《（浙江專版）2018-2019高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.5 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系學(xué)案 新人教A版選修2-1.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專版）2018-2019高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.5 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系學(xué)案 新人教A版選修2-1.doc（16頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

2.5　直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 學(xué)習(xí)目標　1.了解直線與圓錐曲線的交點個數(shù)與相應(yīng)方程組的解的對應(yīng)關(guān)系.2.能用判別式法研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.3.掌握直線與橢圓、雙曲線、拋物線位置關(guān)系的簡單問題的基本解法.4.掌握直線與圓錐曲線有關(guān)的綜合問題的解決方法． 1．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 (1)相離?直線與圓錐曲線無公共點． (2)相切?直線與圓錐曲線有一個公共點． (3)相交? 2．弦長公式 當(dāng)直線與圓錐曲線相交時，往往涉及弦的長度，可利用弦長公式表示弦長，從而研究相關(guān)的問題，弦長公式為： 若直線l的斜率為k，與圓錐曲線C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則 |AB|＝|x1－x2|＝＝|y1－y2|＝. 3．直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判定 直線與圓錐曲線的方程聯(lián)立，消元得方程ax2＋bx＋c＝0. 方程特征 交點個數(shù) 位置關(guān)系 直線與橢圓 a≠0，Δ>0 2 相交 a≠0，Δ＝0 1 相切 a≠0，Δ<0 0 相離 直線與雙曲線 a＝0 1 直線與雙曲線的漸近線平行且兩者相交 a≠0，Δ>0 2 相交 a≠0，Δ＝0 1 相切 a≠0，Δ<0 0 相離 直線與拋物線 a＝0 1 直線與拋物線的對稱軸重合或平行且兩者相交 a≠0，Δ>0 2 相交 a≠0，Δ＝0 1 相切 a≠0，Δ<0 0 相離 應(yīng)用弦長公式時注意的問題 直線與圓錐曲線的弦長問題一定注意直線斜率不存在的情況，同時，當(dāng)直線過x軸上一個定點(c,0)時，直線方程設(shè)為x＝my＋c，此種設(shè)法，在拋物線中運用，顯得更為方便． (1)橢圓＋＝1上的點到焦點距離的最大值是a＋c.(√) (2)過點(2,4)的直線與橢圓＋y2＝1只有一條切線．() (3)設(shè)點P(x0，y0)為雙曲線－＝1上的任一點，則|x0|≥a.() 類型一　直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 例1　直線y＝mx＋1與橢圓x2＋4y2＝1有且只有一個交點，求m2的值． 解　因為直線與橢圓只有一個交點，由消去y，得(1＋4m2)x2＋8mx＋3＝0，所以由Δ＝64m2－12(1＋4m2)＝16m2－12＝0，解得m2＝. 引申探究 1．典例中若直線與橢圓相交，弦的中點的軌跡方程是什么？ 解　由得(4m2＋1)x2＋8mx＋3＝0， Δ＝64m2－12(4m2＋1)＝16m2－12>0，即m2>， 設(shè)中點M(x，y)，交點A(x1，y1)，B(x2，y2)， 所以 消去m，得x2＋4y2－4y＝0. 2．典例中若直線與橢圓相交于A，B兩點，求弦AB的長． 解　由得(4m2＋1)x2＋8mx＋3＝0， Δ＝64m2－12(4m2＋1)＝16m2－12>0， 即m>或m<－， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)． 則 因此|AB|＝＝ ＝. 反思與感悟　直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷方法 跟蹤訓(xùn)練1　已知直線l：y＝2x＋m，橢圓C：＋＝1.試問當(dāng)m取何值時，直線l與橢圓C： (1)有兩個不重合的公共點； (2)有且只有一個公共點； (3)沒有公共點． 解　將直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立， 得方程組 將①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③ 方程③根的判別式Δ＝64m2－49(2m2－4)＝－8m2＋144. (1)當(dāng)Δ>0，即－33時，方程③沒有實數(shù)根，可知原方程組沒有實數(shù)解．