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第2講　力的合成與分解 一、力的合成 1.合力與分力 (1)定義：如果幾個力共同作用產(chǎn)生的效果與一個力的作用效果相同，這一個力就叫做那幾個力的合力，那幾個力叫做這一個力的分力. (2)關(guān)系：合力與分力是等效替代關(guān)系. 2.共點力 作用在物體的同一點，或作用線的延長線交于一點的幾個力.如圖1均為共點力. 圖1 3.力的合成 (1)定義：求幾個力的合力的過程. (2)運算法則 ①平行四邊形定則：求兩個互成角度的分力的合力，可以用表示這兩個力的線段為鄰邊作平行四邊形，這兩個鄰邊之間的對角線就表示合力的大小和方向.如圖2甲所示，F(xiàn)1、F2為分力，F(xiàn)為合力. 圖2 ②三角形定則：把兩個矢量的首尾順次連接起來，第一個矢量的首到第二個矢量的尾的有向線段為合矢量.如圖乙，F(xiàn)1、F2為分力，F(xiàn)為合力. 自測1　(多選)關(guān)于幾個力及其合力，下列說法正確的是(　　) A.合力的作用效果跟原來幾個力共同作用產(chǎn)生的效果相同 B.合力與原來那幾個力同時作用在物體上 C.合力的作用可以替代原來那幾個力的作用 D.求幾個力的合力遵循平行四邊形定則 答案　ACD 自測2　教材P64第4題改編(多選)兩個力F1和F2間的夾角為θ，兩力的合力為F.以下說法正確的是(　　) A.若F1和F2大小不變，θ角越小，合力F就越大 B.合力F總比分力F1和F2中的任何一個力都大 C.如果夾角θ不變，F(xiàn)1大小不變，只要F2增大，合力F就必然增大 D.合力F的作用效果與兩個分力F1和F2共同產(chǎn)生的作用效果是相同的 答案　AD 二、力的分解 1.定義：求一個力的分力的過程. 力的分解是力的合成的逆運算. 2.遵循的原則 (1)平行四邊形定則.(2)三角形定則. 3.分解方法 (1)效果分解法.如圖3所示，物體重力G的兩個作用效果，一是使物體沿斜面下滑，二是使物體壓緊斜面，這兩個分力與合力間遵循平行四邊形定則，其大小分別為G1＝Gsin θ，G2＝Gcos θ. 圖3 (2)正交分解法. 自測3　已知兩個共點力的合力為50 N，分力F1的方向與合力F的方向成30角，分力F2的大小為30 N.則(　　) A.F1的大小是唯一的 B.F2的方向是唯一的 C.F2有兩個可能的方向 D.F2可取任意方向 答案　C 解析　由F1、F2和F的矢量三角形圖可以看出： 因F2＝30 N＞F20＝Fsin 30＝25 N 且F2＜F，所以F1的大小有兩個，即F1′和F1″，F(xiàn)2的方向有兩個，即F2′的方向和F2″的方向，故選項A、B、D錯誤，選項C正確. 三、矢量和標量 1.矢量：既有大小又有方向的物理量，疊加時遵循平行四邊形定則，如速度、力等. 2.標量：只有大小沒有方向的物理量，求和時按代數(shù)法則相加，如路程、速率等. 自測4　下列各組物理量中全部是矢量的是(　　) A.位移、速度、加速度、力 B.位移、時間、速度、路程 C.力、位移、速率、加速度 D.速度、加速度、力、路程 答案　A 命題點一　共點力的合成 1.兩個共點力的合成 |F1－F2|≤F合≤F1＋F2，即兩個力大小不變時，其合力隨夾角的增大而減小，當兩力反向時，合力最??；當兩力同向時，合力最大. 2.