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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上 第七章 輪廓表示 把邊緣連接起來(lái)就成為輪廓(contour)．輪廓可以是斷開(kāi)的，也可以是封閉的．封閉輪廓對(duì)應(yīng)于區(qū)域的邊界，而區(qū)域內(nèi)的像素可以通過(guò)填充算法來(lái)填滿(mǎn)．?dāng)嚅_(kāi)的輪廓可能是區(qū)域邊界的一部分，也可能是圖像線(xiàn)條特征，如手寫(xiě)體筆畫(huà)、圖畫(huà)中的線(xiàn)條等．區(qū)域之間的對(duì)比度太弱或邊緣檢測(cè)閾值設(shè)置太高都有可能產(chǎn)生間斷的輪廓． 　　輪廓可以用邊緣序列表或曲線(xiàn)來(lái)表示．曲線(xiàn)通常稱(chēng)為輪廓的數(shù)學(xué)模型．曲線(xiàn)表示包括線(xiàn)段、二次曲線(xiàn)、三次樣條曲線(xiàn)等．下面是幾種輪廓表示的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)： 　　高效：輪廓應(yīng)該是一種簡(jiǎn)單和緊湊的表示． 　　精確：輪廓應(yīng)能精確地逼近圖像特征． 　　

2、有效：輪廓應(yīng)適合于后處理階段的計(jì)算． 　　輪廓表示的精確性由以下三個(gè)方面因素決定：① 用于輪廓建模的曲線(xiàn)形式；② 曲線(xiàn)擬合算法的性能；③ 邊緣位置估計(jì)的精確度．輪廓的最簡(jiǎn)單表示形式是邊緣有序表．這種表示的精確度就是邊緣估計(jì)的精確度，但其表示的緊湊性是最差的，因此不是一種有效的后續(xù)圖像分析表示方法．用適當(dāng)?shù)那€(xiàn)模型來(lái)擬合邊緣會(huì)提高精確度，這是因?yàn)榍€(xiàn)模型擬合邊緣時(shí)往往具有均值化效應(yīng)，因而可以減少邊緣位置誤差．曲線(xiàn)模型也會(huì)提高輪廓表示的經(jīng)濟(jì)性，為后處理提供了一種更適合、更緊湊的表示，例如，一條直線(xiàn)上的邊緣集用一直線(xiàn)來(lái)擬合是表示這些邊緣的最簡(jiǎn)單和最有效的方法，這一表示也簡(jiǎn)化了后續(xù)處理（如確定線(xiàn)的長(zhǎng)

3、度和方向）；另外，由于估計(jì)直線(xiàn)與真實(shí)直線(xiàn)的均值方差小于真實(shí)直線(xiàn)與任何其它邊緣之間的均值方差，因此可以說(shuō)這種表示也增加了精確度． 輪廓曲線(xiàn)擬合通常采用內(nèi)插曲線(xiàn)或逼近曲線(xiàn)來(lái)實(shí)現(xiàn)．已知一組稱(chēng)為控制點(diǎn)的坐標(biāo)點(diǎn)，內(nèi)插是指一條曲線(xiàn)擬合這組控制點(diǎn)，使得曲線(xiàn)通過(guò)所有的控制點(diǎn)；逼近是指一條曲線(xiàn)擬合這組這組控制點(diǎn)，使得這條曲線(xiàn)非常接近這些控制點(diǎn)而無(wú)需一定通過(guò)這些點(diǎn)．在下面幾節(jié)中，假定由邊緣檢測(cè)器得到的邊緣十分準(zhǔn)確，并使用內(nèi)插值方法進(jìn)行邊緣曲線(xiàn)擬合． 　　定義7．1 邊緣表是邊緣點(diǎn)或邊緣段的有序集合． 　　定義7．2 輪廓是邊緣表或用于表示邊緣表的曲線(xiàn)． 　　定義7．3 邊界是包圍一個(gè)區(qū)域的封閉輪廓

4、． 　　在無(wú)特別說(shuō)明的情況下，邊緣通常是指邊緣點(diǎn)．對(duì)大多數(shù)曲線(xiàn)擬合算法來(lái)說(shuō)，只需要邊緣的位置信息。在很少的幾種情況下，即需要邊緣位置信息，也需要方向角信息，此時(shí)的邊緣是指邊緣段． 　　平面曲線(xiàn)函數(shù)可以表示為三種形式：顯式, 隱式，或參數(shù)式, 其中是某一參數(shù)．函數(shù)的顯式表示很少用在機(jī)器視覺(jué)中，主要原因是平面上的曲線(xiàn)可能卷曲，使得一個(gè)值可能對(duì)應(yīng)曲線(xiàn)上多個(gè)值． 7．1 數(shù)字曲線(xiàn)及其表示 　　本節(jié)將討論一組計(jì)算曲線(xiàn)幾何元素的算法，幾何元素包括輪廓長(zhǎng)度、正切方向角和曲率等．由于鄰接像素之間的量化增量是，因此，精確計(jì)算斜率和曲率是很困難的． 　　估計(jì)正切方向角的基本思路是使用邊緣表中非鄰接的邊緣

5、點(diǎn)，這就允許存在一個(gè)較大的可能正切方向角集合．設(shè)是邊緣表中第個(gè)邊緣坐標(biāo)．斜率是在邊緣表相距個(gè)邊緣點(diǎn)的兩個(gè)邊緣點(diǎn)之間的方向向量．左斜率是指向的方向，右斜率是指向方向．曲率是左右斜率之差值． 　　假定在邊緣表中有個(gè)邊緣．?dāng)?shù)字曲線(xiàn)的長(zhǎng)度可以近似為像素之間的線(xiàn)段和： (7．1) 輪廓端點(diǎn)之間的距離為： 　 (7．2) 7．1．1 鏈碼 　　鏈碼是沿著輪廓記錄邊緣表的一種表示方法．鏈碼規(guī)定了邊緣表中每一個(gè)邊緣點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的輪廓方向，其中的輪廓方向被量化為４－鄰接鏈碼或８－鄰接鏈碼中的一個(gè)，如圖7．1所示．圖7．2 所

6、示的是一條曲線(xiàn)及其８－鄰接鏈碼的表示，8－鄰接鏈碼從邊緣表中第一個(gè)邊緣開(kāi)始，沿著輪廓按逆時(shí)針?lè)较蛐凶撸凶叻较蛴冒随湸a中的一個(gè)表示． 　　　　　　　 　（a）　 　　　 　　 　 （b）　 圖7．1 連接邊緣點(diǎn)方向的鏈碼示意圖，（a）４－鄰接鏈碼，(b) 8－鄰接鏈碼 　　鏈碼有一些很特殊的的性質(zhì)．一個(gè)物體很容易實(shí)現(xiàn)角旋轉(zhuǎn)．如果一個(gè)物體旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的物體鏈碼可由原鏈碼加上倍的模8得到．鏈碼的微分，也稱(chēng)差分碼，可由原碼的一階差分求得．鏈碼差分是關(guān)于旋轉(zhuǎn)不變的邊界描述方法．比如， 　　圖７．２曲線(xiàn)的鏈碼是： 　　　　　　其差分鏈碼是： 2011

7、1 圖７．３是圖７．２曲線(xiàn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的， 　　　　曲線(xiàn)的鏈碼是：11234 　　　　 　其差分鏈碼是： 0111 由此可見(jiàn)，一條曲線(xiàn)旋轉(zhuǎn)到不同的位置將對(duì)應(yīng)不同的的鏈碼，但其差分鏈碼不變，即差分鏈碼關(guān)于曲線(xiàn)旋轉(zhuǎn)是不變的． 區(qū)域的一些其它性質(zhì)，如面積和角點(diǎn)，也可以由鏈碼直接求得．這種表示的局限性是表示某一點(diǎn)正切方向的集合是有限的（４－鄰接鏈碼有4個(gè)，8－鄰接鏈碼有8個(gè)），這一局限性可以通過(guò)下面幾節(jié)介紹的曲線(xiàn)表示方法來(lái)克服． 圖7．2 一條曲線(xiàn)及其８－鄰接鏈碼表示 圖7．３ 一條曲線(xiàn)及其８－鄰接鏈碼表示 7．1．2 斜率表示法 　　用任意

8、的正切方向來(lái)表示輪廓可以克服鏈碼的只能用有限個(gè)正切方向來(lái)表示輪廓的局限性．假定從邊緣表開(kāi)始，使用上面給出的公式計(jì)算正切和弧長(zhǎng)，可以畫(huà)出正切同弧長(zhǎng)的關(guān)系圖，稱(chēng)作圖．圖是輪廓形狀在空間的表示，是一種輪廓形狀的緊湊描述．圖７．４所示的是包含有直線(xiàn)段和圓弧段的輪廓在空間中的表示，它是一個(gè)直線(xiàn)段序列．對(duì)于封閉輪廓，圖是一個(gè)周期曲線(xiàn)．在圖中，水平方向的直線(xiàn)段對(duì)應(yīng)輪廓中的直線(xiàn)段，這是由于直線(xiàn)段對(duì)應(yīng)的斜率是恒定值。其它方向的直線(xiàn)段對(duì)應(yīng)圓弧段，非直線(xiàn)段部分對(duì)應(yīng)曲線(xiàn)基元． 如果把圖分割成直線(xiàn)段，也就把輪廓分割成直線(xiàn)段和圓弧段．許多研究人員采用這一方法來(lái)分割輪廓，由此產(chǎn)生了輪廓分段方法的多種形式．