這時直線l與橢圓C沒有公共點． 類型二　弦長問題 例2　(2017寧波檢測)設(shè)橢圓M：＋＝1(a>b>0)的離心率與雙曲線x2－y2＝1的離心率互為倒數(shù)，且橢圓的長軸長為4. (1)求橢圓M的方程； (2)若直線y＝x＋m交橢圓M于A，B兩點，P(1，)為橢圓M上一點，求△PAB面積的最大值． 解　(1)由題意可知，雙曲線的離心率為， 則橢圓的離心率e＝＝. 由得a＝2，c＝，b＝， 故橢圓M的方程為＋＝1. (2)聯(lián)立方程消去y，得4x2＋2mx＋m2－4＝0， 由Δ＝8m2－16(m2－4)>0， 得－2b>0)，直線l1：－＝1被橢圓C截得的弦長為2，過橢圓C的右焦點且斜率為的直線l2被橢圓C截得的弦長是橢圓長軸長的，求橢圓C的方程． 解　由l1被橢圓C截得的弦長為2，得a2＋b2＝8. 設(shè)l2：y＝(x－c)，代入橢圓C的方程并化簡，得 (b2＋3a2)x2－6a2cx＋a2(3c2－b2)＝0. 設(shè)直線l2與橢圓C交于點M(x1，y1)，N(x2，y2)． 由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝， x1x2＝， 從而|x1－x2|＝ ＝ ＝， 則由弦長公式，得|MN|＝＝. 化簡，得a2＝3b2. 聯(lián)立a2＋b2＝8，a2＝3b2，得a2＝6，b2＝2， 故橢圓C的方程為＋＝1. 類型三　圓錐曲線中的綜合問題 例3　已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，△OAB的面積為1. (1)求橢圓C的方程； (2)設(shè)P是橢圓C上一點，直線PA與y軸交于點M，直線PB與x軸交于點N.求證：|AN||BM|為定值． (1)解　由已知＝，ab＝1. 又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝1，c＝. ∴橢圓C的方程為＋y2＝1. (2)證明　由(1)知，A(2,0)，B(0,1)． 設(shè)橢圓上一點P(x0，y0)，則＋y＝1. 當(dāng)x0≠0時，直線PA的方程為y＝(x－2)， 令x＝0得yM＝. 從而|BM|＝|1－yM|＝. 直線PB的方程為y＝x＋1. 令y＝0得xN＝. ∴|AN|＝|2－xN|＝. ∴|AN||BM|＝ ＝ ＝ ＝＝4. 當(dāng)x0＝0時，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2， ∴|AN||BM|＝4. 故|AN||BM|為定值． 反思與感悟　定值問題類型及常見解法 (1)直線過定點型，一般通過運算使直線方程中只含一個參數(shù)來求定點． (2)參數(shù)和為定值型，往往把參數(shù)用交點坐標表示，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系代入化簡為某一常數(shù)． 跟蹤訓(xùn)練3　橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率e＝，a＋b＝3. (1)求橢圓C的方程； (2)如圖，A，B，D是橢圓C的頂點，P是橢圓C上除頂點外的任意一點，直線DP交x軸于點N，直線AD交BP于點M，設(shè)BP的斜率為k，MN的斜率為m，證明2m－k為定值． (1)解　因為e＝＝，故＝＝1－＝， 所以a＝2b. 再由a＋b＝3，得a＝2，b＝1， 故橢圓C的方程為＋y2＝1. (2)證明　因為B(2,0)，P不為橢圓頂點，則可設(shè)BP的方程為y＝k(x－2).① 將①代入＋y2＝1，解得P. 又直線AD的方程為y＝x＋1，② ①與②聯(lián)立解得M. 由D(0,1)，P，N(x,0)三點共線可解得N. 所以MN的斜率為m＝， 則2m－k＝－k＝(定值)． 例4　(2017杭州檢測)已知點A(0，－2)，橢圓E：＋＝1(a>b>0)的離心率為，F(xiàn)是橢圓E的右焦點，直線AF的斜率為，O為坐標原點． (1)求橢圓E的方程； (2)設(shè)過點A的動直線l與E相交于P，Q兩點．當(dāng)△OPQ的面積最大時，求直線l的方程． 解　(1)設(shè)F(c,0)，由條件知，＝，得c＝. 又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1. 故橢圓E的方程為＋y2＝1. (2)當(dāng)直線l⊥x軸時不合題意，故設(shè)直線l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)． 將y＝kx－2代入＋y2＝1得， (1＋4k2)x2－16kx＋12＝0. 當(dāng)Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>時， x1,2＝. 從而|PQ|＝|x1－x2| ＝. 又點O到直線PQ的距離d＝， 所以△OPQ的面積 S△OPQ＝d|PQ|＝. 設(shè)＝t，則t>0，S△OPQ＝＝. 因為t＋≥4，當(dāng)且僅當(dāng)t＝2，即k＝時等號成立，且滿足Δ>0， 所以當(dāng)△OPQ的面積最大時，直線l的方程為 y＝x－2. 