三個共點力的合成 (1)最大值：三個力共線且同向時，其合力最大，為F1＋F2＋F3. (2)最小值：任取兩個力，求出其合力的范圍，如果第三個力在這個范圍之內(nèi)，則三個力的合力的最小值為零，如果第三個力不在這個范圍內(nèi)，則合力的最小值為最大的一個力減去另外兩個較小的力的大小之和. 3.幾種特殊情況的共點力的合成 類型 作圖 合力的計算 互相垂直 F＝ tan θ＝ 兩力等大，夾角為θ F＝2F1cos F與F1夾角為 兩力等大，夾角為120 合力與分力等大 F′與F夾角為60 4.力合成的方法 (1)作圖法 (2)計算法 若兩個力F1、F2的夾角為θ，如圖4所示，合力的大小可由余弦定理得到： 圖4 F＝ tan α＝. 例1　(多選)兩個共點力F1、F2大小不同，它們的合力大小為F，則(　　) A.F1、F2同時增大一倍，F(xiàn)也增大一倍 B.F1、F2同時增加10 N，F(xiàn)也增加10 N C.F1增加10 N，F(xiàn)2減少10 N，F(xiàn)一定不變 D.若F1、F2中的一個增大，F(xiàn)不一定增大 答案　AD 解析　根據(jù)求合力的公式F＝(θ為F1、F2的夾角)，若F1、F2都變?yōu)樵瓉淼?倍，合力也一定變?yōu)樵瓉淼?倍，A正確；對于B、C兩種情況，力的變化不是按比例增加或減少的，不能判斷合力的變化情況，B、C錯誤；若F1與F2共線反向，F(xiàn)1＞F2，則F＝F1－F2，F(xiàn)1增大時，F(xiàn)增大，F(xiàn)2增大且小于F1時，F(xiàn)減小，所以D正確. 例2　(多選)一物體靜止于水平桌面上，兩者之間的最大靜摩擦力為5 N，現(xiàn)將水平面內(nèi)三個力同時作用于物體的同一點，三個力的大小分別為2 N、2 N、3 N.下列關(guān)于物體的受力情況和運動情況判斷正確的是(　　) A.物體所受靜摩擦力可能為2 N B.物體所受靜摩擦力可能為4 N C.物體可能仍保持靜止 D.物體一定被拉動 答案　ABC 解析　兩個2 N力的合力范圍為0～4 N，然后與3 N的力合成，則三個力的合力范圍為0～7 N，由于最大靜摩擦力為5 N，因此可判定A、B、C正確，D錯誤. 變式1　(多選)已知力F，且它的一個分力F1跟F成30角，大小未知，另一個分力F2的大小為F，方向未知，則F1的大小可能是(　　) A. B. C. D.F 答案　AC 變式2　水平橫梁一端插在墻壁內(nèi)，另一端裝光滑小滑輪且一輕繩的一端C固定于墻壁上，另一端跨過滑輪后懸掛一質(zhì)量m＝10 kg的重物，∠CBA＝30.如圖5所示，則滑輪受到繩子的作用力為(g取10 m/s2)(　　) 圖5 A.50 N B.50 N C.100 N D.100 N 答案　C 命題點二　力分解的兩種常用方法 1.效果分解法 按力的作用效果分解(思路圖) 2.正交分解法 (1)定義：將已知力按互相垂直的兩個方向進行分解的方法. (2)建立坐標軸的原則：一般選共點力的作用點為原點，在靜力學中，以少分解力和容易分解力為原則(使盡量多的力分布在坐標軸上)；在動力學中，往往以加速度方向和垂直加速度方向為坐標軸建立坐標系. (3)方法：物體受到多個力F1、F2、F3、…作用，求合力F時，可把各力向相互垂直的x軸、y軸分解. x軸上的合力Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋… y軸上的合力Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋… 合力大小F＝ 合力方向：與x軸夾角為θ，則tan θ＝. 