9、圖7．4 輪廓的斜率表示 7．2曲線(xiàn)擬合 本章將討論三種常用的曲線(xiàn)模型擬合邊緣點(diǎn)的方法：直線(xiàn)段(Line Segment)，圓錐曲線(xiàn)段(Conic Section)和三次樣條曲線(xiàn)段(Cubic Spline)．一般來(lái)說(shuō)，在用曲線(xiàn)模型擬合邊緣點(diǎn)之前應(yīng)考慮如下兩個(gè)問(wèn)題： 1. 用什么方法進(jìn)行邊緣點(diǎn)的曲線(xiàn)模型擬合？ 2. 如何測(cè)量擬合的逼近程度？ 下面幾節(jié)將討論曲線(xiàn)模型擬合邊緣點(diǎn)方法，其中假設(shè)邊緣位置足夠精確，不會(huì)對(duì)擬合結(jié)果產(chǎn)生影響． 設(shè)是邊緣點(diǎn)到一條擬合曲線(xiàn)的距離，該距離值有正負(fù)符號(hào)，在曲線(xiàn)同一側(cè)的邊緣具有相同的正符號(hào)或負(fù)符號(hào)．目前有許多種測(cè)量曲線(xiàn)與候選邊緣點(diǎn)

10、的擬合效果方法，每一種都取決于擬合曲線(xiàn)和候選點(diǎn)之間的誤差．下面是一些常用的方法． (1) 最大絕對(duì)誤差 測(cè)量最壞情況下邊緣點(diǎn)偏離曲線(xiàn)的距離： (7．3) (2) 均方差 給出邊緣點(diǎn)偏離擬合曲線(xiàn)的總的測(cè)度： (7．4) (3) 最大規(guī)范（normal）誤差 最大絕對(duì)誤差與曲線(xiàn)長(zhǎng)度之比： (7．5) (4) 誤差符號(hào)變化次數(shù) 這里的誤差就是指，即邊緣點(diǎn)偏離擬合曲線(xiàn)的距離。誤差符號(hào)變化次數(shù)可用來(lái)表示輪廓邊緣模

11、型的曲線(xiàn)適合程度的測(cè)度． (5) 曲線(xiàn)長(zhǎng)度與端點(diǎn)距離之比 曲線(xiàn)復(fù)雜程度的測(cè)度． 符號(hào)變化是一種評(píng)價(jià)擬合好壞的很有用的參數(shù)．比如，用直線(xiàn)段逼近邊緣表，并檢測(cè)符號(hào)變化數(shù)．如果符號(hào)變化一次，則說(shuō)明邊緣點(diǎn)可以由直線(xiàn)段來(lái)逼近；符號(hào)變化兩次，說(shuō)明邊緣可以由二次曲線(xiàn)逼近；符號(hào)變化三次，說(shuō)明邊緣模型是三次曲線(xiàn)，依此類(lèi)推．如果符號(hào)變化數(shù)量很大，則意味著曲線(xiàn)復(fù)雜度增加一點(diǎn)將不能顯著地改善擬合效果．一種好的擬合所對(duì)應(yīng)的符號(hào)變化具有隨機(jī)模式．相同符號(hào)連續(xù)出現(xiàn)多次說(shuō)明存在擬合系統(tǒng)誤差，這種誤差可能是由于錯(cuò)誤的曲線(xiàn)模型引起的． 曲線(xiàn)擬合模型的選擇取決于應(yīng)用場(chǎng)合．如果場(chǎng)景是由直線(xiàn)段組成，則使

12、用直線(xiàn)段（或多線(xiàn)段）模型比較合適．直線(xiàn)段模型也可作為其它擬合模型的初始擬合模型．圓弧段是估計(jì)曲率的最有用的一種表示，因?yàn)榍€(xiàn)可以分割成具有分段恒定曲率線(xiàn)段．圓錐曲線(xiàn)段是一種表示直線(xiàn)段和圓弧段序列以及橢圓和高次弧段序列的有效方法．三次樣條曲線(xiàn)適合于平滑曲線(xiàn)模型，因?yàn)槿螛訔l曲線(xiàn)并不要求正切向量和曲率的估計(jì)值一定是分段恒定的． 7．2．1 多直線(xiàn)段 　　多直線(xiàn)段是指端點(diǎn)連結(jié)端點(diǎn)的直線(xiàn)段序列，直線(xiàn)段序列的連接點(diǎn)稱(chēng)為頂點(diǎn)．多直線(xiàn)段適合具有線(xiàn)段序列的邊緣列表的擬合．多線(xiàn)段算法的輸入值是邊緣點(diǎn)有序表．邊緣點(diǎn)坐標(biāo)可以計(jì)算到子像素精度．由于線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)對(duì)應(yīng)兩個(gè)邊緣點(diǎn)，即線(xiàn)段擬合在這兩個(gè)邊緣點(diǎn)之間進(jìn)行，因

13、此僅需要精確計(jì)算對(duì)應(yīng)端點(diǎn)的兩個(gè)邊緣點(diǎn)的坐標(biāo)． 擬合邊緣表并把第一和最后一個(gè)邊緣點(diǎn)和連接起來(lái)的直線(xiàn)線(xiàn)公式如下： (7．6) 上式可以改寫(xiě)為由端點(diǎn)表示的隱式函數(shù)： 　　　　　　　 (7．7) 其中，　　　　　　 　　　　　　　　 而是邊緣點(diǎn)和之間的距離． 　　任意一點(diǎn)，設(shè)，則的符號(hào)可以用來(lái)計(jì)算符號(hào)變化次數(shù)C．點(diǎn)與上述直線(xiàn)段的距離為： 　　　　 (7．8) 最大規(guī)范誤差為： (7．9) 最大規(guī)范誤差常常作為線(xiàn)段擬合邊緣列表好壞的量度．需

14、要指出的是上面的公式都是在點(diǎn)向直線(xiàn)段的垂直投影落在線(xiàn)段內(nèi)這個(gè)假設(shè)下進(jìn)行的．對(duì)于其它情況，則應(yīng)修正公式，以便計(jì)算點(diǎn)到最近的線(xiàn)段端點(diǎn)的距離．下面介紹兩種擬合多線(xiàn)段的方法：自頂而下的分裂和自底而上的合并． (1) 多直線(xiàn)段分裂 自頂而下的分裂算法(top-down splitting)是將整條曲線(xiàn)作為初始曲線(xiàn)，通過(guò)反復(fù)增加頂點(diǎn)數(shù)來(lái)進(jìn)行直線(xiàn)段擬合曲線(xiàn)．考慮圖7．5所示的邊緣點(diǎn)曲線(xiàn)（可以認(rèn)為是由離散邊緣點(diǎn)構(gòu)成），將第一個(gè)和最后一個(gè)邊緣點(diǎn)連成的直線(xiàn)作為曲線(xiàn)的初始擬合，用AB標(biāo)記．在邊緣表中計(jì)算最大規(guī)范誤差，如果該誤差值高于某一閾值，則在離直線(xiàn)段最遠(yuǎn)的邊緣點(diǎn)上設(shè)置一個(gè)頂點(diǎn)，用C來(lái)標(biāo)記．這樣

15、，將形成兩個(gè)擬合直線(xiàn)段AC和CB，邊緣表也分割成對(duì)應(yīng)于兩個(gè)新直線(xiàn)段的兩個(gè)子邊緣表．在每一個(gè)子邊緣表中，重復(fù)上面所述的分裂算法，形成兩個(gè)新的直線(xiàn)段及對(duì)應(yīng)的兩個(gè)更小的子邊緣表．這樣的分裂過(guò)程可以一直進(jìn)行下去，直到所有的直線(xiàn)段對(duì)應(yīng)的最大規(guī)范誤差均低于某一閾值為止．多線(xiàn)段分裂也稱(chēng)為迭代分解． (2) 線(xiàn)段合并 　　線(xiàn)段合并(merging)是指用一條直線(xiàn)段盡量多地?cái)M合邊緣表中的邊緣點(diǎn)．當(dāng)邊緣點(diǎn)離直線(xiàn)段太遠(yuǎn)而無(wú)法用該直線(xiàn)段擬合時(shí)，則開(kāi)始新的直線(xiàn)段擬合．合并方法也稱(chēng)為自底而上(bottom-up merging)的多線(xiàn)段擬合方法． 確定邊緣點(diǎn)離直線(xiàn)段的距離有許多種方法．一種方法是使用

16、序貫最小二乘法，完成直線(xiàn)段到邊緣點(diǎn)的最小二乘法擬合，并在每次處理新的邊緣點(diǎn)時(shí)遞增地更新線(xiàn)段參數(shù)．?dāng)M合算法將計(jì)算直線(xiàn)段模型和邊緣點(diǎn)之間的殘差平方．當(dāng)誤差超過(guò)某一閾值時(shí)，引進(jìn)一個(gè)頂點(diǎn)，并將上一個(gè)線(xiàn)段的端點(diǎn)作為新的起點(diǎn)開(kāi)始新的直線(xiàn)段擬合． 　　誤差帶算法是另一種確定頂點(diǎn)位置的方法，如圖7．6所示，主要工作是計(jì)算兩條離中心線(xiàn)距離為且平行于擬合邊緣點(diǎn)的直線(xiàn)段．值表示離有差擬合直線(xiàn)的絕對(duì)偏離值．只要新的邊緣在誤差帶內(nèi)，就把這些邊緣增加到當(dāng)前線(xiàn)段內(nèi)．當(dāng)新的邊緣增加到線(xiàn)段內(nèi)時(shí)，線(xiàn)段的參數(shù)要重新計(jì)算．逼近直線(xiàn)段沒(méi)有與誤差帶邊保持平行．位于線(xiàn)段端點(diǎn)的頂點(diǎn)是下一線(xiàn)段的起點(diǎn)．這一方法常常產(chǎn)生大量的線(xiàn)段．由于算法須行