反思與感悟　最值問題的兩種常見求法 (1)數(shù)形結(jié)合法：當(dāng)題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義時，可考慮利用數(shù)形結(jié)合法求解或構(gòu)造參數(shù)滿足的不等式(如雙曲線的范圍，直線與圓錐曲線相交時Δ>0等)，通過解不等式(組)求得參數(shù)的取值范圍． (2)目標函數(shù)法：當(dāng)題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系時，則可先建立目標函數(shù)，進而轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的值域，最后確定最值． 跟蹤訓(xùn)練4　已知橢圓＋＝1，動直線l與橢圓交于B，C兩點．若點B的坐標為，求△OBC面積的最大值． 解　直線OB的方程為y＝x，即3x－2y＝0， 設(shè)經(jīng)過點C且平行于直線OB的直線l′的方程為y＝x＋b， 則當(dāng)l′與橢圓只有一個公共點時，△OBC的面積最大． 聯(lián)立化為3x2＋3bx＋b2－3＝0， 由Δ＝9b2－12(b2－3)＝0，解得b＝2. 當(dāng)b＝2時，C； 當(dāng)b＝－2時，C. 所以△OBC面積的最大值為＝.  1．平面上到定點A(1,0)和到定直線l：x＋2y＋3＝0的距離相等的點的軌跡為(　　) A．直線B．拋物線C．雙曲線D．橢圓 答案　B 2．一條直線與雙曲線的兩支交點個數(shù)最多為(　　) A．1B．2C．3D．4 答案　B 3．拋物線與直線只有一個公共點是直線與拋物線相切的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　B 4．若直線ax－y＋1＝0與拋物線y2＝4x有兩交點，則實數(shù)a的取值范圍是______________． 答案　(－∞，0)∪(0,1) 5．已知橢圓＋＝1(a>b>0)，F(xiàn)(，0)為其右焦點，過F且垂直于x軸的直線交橢圓于A，B兩點，|AB|＝2，則該橢圓的方程為________，離心率為________． 答案?。?　 1．解決直線與圓錐曲線的交點問題時，主要方法是構(gòu)建一元二次方程，判斷其解的個數(shù)．確定斜率與直線的傾斜角時，應(yīng)特別注意斜率為0和斜率不存在的兩種情形，以及在雙曲線和拋物線中，直線和圓錐曲線有一個公共點并不一定相切． 2．在探求最值時，常結(jié)合幾何圖形的直觀性，充分利用平面幾何結(jié)論，借助于函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式等使問題獲解．同時，要注意未知數(shù)的取值范圍、最值存在的條件． 一、選擇題 1．(2017金華檢測)直線y＝kx＋2與拋物線y2＝8x有且只有一個公共點，則k的值為(　　) A．1 B．1或3 C．0 D．1或0 答案　D 2．(2017臺州檢測)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)與直線y＝2x有交點，則雙曲線離心率的取值范圍為(　　) A．(1，) B．(1，] C．(，＋∞) D．[，＋∞) 答案　C 3．過拋物線y2＝8x的焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，交拋物線的準線于C，若|AF|＝6，＝λ，則λ的值為(　　) A.B.C.D．3 答案　D 4．已知雙曲線－＝1 (b>0)，以原點為圓心，雙曲線的實半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A，B，C，D四點，四邊形ABCD的面積為2b，則雙曲線的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案　D 5．已知雙曲線方程為－＝1，過點(2，0)作直線l與雙曲線交于兩點A，B，記滿足|AB|＝m的直線l的條數(shù)為f(m)，則f(m)的可能取值為(　　) A．0,2,4 B．1,2,3,4 C．0,1,2,3,4 D．2,4 答案　A 6．(2017金華檢測)過拋物線x2＝4y的焦點F作直線AB，CD與拋物線交于A，B，C，D四點，且AB⊥CD，則＋的最大值等于(　　) A．－4B．－16C．4D．－8 答案　B 二、填空題 7．若斜率為的直線l與橢圓＋＝1(a>b>0)有兩個不同的交點，且這兩個交點在x軸上的射影恰好是橢圓的兩個焦點，則該橢圓的離心率為________． 答案　 8．拋物線焦點在y軸上，截得直線y＝x＋1的弦長為5，則拋物線的標準方程為________________，準線方程為______________． 答案　x2＝4y或x2＝－20y　y＝－1或y＝5 9．設(shè)直線l與拋物線y2＝4x相交于A，B兩點，與圓(x－5)2＋y2＝r2(r>0)相切于點M，且M為線段AB的中點．若這樣的直線l恰有4條，則r的取值范圍為________________． 