例3　如圖6所示，墻上有兩個釘子a和b，它們的連線與水平方向的夾角為45，兩者的高度差為l.一條不可伸長的輕質(zhì)細繩一端固定于a點，另一端跨過光滑釘子b懸掛一質(zhì)量為m1的重物.在繩上距a端的c點有一固定繩圈.若繩圈上懸掛質(zhì)量為m2的鉤碼，平衡后繩的ac段正好水平，則重物和鉤碼的質(zhì)量比為(　　) 圖6 A. B.2 C. D. 答案　C 解析　解法一(力的效果分解法)： 鉤碼的拉力F等于鉤碼重力m2g，將F沿ac和bc方向分解，兩個分力分別為Fa、Fb，如圖甲所示，其中Fb＝m1g，由幾何關(guān)系可得cos θ＝＝，又由幾何關(guān)系得cos θ＝，聯(lián)立解得＝. 解法二(正交分解法)： 繩圈受到Fa、Fb、F三個力作用，如圖乙所示，將Fb沿水平方向和豎直方向正交分解，由豎直方向受力平衡得m1gcos θ＝m2g；由幾何關(guān)系得cos θ＝，聯(lián)立解得＝. 變式3　(2018山東煙臺模擬)減速帶是交叉路口常見的一種交通設(shè)施，車輛駛過減速帶時要減速，以保障行人的安全.當汽車前輪剛爬上減速帶時，減速帶對車輪的彈力為F，下圖中彈力F畫法正確且分解合理的是(　　) 答案　B 解析　減速帶對車輪的彈力方向垂直車輪和減速帶的接觸面，指向受力物體，故A、C錯誤；按照力的作用效果分解，將F分解為水平方向和豎直方向，水平方向的分力產(chǎn)生的效果減慢汽車的速度，豎直方向的分力產(chǎn)生向上運動的作用效果，故B正確，D錯誤. 變式4　(多選)(2016全國卷Ⅰ19)如圖7，一光滑的輕滑輪用細繩OO′懸掛于O點；另一細繩跨過滑輪，其一端懸掛物塊a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物塊b.外力F向右上方拉b，整個系統(tǒng)處于靜止狀態(tài).若F方向不變，大小在一定范圍內(nèi)變化，物塊b仍始終保持靜止，則(　　) 圖7 A.繩OO′的張力也在一定范圍內(nèi)變化 B.物塊b所受到的支持力也在一定范圍內(nèi)變化 C.連接a和b的繩的張力也在一定范圍內(nèi)變化 D.物塊b與桌面間的摩擦力也在一定范圍內(nèi)變化 答案　BD 解析　由于物塊a、b均保持靜止，各繩角度保持不變，對a受力分析得，繩的拉力FT′＝mag，所以物塊a受到的繩的拉力保持不變.由滑輪性質(zhì)，滑輪兩側(cè)繩的拉力相等，所以b受到繩的拉力大小、方向均保持不變，C選項錯誤；a、b受到繩的拉力大小、方向均不變，所以O(shè)O′的張力不變，A選項錯誤；對b進行受力分析，如圖所示.由平衡條件得：FTcos β＋Ff＝Fcos α，F(xiàn)sin α＋FN＋FTsin β＝mbg.其中FT和mbg始終不變，當F大小在一定范圍內(nèi)變化時，支持力在一定范圍內(nèi)變化，B選項正確；摩擦力也在一定范圍內(nèi)發(fā)生變化，D選項正確. 命題點三　力合成與分解的兩個重要應用 應用1　斧頭劈木柴問題 例4　刀、斧、鑿等切削工具的刃部叫做劈，如圖8是斧頭劈木柴的示意圖.