17、進(jìn)到邊緣直到誤差帶表示的邊界才產(chǎn)生角點(diǎn)，因此，不能精確估計(jì)角點(diǎn)位置和角度． 圖7．5 多直線(xiàn)段分裂方法 圖 7．6 擬合直線(xiàn)段的誤差帶方法圖 (3) 分裂和合并 　　自頂而下的迭代分解方法和自底而上的合并方法組合起來(lái)，形成合并和分裂算法．單獨(dú)使用分裂或合并算法時(shí)，成功率往往不是很高，改進(jìn)的方法是交叉使用分裂和合并算法．分解過(guò)程以后，如果新的線(xiàn)段以很小的規(guī)范誤差擬合邊緣，則允許用單一直線(xiàn)段代替鄰接線(xiàn)段．請(qǐng)注意，由于多直線(xiàn)段總是比單直線(xiàn)段的擬合誤差小，因此很有必要使用規(guī)范誤差．在線(xiàn)段合并后，新的線(xiàn)段可能在不同點(diǎn)處分裂．這樣，分裂和合并交替作用直到?jīng)]有線(xiàn)段被

18、合并和分裂為止．圖7．7所示的是先分裂后合并來(lái)修補(bǔ)壞頂點(diǎn)位置的示意圖． 　　一種有效的分裂和合并算法是從邊緣表中的前k個(gè)邊緣構(gòu)成的子列表開(kāi)始，而不是整個(gè)邊緣列表．用直線(xiàn)段擬合子表中第一和最后一個(gè)邊緣點(diǎn)之間的邊緣點(diǎn)．如果最大規(guī)范誤差太大，則將子列表縮到最大誤差對(duì)應(yīng)的邊緣點(diǎn)處，這樣一直進(jìn)行下去，就可以得到第一條擬合直線(xiàn)段，這實(shí)際上是分裂算法．置當(dāng)前擬合的直線(xiàn)段為舊線(xiàn)段，再在剩下的邊緣點(diǎn)集中取前k個(gè)邊緣構(gòu)成新子列表，用分裂算法求取第二條擬合直線(xiàn)段．比較當(dāng)前直線(xiàn)段和原直線(xiàn)段的方向，如果它們具有相似的方向，則將這兩條直線(xiàn)段合并，這是合并算法． 　　實(shí)際的輪廓曲線(xiàn)并不全是由直線(xiàn)段組成，可能還包含有各種

19、弧線(xiàn)或自由曲線(xiàn)．因此，僅使用直線(xiàn)段擬合比較粗糙，自然人們想到了用弧線(xiàn)段逼近．通常的弧線(xiàn)有二次／三次或更高次的曲線(xiàn)，這些都稱(chēng)為多項(xiàng)式曲線(xiàn)．下面我們主要討論二次曲線(xiàn)和三次樣條曲線(xiàn)． 圖7．7 (a)　原始邊緣點(diǎn)集．(b)自底而上的邊緣合并方法產(chǎn)生的壞角點(diǎn)估計(jì)． (c) 漏掉的真實(shí)角點(diǎn)位置由分裂和合并過(guò)程來(lái)修補(bǔ) 7．2．2　圓錐曲線(xiàn) 　　下面討論如何用圓錐曲線(xiàn)逼近邊緣表．圓錐曲線(xiàn)的一般表示如下： (7．10) 圓錐曲線(xiàn)也稱(chēng)二次曲線(xiàn)，因?yàn)槎吻€(xiàn)都是用平面切割正圓錐面的截線(xiàn)，如圖7．8所示．若平面不通過(guò)錐頂，且不平行任一母線(xiàn)，則截線(xiàn)為橢圓，其中圓是橢圓

20、的一種特殊情況，此時(shí)的平面垂直于錐軸；若平面不通過(guò)錐頂?shù)叫杏谝粭l母線(xiàn)時(shí)，截線(xiàn)為拋物線(xiàn)；若平面不通過(guò)錐頂，且平行于錐軸，截線(xiàn)為雙曲線(xiàn)．當(dāng)平面通過(guò)通過(guò)錐頂時(shí)，橢圓變?yōu)橐稽c(diǎn)，雙曲線(xiàn)變?yōu)橐粚?duì)相交的直線(xiàn)，拋物線(xiàn)變?yōu)榕c圓錐相切的一條直線(xiàn)．由此可見(jiàn)，使用二次曲線(xiàn)來(lái)逼近數(shù)字輪廓曲線(xiàn)，可以有效地?cái)M合數(shù)字曲線(xiàn)中的直線(xiàn)和圓弧等各種二次曲線(xiàn)．由于二次曲線(xiàn)中除了特殊的直線(xiàn)外，最簡(jiǎn)單的情況時(shí)圓弧，因而得到了大量的研究．我們將單獨(dú)討論圓弧逼近方法． 圖7．8 圓錐和平面定義的圓錐曲線(xiàn) (1) 圓弧段 用直線(xiàn)段逼近邊緣表以后，其中的一些直線(xiàn)段序列可以由圓弧段來(lái)代替，比如，用直線(xiàn)段擬合一個(gè)

21、圓弧是可能需要許多個(gè)直線(xiàn)段才能滿(mǎn)足擬合誤差．如果將這些直線(xiàn)段用用圓弧段來(lái)擬合，則僅需要一條圓弧段即可．因此可見(jiàn)，圓弧段擬合是在多邊形的頂點(diǎn)上進(jìn)行的． 具有半徑r和圓心坐標(biāo)的圓弧隱式方程為： （7．11） 考慮三點(diǎn)，，，不失一般性，設(shè)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，即．把點(diǎn)，，代入上述方程： 　　　　　　　　?。? ．12） 分別用第二和第三方程減去第一方程，得到如下兩個(gè)方程： 　 　 （7．13） 這是兩個(gè)關(guān)于未知參數(shù)的非線(xiàn)性方程，求解,即可由（7．12）的第一個(gè)式子得到園的半徑. 為了計(jì)算圓弧擬合誤差，將點(diǎn)Q到圓的距離定義為沿著通過(guò)園心

22、直線(xiàn)方向點(diǎn)Q與圓的距離．計(jì)算點(diǎn)到園中心的距離: (7．14) 點(diǎn)Q到圓弧段的距離是 (7．15) 用圓弧段擬合多直線(xiàn)段時(shí)，圓弧段的兩個(gè)端點(diǎn)要經(jīng)過(guò)多直線(xiàn)段的某兩個(gè)頂點(diǎn)，第三個(gè)點(diǎn)位于這兩個(gè)頂點(diǎn)之間。選擇第三個(gè)點(diǎn)時(shí)可能有如下幾種情況： １． 選用距離連接這兩個(gè)頂點(diǎn)直線(xiàn)最遠(yuǎn)的多直線(xiàn)段頂點(diǎn)． ２． 選用距離連接這兩個(gè)頂點(diǎn)直線(xiàn)最遠(yuǎn)的邊緣點(diǎn)． 　?。常x用這兩個(gè)頂點(diǎn)之間所有頂點(diǎn)的中點(diǎn)． 　　４．選用這兩個(gè)頂點(diǎn)之間所有邊緣的中點(diǎn) 　　計(jì)算所有邊緣點(diǎn)和圓弧段之間的距離誤差，計(jì)算最大絕對(duì)誤差和符號(hào)變化次數(shù)

23、．如果最大規(guī)范誤差低于某一閾值，而符號(hào)變化次數(shù)很大，則接受這一圓弧段；否則，保留多線(xiàn)段逼近．關(guān)于圓弧段逼近的文獻(xiàn)很多，感興趣的讀者可以參見(jiàn)文獻(xiàn)[]。 用直線(xiàn)段和圓弧段可以有效地表示數(shù)字輪廓曲線(xiàn)，但是用兩種不同的線(xiàn)段基元表示輪廓會(huì)造成不便．下一節(jié)我們將討論圓錐曲線(xiàn)，圓錐曲線(xiàn)允許直線(xiàn)段、圓弧段、和其它基元共同出現(xiàn)在同一種表示中．圓錐曲線(xiàn)段表示也提供了曲線(xiàn)之間平滑過(guò)渡的方法，也是角點(diǎn)的顯式表示． (2) 圓錐曲線(xiàn) 　　圓錐曲線(xiàn)可以擬合輪廓多直線(xiàn)段上的三個(gè)頂點(diǎn)．將圓錐曲線(xiàn)段連接在一起的點(diǎn)稱(chēng)為結(jié)點(diǎn)．圓錐樣條曲線(xiàn)是圓錐曲線(xiàn)的一個(gè)序列，它們的端點(diǎn)和端點(diǎn)連接在一起，在結(jié)點(diǎn)處具有相等的正