答案　(2,4) 解析　如圖， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)， 則 兩式相減得，(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)． 當(dāng)l的斜率k不存在時，符合條件的直線l必有兩條． 當(dāng)k存在時，x1≠x2， 則有＝2， 又y1＋y2＝2y0，所以y0k＝2. 由CM⊥AB，得k＝－1， 即y0k＝5－x0，因此2＝5－x0，x0＝3， 即M必在直線x＝3上．將x＝3代入y2＝4x， 得y2＝12，則有－24(為保證有4條，在k存在時，y0≠0)， 所以4b>0)，其中e＝，焦距為2，過點M(4,0)的直線l與橢圓C交于點A，B，點B在AM之間，又點A，B的中點橫坐標為，且＝λ. (1)求橢圓C的標準方程； (2)求實數(shù)λ的值． 解　(1)由條件可知，c＝1，a＝2，故b2＝a2－c2＝3，橢圓的標準方程是＋＝1. (2)由＝λ，可知A，B，M三點共線， 設(shè)點A(x1，y1)，點B(x2，y2)，顯然AB所在直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝k(x－4)． 由消去y，得(3＋4k2)x2－32k2x＋64k2－12＝0，① 由①的判別式Δ＝322k4－4(4k2＋3)(64k2－12) ＝144(1－4k2)>0，解得k2<，且 由(x1＋x2)＝＝，可得k2＝， 將k2＝代入方程①，得7x2－8x－8＝0， x1,2＝， 又因為＝(4－x1，－y1)，＝(x2－4，y2)， ＝λ. 所以λ＝，所以λ＝. 12．(2017溫州檢測)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右頂點分別為A，B，其離心率e＝，點M為橢圓上的一個動點，△MAB面積的最大值是2. (1)求橢圓的方程； (2)若過橢圓C右頂點B的直線l與橢圓的另一個交點為D，線段BD的垂直平分線與y軸交于點P，當(dāng)＝0時，求點P的坐標． 解　(1)由題意可知 解得a＝2，b＝， 所以橢圓方程是＋＝1. (2)由(1)知B(2,0)，設(shè)直線BD的方程為y＝k(x－2)， D(x1，y1)， 把y＝k(x－2)代入橢圓方程＋＝1. 整理得(3＋4k2)x2－16k2x＋16k2－12＝0， 所以2＋x1＝，即x1＝， 則D， 所以BD中點的坐標為， 則直線BD的垂直平分線方程為 y－＝－， 得P，又＝0， 即＝0， 化簡得＝0，即16k4＋7k2－9＝0， 解得k＝. 故P或. 13．(2017紹興檢測)如圖，已知拋物線C1：y＝x2，圓C2：x2＋(y－1)2＝1，過點P(t,0)(t>0)作不過原點O的直線PA，PB分別與拋物線C1和圓C2相切，A，B為切點． (1)求點A，B的坐標； (2)求△PAB的面積． 解　(1)由題意可知，直線PA的斜率存在，故可設(shè)直線PA的方程為y＝k(x－t)， 由消去y整理得 x2－4kx＋4kt＝0. 因為直線PA與拋物線相切，所以Δ＝16k2－16kt＝0，解得k＝t.所以x＝2t，即點A(2t，t2)． 圓C2的圓心為D(0,1)，設(shè)點B的坐標為(x0，y0)，由題意知，點B，O關(guān)于直線PD對稱，故有 解得x0＝，y0＝. 即點B. (2)由(1)知，|AP|＝t， 直線AP的方程為tx－y－t2＝0，所以點B到直線PA的距離為d＝. 所以△PAB的面積為S＝|AP|d＝. 四、探究與拓展 14．已知雙曲線x2－＝1，過點P(2,1)作一條直線交雙曲線于A，B兩點，并使P為AB的中點，則直線AB的斜率為________，方程為________________________________． 答案　6　6x－y－11＝0 15．(2017杭州檢測)已知橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率為，且經(jīng)過點P，過它的兩個焦點F1，F(xiàn)2分別作直線l1與l2，l1交橢圓于A，B兩點，l2交橢圓于C，D兩點，且l1⊥l2. (1)求橢圓的標準方程； (2)求四邊形ACBD的面積S的取值范圍． 解　(1)由＝，得a＝2c，所以a2＝4c2，b2＝3c2， 將點P的坐標代入橢圓方程得c2＝1，故所求橢圓方程為＋＝1. (2)若l1與l2中有一條直線的斜率不存在，則另一條直線的斜率為0，此時四邊形的面積S＝6. 若l1與l2的斜率都存在，設(shè)l1的斜率為k，則l2的斜率為－. 不妨設(shè)直線l1的方程為y＝k(x＋1)， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 聯(lián)立 消去y整理得，(4k2＋3)x2＋8k2x＋4k2－12＝0， Δ＝64k4－4(3＋4k2)(4k2－12)＝144k2＋144>0， x1＋x2＝－，x1x2＝， 所以|x1－x2|＝＝. |AB|＝|x1－x2|＝. 同理可得|CD|＝， 所以S＝|AB||CD|＝， 令k2＝t∈(0，＋∞)， S＝ ＝＝6－ ≥6－＝， 故S∈， 綜上可知，四邊形ACBD面積S的取值范圍是.