四川省成都市高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線及方程 第2課時 橢圓的簡單幾何性質(zhì)同步測試 新人教A版選修1 -1.doc
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第2課時 橢圓的簡單幾何性質(zhì) 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)(水平一 ) 1.已知橢圓x210-m+y2m-2=1的焦距為4,則m等于( ). A.4 B.8 C.4或8 D.以上均不對 【解析】①當(dāng)橢圓的焦點在x軸上時,10-m-(m-2)=4,解得m=4;②當(dāng)橢圓的焦點在y軸上時,m-2-(10-m)=4,解得m=8.故選C. 【答案】C 2.已知F1,F2是橢圓的兩個焦點,以線段F1F2為邊作正△MF1F2,若邊MF1的中點在此橢圓上,則此橢圓的離心率為( ). A.3-12 B.2-1 C.22 D.3-1 【解析】如圖,由題意知△F1PF2為直角三角形, ∠PF2F1=30, 又|F1F2|=2c,所以|PF1|=c,|PF2|=3c, 所以2a=|PF1|+|PF2|=(1+3)c, 所以ca=21+3=2(3-1)2=3-1. 【答案】D 3.若將一個橢圓繞中心旋轉(zhuǎn)90,所得橢圓的兩頂點恰好是旋轉(zhuǎn)前橢圓的兩焦點,這樣的橢圓稱為“對偶橢圓”.下列橢圓的方程中,是“對偶橢圓”的方程的是( ). A.x28+y24=1 B.x23+y25=1 C.x26+y22=1 D.x26+y29=1 【解析】由題意,當(dāng)b=c時,將一個橢圓繞中心旋轉(zhuǎn)90,所得橢圓的兩頂點恰好是旋轉(zhuǎn)前橢圓的兩焦點,即該橢圓為“對偶橢圓”.只有選項A中的b=c=2符合題意. 【答案】A 4.設(shè)橢圓的兩個焦點分別為F1,F2,過點F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P,若△F1PF2為等腰直角三角形,則橢圓的離心率是( ). A.22 B.2-12 C.2-2 D.2-1 【解析】設(shè)橢圓焦點在x軸上,點P在x軸上方,則其坐標(biāo)為c,b2a,因為△F1PF2為等腰直角三角形,所以|PF2|=|F1F2|,即b2a=2c,即b2=2ac,a2-c2=2ac,等式兩邊同除以a2,化簡得1-e2=2e,解得e=2-1,故選D. 【答案】D 5.經(jīng)過點(2,-3)且與橢圓9x2+4y2=36有共同焦點的橢圓方程為 . 【解析】橢圓9x2+4y2=36可化為x24+y29=1, 則它的兩個焦點分別為(0,-5),(0,5). 設(shè)所求橢圓的方程為x2λ+y2λ+5=1(λ>0). 又該橢圓過點(2,-3), 所以4λ+9λ+5=1,解得λ=10或λ=-2(舍去). 所以所求橢圓的方程為x210+y215=1. 【答案】x210+y215=1 6.橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右頂點分別是A、B,左、右焦點分別是F1、F2.若|AF1|、|F1F2|、|F1B|成等比數(shù)列,則該橢圓的離心率為 . 【解析】∵A、B分別為左、右頂點,F1、F2分別為左、右焦點,∴|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|BF1|=a+c.又由|AF1|、|F1F2|、|F1B|成等比數(shù)列,得(a-c)(a+c)=4c2,即a2=5c2,∴離心率e=55. 【答案】 55 7.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2,離心率e=22,連接橢圓的四個頂點所得四邊形的面積為42. (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)設(shè)A,B是直線l:x=22上不同的兩點,若AF1BF2=0,求|AB|的最小值. 【解析】(1)由題意得e=ca=22,a2=b2+c2,S=122a2b=42, 解得a=2,b=2,c=2. 所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y22=1. (2)由(1)知,點F1(-2,0),F2(2,0),設(shè)直線l:x=22上不同的兩點A,B的坐標(biāo)分別為A(22,y1),B(22,y2),則AF1=(-32,-y1),BF2=(-2,-y2),由AF1BF2=0得y1y2+6=0, 即y2=-6y1,不妨設(shè)y1>0,則|AB|=|y1-y2|=y1+6y1≥26,當(dāng)y1=6,y2=-6時取等號,所以|AB|的最小值是26. 拓展提升(水平二) 8.設(shè)F1,F2分別是橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右焦點,P為直線x=3a2上一點,△F2PF1是底角為30的等腰三角形,則E的離心率為( ). A.12 B.23 C.34 D.45 【解析】 設(shè)直線x=3a2與x軸交于點M,則∠PF2M=60,在Rt△PF2M中,|PF2|=|F1F2|=2c,|F2M|=3a2-c,故cos 60=|F2M||PF2|=3a2-c2c=12,解得ca=34,故離心率e=34. 【答案】C 9.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知A、B1、B2分別為橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右、下、上頂點,F是橢圓C的右焦點.若B2F⊥AB1,則橢圓C的離心率是 . 【解析】由題意得-bcba=-1?b2=ac?a2-c2=ac?1-e2=e,又0下載提示(請認(rèn)真閱讀)
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