24、切，以便使兩個(gè)鄰接曲線(xiàn)段之間平滑過(guò)渡．設(shè)多直線(xiàn)段端點(diǎn)為．圓錐逼近如圖7．9所示． 圖7．9 由三點(diǎn)定義的圓錐曲線(xiàn)逼近 圖7．10 由兩個(gè)端點(diǎn)、三頂點(diǎn)構(gòu)成的正切和第三點(diǎn)定義的圓錐曲線(xiàn) 圓錐樣條中的每一個(gè)圓錐曲線(xiàn)由兩個(gè)端點(diǎn)、兩個(gè)正切和第三點(diǎn)確定．結(jié)點(diǎn)位于多線(xiàn)段頂點(diǎn)之間： (7．16) 其中取0和1之間的數(shù)值．正切由三個(gè)頂點(diǎn), 和組成的三角形來(lái)定義．第三點(diǎn)如圖7．10所示，由下面式子計(jì)算

25、(7．17) 有幾種特殊的情況可以通過(guò)如下方法來(lái)處理．如果，那么第個(gè)圓錐樣條曲線(xiàn)是到的直線(xiàn)段．如果和，那么，和對(duì)應(yīng)于同一點(diǎn)，在圓錐曲線(xiàn)序列中有一個(gè)角點(diǎn)．這些性質(zhì)使得直線(xiàn)段和角點(diǎn)可以明顯地表示出來(lái)，無(wú)需求助于不同的基元和特殊的標(biāo)志． 圖7．11 圓錐曲線(xiàn)的導(dǎo)向形式 這里所示的計(jì)算圓錐樣條算法使用了一個(gè)圓錐曲線(xiàn)的導(dǎo)向形式，以表示由三條直線(xiàn)約束的圓錐曲線(xiàn)，如圖7．11所示．直線(xiàn)方程為 (7．18) 設(shè)多直線(xiàn)段中的第一和最后一個(gè)頂點(diǎn)為A和B，C是多線(xiàn)段的中間頂點(diǎn)，用弦AB連接第一和最后一個(gè)頂點(diǎn)．圓錐曲線(xiàn)導(dǎo)向形式是端點(diǎn)位于A(yíng)

26、和B的圓錐體的家族，正切AC和BC由下面方程定義： (7．19) 其中 (7．20) 是包含直線(xiàn)段AC的直線(xiàn)，而 (7．21) 是包含直線(xiàn)段BC的直線(xiàn)，以及 (7．22) 是包含弦BC的直線(xiàn)． 圓錐曲線(xiàn)的家族由參數(shù)來(lái)定義． 圓錐曲線(xiàn)擬合邊緣表的算法是從直線(xiàn)段開(kāi)始的，并把頂點(diǎn)分為角點(diǎn)(corner)、軟頂點(diǎn)(soft vertex)或結(jié)點(diǎn)(knot)三類(lèi)．軟頂點(diǎn)

27、對(duì)應(yīng)的角接近，相鄰的直線(xiàn)段幾乎共線(xiàn)，并可以用圓錐曲線(xiàn)來(lái)代替．軟頂點(diǎn)序列對(duì)應(yīng)于緩變方向角的直線(xiàn)段序列，很可能是對(duì)光滑曲線(xiàn)的采樣點(diǎn)進(jìn)行擬合的結(jié)果．角點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)角大于或小于，其中是閾值，角點(diǎn)不可能成為圓錐曲線(xiàn)的一部分．結(jié)點(diǎn)位于某一條直線(xiàn)段上，該直線(xiàn)段的端點(diǎn)上具有軟頂點(diǎn)．一個(gè)圓錐曲線(xiàn)不可能有拐點(diǎn)，所以?xún)蓚€(gè)圓錐曲線(xiàn)在結(jié)點(diǎn)處連接．結(jié)點(diǎn)在直線(xiàn)段上的位置由直線(xiàn)段端點(diǎn)的軟頂點(diǎn)相對(duì)角度確定．設(shè)兩個(gè)軟頂點(diǎn)和的角度分別是和．如果, 那么結(jié)點(diǎn)可以位于頂點(diǎn)的中間，也就是說(shuō)，在方程7．16中，．如果角度不相等，那么，結(jié)點(diǎn)位置應(yīng)該偏離具有較大角度的那個(gè)角點(diǎn)，這是由于圓錐曲線(xiàn)不可能偏離直線(xiàn)段而足夠迅速地彎曲去跟蹤角點(diǎn)．方程7

28、．16的值可以由下式計(jì)算： (7．23) 由軟頂點(diǎn)連接的每一個(gè)直線(xiàn)段序列可由穿過(guò)第一和最后一個(gè)頂點(diǎn)（或結(jié)點(diǎn)）的導(dǎo)向圓錐代替．第一和最后一個(gè)直線(xiàn)段的方向角定義了正切．正切和端點(diǎn)確定圓錐5個(gè)自由度的4個(gè)．讓圓錐穿過(guò)位于序列中央的軟頂點(diǎn)可以完全確定圓錐． 7．３ 樣條曲線(xiàn) 早期繪圖員在制圖時(shí)，使用一種富有彈性的細(xì)長(zhǎng)條，稱(chēng)為樣條。用壓鐵將樣條固定在若干樣點(diǎn)上，然后沿樣條可以畫(huà)出很光滑的曲線(xiàn)，人們將該曲線(xiàn)稱(chēng)為樣條曲線(xiàn)．從數(shù)學(xué)上講，樣條曲線(xiàn)是用分段多項(xiàng)式表示的一個(gè)函數(shù)，在其連接點(diǎn)處具有連續(xù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)． 樣條曲線(xiàn)有著許多應(yīng)用．在數(shù)據(jù)分析中，

29、當(dāng)沒(méi)有合適的函數(shù)模型時(shí)，可以選用樣條函數(shù)擬合數(shù)據(jù)點(diǎn)．在計(jì)算機(jī)圖形和計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)中，樣條函數(shù)用來(lái)表示自由曲線(xiàn)．在機(jī)器視覺(jué)中，若沒(méi)有表示曲線(xiàn)的合適模型時(shí)，樣條函數(shù)可以提供曲線(xiàn)的通用表示形式． 需要指出，幾何等效和參數(shù)等效是兩個(gè)不同的概念．兩條曲線(xiàn)在幾何上等效，是指它們連接相同的點(diǎn)集，即它們?cè)诳臻g上對(duì)應(yīng)著相同的形狀（或點(diǎn)集）．如果兩條曲線(xiàn)的方程一樣，則兩條曲線(xiàn)在參數(shù)上等效．顯然，參數(shù)等效性比幾何等效性更穩(wěn)定．兩條曲線(xiàn)可以是幾何上等效但可以具有不同的參數(shù)表示式，這是機(jī)器視覺(jué)中曲線(xiàn)擬合的一個(gè)重要概念．比如，機(jī)器視覺(jué)系統(tǒng)可以產(chǎn)生基于三次樣條曲線(xiàn)的表示，其在幾何上非常接近于物體輪廓的真實(shí)表示，但在參數(shù)意

30、義上，表示可能完全不同．在物體識(shí)別應(yīng)用方面和工業(yè)零件圖像與其模型匹配應(yīng)用中，通過(guò)比較三次樣條曲線(xiàn)的參數(shù)形式實(shí)現(xiàn)匹配幾乎是不可能的，在這種情況下，比較必須基于幾何等效性． ７．３．１　三次樣條曲線(xiàn) 樣條函數(shù)最常見(jiàn)的形式是三次樣條函數(shù)，它是分段三次多項(xiàng)式的一個(gè)序列．上一節(jié)所討論的直線(xiàn)段、圓弧段和圓錐曲線(xiàn)序列是樣條函數(shù)的典型實(shí)例．三次樣條函數(shù)可以用很少幾個(gè)樣條段表示很復(fù)雜的曲線(xiàn)．三次樣條函數(shù)已經(jīng)廣泛用于計(jì)算機(jī)圖形領(lǐng)域和字符輪廓表示． 三次樣條具有足夠的自由度來(lái)逼近邊緣段位置和方向．我們知道，大多數(shù)邊緣檢測(cè)算法同時(shí)提供邊緣方向（梯度角）和邊緣位置估計(jì)．在直線(xiàn)段、圓弧段和圓錐曲線(xiàn)的擬合中，僅僅使用

31、了邊緣的位置信息．下面介紹一種三次樣條曲線(xiàn)擬合中如何使用由邊緣檢測(cè)器產(chǎn)生的方向信息的例子． 平面三次曲線(xiàn)方程如下: (7．24) 其中系數(shù)，，，是二元向量，參數(shù)u取值范圍在0和1之間．三次曲線(xiàn)起始點(diǎn)為，終結(jié)點(diǎn)為．三次樣條是由三次曲線(xiàn)段，，．．．，構(gòu)成的一個(gè)序列，這一序列定義在連續(xù)間隔，，．．．，上，并將端點(diǎn)連結(jié)起來(lái)使得在端點(diǎn)處，見(jiàn)圖7．12．樣條中的每一個(gè)三次曲線(xiàn)段稱(chēng)為樣條段，連結(jié)樣條段的邊緣點(diǎn)稱(chēng)為結(jié)點(diǎn)． 圖　7.12 個(gè)控制點(diǎn)的分段連續(xù)三次樣條插值曲線(xiàn) 和前面討論的曲線(xiàn)擬合算法一樣，把邊緣點(diǎn)序列分成一個(gè)個(gè)子序列，每一個(gè)子序

