，每個(gè)班級20名同學(xué)，現(xiàn)有甲、乙兩班本次考試數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)如下列莖葉圖所示： (1)根據(jù)莖葉圖求甲、乙兩班同學(xué)數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)的中位數(shù)，并將乙班同學(xué)的分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖填充完整； (2)根據(jù)莖葉圖比較在一?？荚囍?，甲、乙兩班同學(xué)數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)的平均水平和分?jǐn)?shù)的分散程度(不要求計(jì)算出具體值，給出結(jié)論即可)； (3)若規(guī)定分?jǐn)?shù)在[100,120)的成績?yōu)榱己?，分?jǐn)?shù)在[120,150)的成績?yōu)閮?yōu)秀，現(xiàn)從甲、乙兩班成績?yōu)閮?yōu)秀的同學(xué)中，按照各班成績?yōu)閮?yōu)秀的同學(xué)人數(shù)占兩班總的優(yōu)秀人數(shù)的比例分層抽樣，共選出12位同學(xué)參加數(shù)學(xué)提優(yōu)培訓(xùn)，求這12位同學(xué)中恰含甲、乙兩班所有140分以上的同學(xué)的概率． 解析：(1)甲班數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)的中位數(shù)：＝118， 乙班數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)的中位數(shù)：＝128. (2)乙班學(xué)生數(shù)學(xué)考試分?jǐn)?shù)的平均水平高于甲班學(xué)生數(shù)學(xué)考試分?jǐn)?shù)的平均水平；甲班學(xué)生數(shù)學(xué)考試分?jǐn)?shù)的分散程度高于乙班學(xué)生數(shù)學(xué)考試分?jǐn)?shù)的分散程度. (3)由頻率分布直方圖可知：甲、乙兩班數(shù)學(xué)成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)分別為10、14，若從中分層抽樣選出12人，則應(yīng)從甲、乙兩班各選出5人、7人， 設(shè)“選出的12人中恰含有甲、乙兩班的所有140分以上的同學(xué)”為事件A， 則P(A)＝＝ ＝＝. 所以選出的12人中恰含有甲、乙兩班的所有140分以上的同學(xué)的概率為. 3．如圖，矩形ABCD和直角梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF＝90，BE∥CF，CE⊥EF，AD＝，EF＝2. (1)求異面直線AD與EF所成的角； (2)當(dāng)AB的長為何值時(shí)，二面角AEFC的大小為45？ 解析：如圖，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CB，CF和CD作為x軸，y軸和z軸建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz.設(shè)AB＝a，BE＝b，CF＝c(b<c)， 則C(0,0,0)，A(，0，a)，B(，0,0)，E(，b,0)，F(xiàn)(0，c,0)，D(0,0，a)， (1)＝(，0,0)，＝(，0,0)，＝(，b－c,0)， 由||＝2，得3＋(b－c)2＝4，∴b－c＝－1. 所以＝(，－1,0)． 所以cos〈，〉＝＝＝， 所以異面直線AD與EF所成的角為30. (2)設(shè)n＝(1，y，z)為平面AEF的法向量， 則n＝0，n＝0， 結(jié)合||2＋||2＝||2－||2， 解得n＝(1，，)． 又因?yàn)锽A⊥平面BEFC，＝(0,0，a)， 所以|cos〈n，〉|＝＝＝， 得到a＝. 所以當(dāng)AB為時(shí)，二面角AEFC的大小為45. 4．請?jiān)谙旅鎯深}中任選一題作答 (選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程)在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為：ρ＝2cos θ. (1)若曲線C2參數(shù)方程為：(α為參數(shù))， 求曲線C1的直角坐標(biāo)方程和曲線C2的普通方程； (2)若曲線C2參數(shù)方程為(t為參數(shù))，A(0,1)，且曲線C1與曲線C2 交點(diǎn)分別為P，Q，求＋的取值范圍， 解析：(1) ∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ， 又∵ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x， ∴曲線C1的直角坐標(biāo)方程為：x2＋y2－2x＝0. 曲線C2的普通方程為：x2＋(y－1)2＝t2. (2)將C2的參數(shù)方程：(t為參數(shù))代入C1的方程： x2＋y2－2x＝0得： t2＋(2sin α－2cos α)t＋1＝0. ∵Δ＝(2sin α－2cos α)2－4＝8sin2－4＞0， ∴∈， ∴sin∈∪. t1＋t2＝－(2sin α－2cos α)＝－2sin，t1t2＝1＞0. ∵t1t2＝1＞0， ∴t1，t2同號(hào)，∴|t1|＋|t2|＝|t1＋t2|. 由t的幾何意義可得： ＋＝＋＝＝ ＝ ＝2∈(2,2]， ∴ ＋∈(2,2]． (選修4－5：不等式選講)已知函數(shù)f(x)＝|2x＋b|＋|2x－b|. (1)若b＝1，解不等式f(x)＞4， (2)若不等式f(a)＞|b＋1|對任意的實(shí)數(shù)a恒成立，求b的取值范圍． 解析：(1) b＝1時(shí)，f(x)＝|2x＋1|＋|2x－1|＞4， ?x＞1或?x＜－1或?x∈?. 所以解集為(－∞，－1)∪(1，＋∞)． (2)f(a)＝|2a＋b|＋|2a－b|＝|2a＋b|＋|b－2a|≥|(2a＋b)＋(b－2a)|＝|2b|. 當(dāng)且僅當(dāng)(2a＋b)(b－2a)≥0時(shí)(f(a))min＝|2b|， 所以|2b|＞|b＋1|，所以(2b)2＞(b＋1)2，所以(3b＋1)(b－1)＞0. 所以b的取值范圍為∪(1，＋∞)．