劈的縱截面是一個等腰三角形，使用劈的時候，垂直劈背加一個力F，這個力產(chǎn)生兩個作用效果，使劈的兩個側(cè)面推壓木柴，把木柴劈開.設(shè)劈背的寬度為d，劈的側(cè)面長為l，不計斧頭的自身重力，則劈的側(cè)面推壓木柴的力約為(　　) 圖8 A.F B.F C.F D.F 答案　B 解析　斧頭劈木柴時，設(shè)兩側(cè)面推壓木柴的力分別為F1、F2且F1＝F2，利用幾何三角形與力的三角形相似有 ＝，得推壓木柴的力F1＝F2＝F，所以B正確，A、C、D錯誤. 應用2　拖把拖地問題 例5　拖把是由拖桿和拖把頭構(gòu)成的擦地工具(如圖9).設(shè)拖把頭的質(zhì)量為m，拖桿質(zhì)量可忽略.拖把頭與地板之間的動摩擦因數(shù)為常數(shù)μ，重力加速度為g.某同學用該拖把在水平地板上拖地時，沿拖桿方向推拖把，拖桿與豎直方向的夾角為θ. 圖9 (1)若拖把頭在地板上勻速移動，求推拖把的力的大小. (2)設(shè)能使該拖把在地板上從靜止剛好開始運動的水平推力與此時地板對拖把的正壓力的比值為λ.已知存在一臨界角θ0，若θ≤θ0，則不管沿拖桿方向的推力有多大，都不可能使拖把從靜止開始運動.求這一臨界角的正切tan θ0. 答案　(1) mg　(2)λ 解析　(1)設(shè)該同學沿拖桿方向用大小為F的力推拖把.將推拖把的力沿豎直和水平方向分解，根據(jù)平衡條件有 Fcos θ＋mg＝FN ① Fsin θ＝Ff ② 式中FN和Ff分別為地板對拖把的正壓力和摩擦力. 所以Ff＝μFN ③ 聯(lián)立①②③式得F＝ mg ④ (2)若不管沿拖桿方向用多大的力都不能使拖把從靜止開始運動，應有Fsin θ≤λFN ⑤ 這時，①式仍成立.聯(lián)立①⑤式得sin θ－λcos θ≤λ ⑥ λ大于零，且當F無限大時λ 為零，有 sin θ－λcos θ≤0 ⑦ 使⑦式成立的θ角滿足θ≤θ0，這里θ0是題中所定義的臨界角，即當θ≤θ0時，不管沿拖桿方向用多大的力都推不動拖把.故臨界角的正切為tan θ0＝λ. 變式5　(多選)生活中拉鏈在很多衣服上得到應用，圖10是衣服上拉鏈的一部分，當我們把拉鏈拉開的時候，拉頭與拉鏈接觸處呈三角形，使很難直接分開的拉鏈很容易地拉開，關(guān)于其中的物理原理，以下說法正確的是(　　) 圖10 A.拉開拉鏈的時候，三角形的物體增大了拉拉鏈的拉力 B.拉開拉鏈的時候，三角形的物體將拉力分解為兩個較大的分力 C.拉開拉鏈的時候，三角形的物體將拉力分解為方向不同的兩個分力 D.以上說法都不正確 答案　BC 解析　拉頭與拉鏈的接觸處呈三角形，拉力分解為兩個分力，如圖所示，分力的大小大于拉力，且兩分力的方向不相同，所以選項B、C正確，A、D錯誤. 變式6　(2018福建莆田質(zhì)檢)如圖11所示，質(zhì)量為m的物塊靜止于斜面上，物塊與斜面間的動摩擦因數(shù)為μ，逐漸增大斜面的傾角θ，直到θ等于某特定值φ時，物塊達到“欲動未動”的臨界狀態(tài)，此時的摩擦力為最大靜摩擦力，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，求θ角滿足什么條件時物塊總與斜面保持相對靜止. 圖11 答案　tan θ≤μ 解析　物塊m受力平衡，則有FN－Gcos φ＝0，F(xiàn)fm－Gsin φ＝0.又Ffm＝μFN，解得μ＝tan φ.顯然，當θ≤φ即tan θ≤μ時，物塊始終保持靜止.