32、列的第一個(gè)和最后一個(gè)邊緣點(diǎn)為樣條曲線(xiàn)的結(jié)點(diǎn)，然后再用樣條段擬合這些結(jié)點(diǎn)．由公式7．24可知，樣條中每一個(gè)三次曲線(xiàn)段都需要確定四個(gè)二維向量共計(jì)八個(gè)參數(shù)，其中，曲線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)（或結(jié)點(diǎn)）共提供四個(gè)約束，結(jié)點(diǎn)處的一階連續(xù)性（等正切向量）提供另兩個(gè)約束，結(jié)點(diǎn)處的方向信息僅提供一個(gè)附加約束（由于結(jié)點(diǎn)由兩個(gè)樣條段共享），結(jié)點(diǎn)處的二階連續(xù)性（等曲率）提供兩個(gè)約束，這樣所產(chǎn)生的方程數(shù)量為九個(gè)，多于三次樣條段所需的八個(gè)參數(shù)． 　　在結(jié)點(diǎn)處光滑連接樣條段是非常重要的。在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，光滑連接是通過(guò)增加二階連續(xù)性來(lái)實(shí)現(xiàn)．由上面分析可知，二階連續(xù)性會(huì)提供兩個(gè)約束，從而對(duì)樣條段產(chǎn)生超約束。為了避免超約束，同時(shí)又要使

33、結(jié)點(diǎn)處光滑，可以采用結(jié)點(diǎn)處二階不連續(xù)性的極小化條件，也就是說(shuō)把結(jié)點(diǎn)處的曲率差值極小化作為一個(gè)約束代替二階連續(xù)性提供兩個(gè)約束。 對(duì)于整個(gè)三次樣條曲線(xiàn)，求 n-1個(gè)結(jié)點(diǎn)處二階導(dǎo)數(shù)差值平方和的極小化： (7．25) 其中兩個(gè)樣條段在其公共結(jié)點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)差值是 (7．26) 變量是結(jié)點(diǎn)處的正切向量，該正切向量由邊緣方向（梯度角）和一個(gè)有正負(fù)號(hào)的未知參數(shù)來(lái)決定： (7．27) 換句話(huà)說(shuō)，在結(jié)點(diǎn)處的邊緣方向可以用一個(gè)單位向量

34、表示，但三次樣條需要具有大小及正負(fù)號(hào)的正切量，以表示穿越結(jié)點(diǎn)的方向和速度．用該算法求解線(xiàn)性系統(tǒng)方程，可以得到n個(gè)未知數(shù)，由此提供構(gòu)造結(jié)點(diǎn)之間三次樣條段的丟失信息． 本算法沒(méi)有任何附加參數(shù)和閾值，但是，同前面介紹的多線(xiàn)段、圓弧段和圓錐截面擬合算法一樣，結(jié)點(diǎn)必須從邊緣表中選出．使用上面所述的多線(xiàn)段算法進(jìn)行輪廓多線(xiàn)段逼近可以確定結(jié)點(diǎn)位置。多線(xiàn)段頂點(diǎn)也可以作為結(jié)點(diǎn)的位置。調(diào)節(jié)結(jié)點(diǎn)的位置和數(shù)量可以改善三次樣條對(duì)整個(gè)邊緣點(diǎn)集的擬合． 三次樣條擬合算法僅僅需要求解一個(gè)小的線(xiàn)性系統(tǒng)就可以得到正切值的符號(hào)和量值，因此該算法十分有效．如果需要的話(huà)，可以使用許多交互式圖形界面，在其上可以很方便地調(diào)節(jié)三次樣條曲線(xiàn)

35、． 7．3．2 樣條曲線(xiàn) 樣條曲線(xiàn)是由結(jié)點(diǎn)引導(dǎo)的逐段多項(xiàng)式曲線(xiàn)，是一種平滑和內(nèi)插技術(shù)．樣條與上述樣條曲線(xiàn)不同，它不必通過(guò)結(jié)點(diǎn)，我們將這種結(jié)點(diǎn)稱(chēng)為引導(dǎo)結(jié)點(diǎn)．樣條曲線(xiàn)的三次多項(xiàng)式是最常用的，因?yàn)檫@些樣條曲率連續(xù)度為最低．已知引導(dǎo)結(jié)點(diǎn)序列為，，．．．，，則三次B－樣條多項(xiàng)式為： 　　　　　（7．28） 式中，，，為參數(shù)的三次多項(xiàng)式．下面確定上式四個(gè)多項(xiàng)式所對(duì)應(yīng)的16個(gè)參數(shù)．對(duì)任意的，相鄰曲線(xiàn)段，以及二階導(dǎo)數(shù)必須連續(xù)的條件提供15個(gè)等式，例如，，則有： 　　　　（7．29） 并提供以下五個(gè)等式： ，，，， 的形狀對(duì)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換不變的條件提供了另一個(gè)方程：

36、 （7.30） 通過(guò)解16個(gè)等式，可以得到如下16個(gè)系數(shù)： 　　 　　　　　（7.31） 顯然這四個(gè)多項(xiàng)式都是非負(fù)的，根據(jù)式（7.30），曲線(xiàn)上的任何點(diǎn)都是四個(gè)控制結(jié)點(diǎn)的插補(bǔ)，即曲線(xiàn)段包含在由四個(gè)控制結(jié)點(diǎn)確定的方塊內(nèi)．如圖7．13所示．通常，次的樣條包含在由控制點(diǎn)確定的多邊形內(nèi)。由于樣條的優(yōu)良特性和對(duì)于任何控制點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性，故在實(shí)際中較為常用。 圖7．13 樣條曲線(xiàn)示意圖。（a）直線(xiàn)，(b) 二次樣條曲線(xiàn)，（3）三次樣條曲線(xiàn) 7．４ 曲線(xiàn)回歸逼近 　　目前有許許多多曲線(xiàn)逼近方法，其區(qū)別主要取決于邊緣點(diǎn)組成輪廓點(diǎn)的可靠度。如果將所有邊緣點(diǎn)連接起來(lái)可以組成一個(gè)輪

37、廓，那么就可以用最小二次回歸法來(lái)進(jìn)行邊緣點(diǎn)曲線(xiàn)擬合．如果存在組合誤差（Grouping Error），則可以使用魯棒回歸方法來(lái)進(jìn)行曲線(xiàn)逼近．如果邊緣點(diǎn)組成的輪廓不可靠，或者邊緣點(diǎn)太分散以至于無(wú)法用連接或跟蹤方法來(lái)組成輪廓，那么必須使用聚類(lèi)分析（Cluster Analysis）技術(shù)同時(shí)進(jìn)行邊緣點(diǎn)的組合和曲線(xiàn)逼近．同時(shí)用組合和曲線(xiàn)逼近方法處理分散邊緣點(diǎn)算法的最好例子是Hough變換，這一內(nèi)容將在下面討論 前面幾節(jié)討論的直線(xiàn)段、圓弧段、圓錐曲線(xiàn)和三次樣條擬合邊緣點(diǎn)的方法屬于一般回歸問(wèn)題，主要用于端點(diǎn)之間的曲線(xiàn)擬合．這些算法都假定邊緣的位置可以精確計(jì)算，甚至可能使用子像素計(jì)算方法．這種回歸算法沒(méi)有

38、使用端點(diǎn)之間的邊緣點(diǎn)信息，因此曲線(xiàn)的擬合精度主要取決于端點(diǎn)的位置精度．本節(jié)討論的曲線(xiàn)最佳逼近方法將使用所有邊緣點(diǎn)信息． 一般曲線(xiàn)擬合問(wèn)題是一個(gè)曲線(xiàn)的回歸問(wèn)題, 曲線(xiàn)用個(gè)參數(shù)的隱函數(shù)表示： (7．32) 曲線(xiàn)預(yù)估問(wèn)題就是指這種曲線(xiàn)模型擬合一個(gè)邊緣點(diǎn)集，． 在無(wú)噪聲情況下，通過(guò)次觀(guān)測(cè)產(chǎn)生的個(gè)方程來(lái)求解個(gè)未知曲線(xiàn)參數(shù)．不幸的是在大多數(shù)場(chǎng)合，由于噪聲的原因，這一直接方法不是很有效．實(shí)際的應(yīng)用常常需要使用邊緣表中所有信息來(lái)獲取這些參數(shù)的最佳估計(jì)． 下一節(jié)我們將討論最小二次回歸方法，這種方法在計(jì)算機(jī)視覺(jué)中主要用于曲線(xiàn)擬合．當(dāng)誤差服從正態(tài)分布時(shí)，最小二次方法

39、是最合適的擬合方法．7.4.3將討論曲線(xiàn)擬合的魯棒性方法，這種方法在一些邊緣點(diǎn)被錯(cuò)誤地連接到某一輪廓時(shí)特別有用．這種被錯(cuò)誤地連接的點(diǎn)被稱(chēng)為局外點(diǎn)（Outlier）． ７．４．1 全回歸方法 傳統(tǒng)的線(xiàn)性回歸方法僅僅在一維獨(dú)立變量空間中對(duì)數(shù)據(jù)和模型差值求極小化．比如，一個(gè)函數(shù)模型具有下列形式， (7．33) 上式把獨(dú)立變量和獨(dú)立變量聯(lián)系起來(lái)，具有個(gè)模型參數(shù)（…），并假定獨(dú)立變量沒(méi)有誤差．在機(jī)器視覺(jué)中，和的坐標(biāo)位置誤差很可能相等，其對(duì)應(yīng)的曲線(xiàn)模型是一條垂直線(xiàn)，這樣就無(wú)法用上述方程來(lái)表示．在機(jī)器視覺(jué)中，邊緣點(diǎn)的直線(xiàn)和曲線(xiàn)模型擬合是通過(guò)使用全回歸方

40、法實(shí)現(xiàn)的，即對(duì)所有的數(shù)據(jù)點(diǎn)與回歸模型之間距離的平方和進(jìn)行極小化，這一技術(shù)的優(yōu)點(diǎn)是能夠補(bǔ)償和方向的誤差． 為了避免垂直直線(xiàn)引起得問(wèn)題，可以使用如下極坐標(biāo)形式來(lái)表示直線(xiàn)方程： (7．34) 求所有點(diǎn)到該直線(xiàn)垂直距離的平方和極小化： (7．35) 全回歸問(wèn)題的解是： (7．36) 其中 (7．37) 全回歸直線(xiàn)方向角為，由下式給出： (7．38) 其中 全回歸方法使用了最小二

41、次誤差范數(shù)，如果誤差服從正態(tài)分布，則誤差范數(shù)是最優(yōu)的。該方法不適用于數(shù)據(jù)中有局外點(diǎn)的情況．在用曲線(xiàn)模型擬合邊緣點(diǎn)時(shí)，如果邊緣連接算法從其它輪廓上吸收一個(gè)或一個(gè)以上邊緣點(diǎn)到本輪廓邊緣表中，即產(chǎn)生了邊緣局外點(diǎn)局外點(diǎn)．即使邊緣連接算法完美無(wú)缺，也免不了局外點(diǎn)的產(chǎn)生．例如，考慮對(duì)應(yīng)一個(gè)矩形兩條鄰接邊的邊緣表，在用直線(xiàn)擬合邊緣前，必須識(shí)別出角點(diǎn)以便把邊緣表分割兩條邊．如果不能正確地識(shí)別角點(diǎn)，那么，一些邊緣點(diǎn)可能被分配給錯(cuò)誤的邊，這些邊緣點(diǎn)即為局外點(diǎn)． 通常在分類(lèi)時(shí)產(chǎn)生的誤差會(huì)引入到回歸問(wèn)題里，其中的誤差不服從正態(tài)分布．在這種情況下，誤差可以由一個(gè)混合模型來(lái)表示，即把描述正態(tài)分布誤差的高斯分布函

42、數(shù)和描述由于分類(lèi)不理想而引起的局外點(diǎn)分布的拖尾分布函數(shù)混合起來(lái)． 7．４．2 角點(diǎn)估計(jì) 角點(diǎn)估計(jì)的最佳方法是使用直線(xiàn)段逼近邊緣點(diǎn)來(lái)求出直線(xiàn)段序列，然后計(jì)算直線(xiàn)段之間的交點(diǎn)．這一方法補(bǔ)償了由邊緣檢測(cè)算子對(duì)角點(diǎn)的平滑作用而引入的誤差，并且比利用局部信息的角點(diǎn)檢測(cè)算子求出的角點(diǎn)更精確． 已知兩條直線(xiàn)的隱函數(shù)方程為 (7．39) (7．40) 交點(diǎn)坐標(biāo)為： (7．41) 如果非常接近零，那么兩條直線(xiàn)幾乎平行，沒(méi)有交點(diǎn)． 一種

43、較好的探測(cè)角點(diǎn)方法是沿著輪廓用一對(duì)直線(xiàn)擬合個(gè)邊緣點(diǎn)中的一個(gè)個(gè)連續(xù)子表，其中，參數(shù)是邊緣點(diǎn)數(shù)量，用于精確直線(xiàn)擬合；參數(shù)是位于角點(diǎn)周?chē)挥杩紤]的邊緣點(diǎn)的數(shù)量，即跨越角點(diǎn)圓弧部分的邊緣點(diǎn)．設(shè)置一個(gè)閾值，檢測(cè)的幅值是否大于該閾值即可決定角點(diǎn)是否存在． 7．４．3 魯棒回歸法 如果誤差不服從正態(tài)分布，那么最小二乘法就不是最佳擬合方法．圖7．14所示的是數(shù)據(jù)集合包含一些局外點(diǎn)時(shí)，使用最小二乘法所遇到的問(wèn)題的一個(gè)例子．在實(shí)際中，可能一個(gè)局外點(diǎn)就足夠把回歸直線(xiàn)推向遠(yuǎn)離其正確的位置．魯棒性回歸方法要對(duì)數(shù)據(jù)的各種子集進(jìn)行測(cè)試，從中選擇一個(gè)產(chǎn)生最佳擬合的子集． 圖7．14 使用最小二

44、次回歸曲線(xiàn)擬合方法和魯棒性回歸方法對(duì)包含有局外點(diǎn)的一組數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合的差別 圖7．15 最小二次方法對(duì)局外點(diǎn)敏感度的物理模擬圖[Jain]． 圖7．15是一個(gè)物理模擬圖，可以使問(wèn)題變的更加清楚．設(shè)想一下你準(zhǔn)備求出平面上一組點(diǎn)的質(zhì)心．把具有相同彈簧系數(shù)的若干彈簧的一端連接到一個(gè)可以自由運(yùn)動(dòng)的物體上，另一端分別系在不同的固定點(diǎn)上，物體將會(huì)被拉到一個(gè)平衡（平均）位置上．彈簧將通過(guò)彈簧勢(shì)能方程進(jìn)行最小二乘法范數(shù)運(yùn)算．這個(gè)物理模擬對(duì)應(yīng)于一個(gè)均值計(jì)算的微分，其中均值是指殘差平方和（即點(diǎn)與均值之差的平方和）極小化判據(jù)中的均值．現(xiàn)在假定其中的一點(diǎn)可以移動(dòng)，并稱(chēng)這一點(diǎn)為杠桿點(diǎn)．用力扯

45、動(dòng)杠桿點(diǎn)到足夠遠(yuǎn)的地方，可以迫使平衡點(diǎn)移動(dòng)到任意一個(gè)位置．這一現(xiàn)像說(shuō)明基于最小二乘法的預(yù)估器對(duì)局外點(diǎn)及其敏感．理想情況下，人們希望把彈簧和局外點(diǎn)隔開(kāi)，使得估計(jì)值不受傷害．改變彈簧常數(shù)使得局外點(diǎn)對(duì)估計(jì)值影響最小，可以實(shí)現(xiàn)基于影響函數(shù)的魯棒性預(yù)估．割斷彈簧與局外點(diǎn)的聯(lián)系對(duì)應(yīng)于再取樣策略，其中一致性子集取樣是確定的．再取樣方法是指重復(fù)抽取隨機(jī)子集并選擇可以產(chǎn)生最佳估計(jì)的子集．再取樣算法的例子包括隨機(jī)抽樣一致性、最小中值二次回歸、以及其它計(jì)算機(jī)中常用的回歸方法． 彈簧模擬方法推廣到線(xiàn)性回歸系統(tǒng)也有一樣的結(jié)論，即單一的局外點(diǎn)可以扭曲回歸估計(jì)．對(duì)第個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，n階線(xiàn)性多變量模型可以用下面的方程表示：

46、 (7．42) 其中是模型參數(shù)的估計(jì)值．每一點(diǎn)的殘差（預(yù)估模型數(shù)據(jù)點(diǎn)的微分）是．在最小二次回歸算法中，模型參數(shù)的估計(jì)由殘差平方和的極小化求得： (7．43) 同上述的彈簧模擬方法一樣，如果僅有一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)是局外點(diǎn)，模型參數(shù)可能是任意的． 通常，噪聲和局外點(diǎn)可以用聯(lián)合分布表示，即噪聲的正態(tài)分布和局外點(diǎn)的寬尾分布的線(xiàn)性組合．在這種情況下可以清楚的看到，預(yù)估器的范數(shù)同小誤差的最小二次范數(shù)一樣，同時(shí)對(duì)大誤差不敏感，這樣就可以忽略局外點(diǎn)的影響．這種方法稱(chēng)為影響函數(shù)法． 為了定量說(shuō)明局外點(diǎn)對(duì)函數(shù)逼近的影響，我們引進(jìn)潰

47、點(diǎn)（breakdown point）這一術(shù)語(yǔ)。潰點(diǎn)是指局外點(diǎn)占整個(gè)數(shù)據(jù)的一個(gè)最小比例值，當(dāng)局外點(diǎn)數(shù)不超過(guò)這個(gè)值時(shí)，無(wú)論局外點(diǎn)如何不正確，都不會(huì)使預(yù)估算法產(chǎn)生任意的錯(cuò)誤估計(jì)[207]．設(shè)是個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的集合，將集合中任意個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)置成任意值（局外點(diǎn)），構(gòu)成一個(gè)含有個(gè)任意點(diǎn)的集合．設(shè)一個(gè)回歸預(yù)估器，由局外點(diǎn)造成的預(yù)估偏差為： (7．44) 設(shè)置潰點(diǎn)的基本思想是定量分析局外點(diǎn)的數(shù)量在數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)量n中所占比例增加時(shí)對(duì)Bias 值的影響程度．當(dāng)增加到一定數(shù)量時(shí)，Bias無(wú)界，這就是潰點(diǎn)．當(dāng)?shù)陀跐Ⅻc(diǎn)時(shí)，回歸估計(jì)器可以完全拒絕局外點(diǎn)，或使得局外點(diǎn)對(duì)預(yù)估結(jié)果影響很?。?dāng)高

48、于潰點(diǎn)時(shí)，局外點(diǎn)可以驅(qū)使預(yù)估器產(chǎn)生任意的解案，答案將取決于局外點(diǎn)而不是合法數(shù)據(jù)．換句話(huà)說(shuō)，預(yù)估器所提供的結(jié)果是不可預(yù)估的．潰點(diǎn)定義為： （7．45） 對(duì)于最小二次回歸，，在極限情況下，當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)量變的很大時(shí)，．換句話(huà)說(shuō)，最小二次回歸方法對(duì)局外點(diǎn)無(wú)免疫能力，一個(gè)局外點(diǎn)即可毀掉結(jié)果． 最小二次中值回歸方法是一種非常簡(jiǎn)單的技術(shù)，并被證明是解決大量局外點(diǎn)回歸問(wèn)題的非常有效的方法，算法7．3概括了該算法。最小中值二次方法可以容錯(cuò)高達(dá)百分之五十的局外點(diǎn)，也就意味著數(shù)據(jù)點(diǎn)集內(nèi)，有一半的數(shù)據(jù)可以取任意值而不會(huì)嚴(yán)重地影響回歸結(jié)果．如果有多于百分之五十的點(diǎn)為局外點(diǎn)，最小二次回歸方法不

49、會(huì)工作的很好，此時(shí)需要更有效的方法，如Hough變換． 在最小中值二次回歸方法中，模型參數(shù)的估計(jì)由極小化殘差平方的中值求得： （7．46） 算法7．3 最小中值二次回歸方法 假定有n個(gè)數(shù)據(jù)和p個(gè)參數(shù)的線(xiàn)性模型 1. 在n各個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)集中，隨機(jī)地選擇p個(gè)點(diǎn)． 2. 用模型擬合p個(gè)點(diǎn)． 3. 計(jì)算殘差平方的中值． 擬合過(guò)程重復(fù)進(jìn)行直到得到足夠小的殘差平方中值，或者達(dá)到預(yù)定的再取樣步長(zhǎng)數(shù)值． 7．5　Hough 變換 最近幾年，使用表決原理的參數(shù)估計(jì)技術(shù)應(yīng)用不斷增加．最常用的表決方法之一是Hough變換．在Houg

50、h變換中，曲線(xiàn)上的每一點(diǎn)可以表決若干參數(shù)組合，贏(yíng)得多數(shù)表決的參數(shù)就是勝者．下面考慮一下直線(xiàn)擬合數(shù)據(jù)的方法．直線(xiàn)方程為： (7．47) 上述方程中，和是觀(guān)測(cè)值，和表示參數(shù)．如果已知參數(shù)值，則該點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系即可確定．把上述方程重新表示為： (7．48) 假定和是我們感興趣的變量，而和是常數(shù)，則上述方程表示的是空間中的一條直線(xiàn)，斜率和截距由和決定．點(diǎn)對(duì)應(yīng)于空間的直線(xiàn)，如圖7．16(a)所示．如果直線(xiàn)上有個(gè)點(diǎn)，那么這些點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)空間上的一個(gè)直線(xiàn)族，且所有直線(xiàn)都經(jīng)過(guò)上的一點(diǎn)，該

51、點(diǎn)的坐標(biāo)當(dāng)然反應(yīng)空間上的直線(xiàn)參數(shù), 如圖7．16(b)所示． 需要指出，參數(shù)空間曲線(xiàn)的形狀取決于用于表示曲線(xiàn)的原始函數(shù)．實(shí)際中，常常使用直線(xiàn)的極坐標(biāo)形式，而不是其顯式表示，這樣可以避免直線(xiàn)是垂直線(xiàn)時(shí)帶來(lái)的問(wèn)題．直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程表示如下： (7．49) 上述方程中，點(diǎn)被映射到空間上，如圖7．16（c）所示．如果直線(xiàn)上有個(gè)點(diǎn)，那么這些點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)空間上的一個(gè)正弦曲線(xiàn)族，且所有正弦曲線(xiàn)都經(jīng)過(guò)上的一點(diǎn)。 如果我們對(duì)求點(diǎn)的最佳直線(xiàn)擬合感興趣，那么，我們就可以使用上述圖像空間到參數(shù)空間的映射．這種方法稱(chēng)為Hough變換．在這種方法中，我們把

52、參數(shù)空間表示為一個(gè)累加器陣列，表示離散參數(shù)值．依照變換方程，圖像中的每一點(diǎn)可以表決幾個(gè)參數(shù)．為了求出表征直線(xiàn)的參數(shù)，我們應(yīng)該探測(cè)參數(shù)空間的峰值．這種一般的想法概括在算法7．4中． 圖7．16 Hough變換示意圖。左邊為圖像空間，右邊為Hough變換空間。 （a）一條直線(xiàn)對(duì)應(yīng)一個(gè)點(diǎn)，(b) 一條直線(xiàn)上的多個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)多條交于一點(diǎn)的直線(xiàn) (c) 一條直線(xiàn)上的多個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)多條交于一點(diǎn)的正弦曲線(xiàn) (b) 圖7.17　Hough變換算法實(shí)驗(yàn)結(jié)果。（a）合成圖像，（b）直角坐標(biāo)參數(shù)空間映射圖，（c）　極坐標(biāo)參數(shù)空間映射圖

53、 算法7．4 Hough變換算法 1. 適當(dāng)?shù)亓炕瘏?shù)空間． 2. 假定參數(shù)空間的每一個(gè)單元都是一個(gè)累加器，把累加器初始化為零． 3. 對(duì)圖像空間的每一點(diǎn)，在其所滿(mǎn)足的參數(shù)方程對(duì)應(yīng)的累加器上加1． 4. 累加器陣列的最大值對(duì)應(yīng)模型的參數(shù)． Hough變換不需要預(yù)先組合或連結(jié)邊緣點(diǎn)．位于感興趣曲線(xiàn)上的邊緣點(diǎn)可能構(gòu)成圖像邊緣的一個(gè)小部分．特別指出，Hough變換可以允許位于曲線(xiàn)上的邊緣數(shù)量少于實(shí)際的邊緣數(shù)量，而大多數(shù)魯棒性回歸算法是無(wú)法適用這種情況．Hough變換所基于的假設(shè)是在大量噪聲出現(xiàn)的情況下，最好是在參數(shù)空間中去求滿(mǎn)足圖像邊緣最大數(shù)量的那個(gè)點(diǎn)．如果參數(shù)空間的峰

54、值包括了一個(gè)以上的累加器，則包含峰值的區(qū)域的矩心就是參數(shù)的一個(gè)估值． 利用上述算法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)圖 7.17 如果圖像中有幾條曲線(xiàn)和給定模型相匹配，則在參數(shù)空間中會(huì)出現(xiàn)幾個(gè)峰值．此時(shí)，可以探測(cè)每一個(gè)峰值，去掉對(duì)應(yīng)于某一個(gè)峰值的曲線(xiàn)邊緣，再檢測(cè)余下的曲線(xiàn)，直到?jīng)]有明顯的邊緣．但是，確定峰值的顯著性是件很困難的事． Hough變換的另一個(gè)問(wèn)題是離散參數(shù)空間隨著參數(shù)的數(shù)量增加迅速增加．對(duì)一個(gè)圓弧段，參數(shù)空間是三維的，對(duì)其它曲線(xiàn)，其維數(shù)可能更高．由于累加器的數(shù)量隨著參數(shù)空間的增加成指數(shù)增加，Hough變換可能對(duì)于復(fù)雜模型的計(jì)算效率很低．已經(jīng)提出幾種方法來(lái)改進(jìn)Hough變換的性能．一種方法是

55、使用邊界梯度信息來(lái)減少參數(shù)空間的工作量．假定曲線(xiàn)模型是圓．模型有三個(gè)參數(shù)，二個(gè)參數(shù)為圓的圓心坐標(biāo)，另一個(gè)是圓的半徑．如果可以得到邊緣梯度角，就可以提供減少自由度數(shù)量的約束，從而得到所要求的參數(shù)空間尺寸．從圓的中心到每一個(gè)邊緣點(diǎn)的向量方向由梯度角確定，剩下的未知參數(shù)只有圓的半徑．其它一些減少參數(shù)空間的方法也在視覺(jué)中得到應(yīng)用． 下面介紹一下使用梯度角減少參數(shù)尺寸的圓擬合方法。算法過(guò)程見(jiàn)算法7．5．圓的方程為： （7．50） 圓的極坐標(biāo)方程為： （7．51） 則圓的參數(shù)為：

56、 （7．52） 在邊緣點(diǎn)處給定梯度角θ，計(jì)算conθ和sinθ．從上述方程中消除半徑，得到： （7．53） 這是一個(gè)用于升級(jí)參數(shù)空間累加器的方程．對(duì)于每一個(gè)在處并具有邊緣方向角θ的邊緣點(diǎn)來(lái)說(shuō)，沿著方程7．53給定的直線(xiàn)，在參數(shù)空間給累加器一個(gè)增量．如果半徑已知，則只需由方程(7．52)在點(diǎn)處給累加器一個(gè)增量． 這里無(wú)需使用參數(shù)來(lái)描述由Hough變換檢測(cè)的曲線(xiàn)．Hough變換可以一般化為表決算法（見(jiàn)算法7.6），這種算法可以有效地完成模板匹配．算法7．6把物體的邊界形狀編碼成表，以便有效地進(jìn)行讀取操作

57、．其中物體上的一點(diǎn)被選為參考點(diǎn)．根據(jù)定義，圖像中參考點(diǎn)的位置就是物體的位置．對(duì)于每一個(gè)在處并具有梯度角θ的圖像梯度點(diǎn)，參考點(diǎn)可能的位置有下面的方程給出： （7．54） 給每一個(gè)可能的參考點(diǎn)的位置一個(gè)增量．參數(shù)空間的峰值位置是物體位置的一個(gè)估計(jì)．把這一技術(shù)推廣到可以處理尺度和旋轉(zhuǎn)變換不太容易． 算法7．5 圓擬合算法 1. 量化參數(shù)空間a和b． 2. 置累加器陣列為零． 3. 計(jì)算梯度值和角． 4. 對(duì)于中的每一個(gè)邊緣點(diǎn)，沿著直線(xiàn)（見(jiàn)方程7.53）給累加器陣列中的所有點(diǎn)一個(gè)增量． 5. 累加器中局部最大值對(duì)應(yīng)于圖像中的圓中

58、心． 算法7．6廣義Hough變換算法 1. 在物體上取出一個(gè)參考點(diǎn)． 2. 沿著物體的邊界計(jì)算梯度角． 3. 對(duì)每一個(gè)梯度角，存儲(chǔ)對(duì)于參考點(diǎn)的距離和角度． 7．6 傅里葉描述子 由于沿著封閉輪廓的位置函數(shù)是周期性的，因此傅里葉級(jí)數(shù)可以用來(lái)逼近輪廓．輪廓逼近的分辨率由傅里葉級(jí)數(shù)的項(xiàng)數(shù)來(lái)確定． 假定物體的邊界表示為一個(gè)坐標(biāo)的序列，其中．用復(fù)數(shù)來(lái)表示每一個(gè)坐標(biāo)對(duì)，即 （7．55） 其中 ． 換句話(huà)說(shuō)，x軸為實(shí)軸，y軸是復(fù)數(shù)序列的虛軸．注意，對(duì)于封閉邊界，這一序列是周期的，其周期是N，這樣，邊界就可以在一維空間表示． 一維序

59、列函數(shù)的離散傅里葉變換（DFT）定義為： （7．56） （7．57） 復(fù)數(shù)系數(shù)稱(chēng)為邊界的傅里葉描述子． 傅里葉描述子是輪廓表示的簡(jiǎn)潔表示方法．然而，更簡(jiǎn)潔的表示形式是使用傅里葉序列的低階項(xiàng)的低分辨率逼近．如果僅使用前個(gè)系數(shù)，即等同于，則對(duì)的逼近如下： （7．58） 盡管僅使用項(xiàng)來(lái)求邊界的每一項(xiàng)，仍然取0到的區(qū)間．換句話(huà)說(shuō)，被逼近的邊界具有相同的點(diǎn)數(shù)，但用于重建每一個(gè)點(diǎn)的項(xiàng)數(shù)不同． 邊界的簡(jiǎn)單幾何變換，如平移、旋轉(zhuǎn)和尺度變換，將關(guān)系到邊界傅里葉描述子的簡(jiǎn)單操作（見(jiàn)練習(xí)7．19）．這使得傅里葉描述子在邊界匹配中的應(yīng)

60、用非常具有吸引力．然而，傅里葉描述子在描述具有遮擋物體是的確存在一些問(wèn)題．使用其它邊界表示也可以得到類(lèi)似的描述子． 習(xí)題 7.1 什么是輪廓？輪廓與區(qū)域有什么關(guān)系？一個(gè)非封閉輪廓表示什么？ 7.2 請(qǐng)列出選擇輪廓表示的判據(jù)，并討論這些因素在物體識(shí)別中的含義． 7.3 插值和逼近方法有何區(qū)別？那一種方法更好？ 7.4 為了完成的旋轉(zhuǎn)，可能使用16方向的鏈碼編碼．你如何來(lái)完成這一編碼？為什么8方向鏈碼是最常用的鏈碼？ 7.5 逆時(shí)針求取圖7．19所示物體的8-方向鏈碼和鏈碼差分，其中的空心圓點(diǎn)是起點(diǎn)． 圖7.19 思考題7．5的輪廓 7.6 考慮一下7．8．2

61、節(jié)的角點(diǎn)位置估計(jì)方法．當(dāng)兩條直線(xiàn)成直角時(shí)，的值是多少？當(dāng)兩條直線(xiàn)成某一角度θ時(shí)，又為何值？（這是用于設(shè)置角點(diǎn)探測(cè)閾值的公式） 7.7 考慮一下7．8．2節(jié)的角點(diǎn)位置估計(jì)方法．假定邊緣位置x和y的坐標(biāo)誤差服從方差為的正態(tài)分布．角點(diǎn)的位置誤差分布是什么？角點(diǎn)對(duì)應(yīng)的角度是如何影響該誤差的？ 7.8 產(chǎn)生一個(gè)相對(duì)于均勻背景的均勻強(qiáng)度的人工圖像．請(qǐng)使用第五章任何一種邊緣檢測(cè)器計(jì)算邊緣，并用多線(xiàn)段擬合邊緣．請(qǐng)問(wèn)所求得的頂點(diǎn)與真實(shí)角點(diǎn)位置的差距有多大？這種誤差是否一定偏向一個(gè)方向？ 7.9 為什么圖被認(rèn)為是連續(xù)鏈碼？其最吸引人的特點(diǎn)是什么？ 7.10 如何使用圖來(lái)比較兩個(gè)物體？ 7.11 討論一

62、下你所使用的不同的逼近算法誤差測(cè)量．請(qǐng)問(wèn)在逼近算法中，誤差算法測(cè)量起什么作用？ 7.12 為什么說(shuō)三次樣條相對(duì)于多線(xiàn)段和圓錐曲線(xiàn)段是一種更有效的表示方法？ 7.13 試論述幾何等效和參數(shù)等效的差別． 7.14 為什么在全回歸方法中使用最小二次測(cè)量方法？試列出它的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)． 7.15 試說(shuō)明魯棒性方法是如何克服全回歸方法的局限性？為什么魯棒性方法在逼近算法中用的不是很普遍？ 7.16 傅里葉描述子在逼近和表示封閉曲線(xiàn)時(shí)的優(yōu)點(diǎn)和弱點(diǎn)是什么？ 7.17 什么是Hough變換？它是否與魯棒性回歸方法有關(guān)？為什么？ 7.18 你能把Hough變換推廣到檢測(cè)任意物體形狀？如何把Hough變

63、換用于探測(cè)旋轉(zhuǎn)和尺度變換后的物體？ 上機(jī)作業(yè)題 6.1 編制一個(gè)程序求一條給定曲線(xiàn)的鏈碼．你能否利用鏈碼來(lái)確定角點(diǎn)？如果能，請(qǐng)完成這一算法，并用幾幅圖像來(lái)測(cè)試． 6.2 編制一個(gè)用Hough算法檢測(cè)圖像中的直線(xiàn)算法．使用這一算法來(lái)求一幅圖像中的所有大于規(guī)定長(zhǎng)度的直線(xiàn)段，設(shè)規(guī)定的長(zhǎng)度為20點(diǎn)． 6.3 請(qǐng)產(chǎn)生一幅在均勻背景下的具有均勻灰度的矩形物體圖像，使用第五章中任何一種邊緣檢測(cè)方法檢測(cè)矩形物體的邊緣，并用多線(xiàn)段擬合這一邊緣．請(qǐng)問(wèn)多線(xiàn)段中的頂點(diǎn)與真實(shí)的角點(diǎn)接近的程度如何？這些頂點(diǎn)與真實(shí)角點(diǎn)的偏差是否總是在一個(gè)方向上？ 6.4 請(qǐng)產(chǎn)生一幅四個(gè)角點(diǎn)都為圓角的矩形圖像，圓角可用四分圓表示．

64、首先使用邊緣探測(cè)和多線(xiàn)段擬合，然后使用本章介紹的圓弧段擬合方法替代多線(xiàn)段擬合，并測(cè)量圓弧段端點(diǎn)處的誤差．誤差是否對(duì)稱(chēng)？是否角點(diǎn)不均勻使得矩形變的扭曲？ 6.5 完成用于直線(xiàn)擬合邊緣點(diǎn)集表的最小中值二次回歸算法．在邊緣點(diǎn)集表中增加假邊緣，以模擬成組誤差．請(qǐng)畫(huà)出估計(jì)線(xiàn)段與真實(shí)線(xiàn)段之間的距離相對(duì)于假邊緣數(shù)量的曲線(xiàn)． 6.6 考慮一個(gè)相對(duì)于一個(gè)垂直軸對(duì)稱(chēng)的物體．假定可以得到物體左右兩邊的兩個(gè)邊緣段表．采取一種三次樣條擬合邊緣的算法以確保這一對(duì)稱(chēng)性約束，并把這一算法推廣到軸在任意一個(gè)位置． 6.7 假定可以得到一個(gè)相對(duì)于某一個(gè)軸是對(duì)稱(chēng)的物體的輪廓邊緣點(diǎn)集表．把邊緣表處理成一個(gè)直線(xiàn)段和圓弧段序列．編制一個(gè)匹配直線(xiàn)段和圓弧段算法來(lái)檢測(cè)物體是對(duì)稱(chēng)的，并估計(jì)出對(duì)稱(chēng)軸．在確定對(duì)稱(chēng)軸以后，用這一信息來(lái)改善直線(xiàn)段和圓弧段的估計(jì)．請(qǐng)編制一個(gè)細(xì)化輪廓表示的算法．做迭代算法探測(cè)對(duì)稱(chēng)軸的實(shí)驗(yàn)，用這一信息細(xì)化輪廓表示，然后用改進(jìn)的輪廓表示細(xì)化軸位置估計(jì)，重復(fù)這一過(guò)程，直到軸和輪廓表示收斂． 專(zhuān)心---專(zhuān)注---專(zhuān)業(yè)