階段質(zhì)量檢測（二） 平面向量 (時(shí)間120分鐘　滿分150分) 一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(1,3)，那么|a＋b|等于(　　) A．5　　　　　　　　　　　 B. C. D．13 解析：選B　因?yàn)閍＋b＝(3,2)，所以|a＋b|＝＝，故選B. 2．已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，則λ＝(　　) A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 解析：選B　因?yàn)閙＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，由(m＋n)⊥(m－n)，可得(m＋n)(m－n)＝(2λ＋3,3)(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3. 3．設(shè)點(diǎn)A(－1,2)，B(2,3)，C(3，－1)，且＝2－3，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(　　) A．(2,16) B．(－2，－16) C．(4,16) D．(2,0) 解析：選A　設(shè)D(x，y)，由題意可知＝(x＋1，y－2)，＝(3,1)，＝ (1，－4)， ∴2－3＝2(3,1)－3(1，－4)＝(3,14)． ∴∴故選A. 4．某人在靜水中游泳，速度為4 km/h，水流的速度為4 km/h.他沿著垂直于對岸的方向前進(jìn)，那么他實(shí)際前進(jìn)的方向與河岸的夾角為(　　) A．90 B．30 C．45 D．60 解析： 選D　如圖，用表示水速，表示某人垂直游向?qū)Π兜乃俣龋瑒t實(shí)際前進(jìn)方向與河岸的夾角為∠AOC. 于是tan∠AOC＝＝＝＝， ∴∠AOC＝60，故選D. 5．設(shè)D、E、F分別是△ABC的三邊BC、CA、AB上的點(diǎn)，且＝2，＝2，＝2，則＋＋與 (　　) A．反向平行 B．同向平行 C．互相垂直 D．既不平行也不垂直 解析：選A　∵＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋) ＝＋＋ ＝＋＋＋＝－， ∴(＋＋)與平行且方向相反． 6．設(shè)a，b是兩個(gè)非零向量(　　) A．若|a＋b|＝|a|－|b|，則a⊥b B．若a⊥b，則a＋b＝|a|－|b| C．若|a＋b|＝|a|－|b|，則存在實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa D．若存在實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa，則|a＋b|＝|a|－|b| 解析：選C　若|a＋b|＝|a|－|b|，則a，b共線，即存在實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb，故C正確；選項(xiàng)A：當(dāng)|a＋b|＝|a|－|b|時(shí)，a，b可為異向的共線向量；選項(xiàng)B：若a⊥b，由矩形得|a＋b|＝|a|－|b|不成立；選項(xiàng)D：若存在實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa，a，b可為同向的共線向量，此時(shí)顯然 |a＋b|＝|a|－|b|不成立． 7．已知平面上直線l與e所在直線平行且e＝，點(diǎn)O(0,0)和A(1，－2)在l上的射影分別是O′和A′，則＝λe，其中λ等于(　　) A. B．－ C．2 D．－2 解析：選D　由題意可知||＝||cos(π－θ)(θ為與e的夾角)． ∵O(0,0)，A(1，－2)，∴＝(1，－2)． ∵e＝，∴e＝1＋(－2)＝－2＝|||e|cos θ，∴||cos θ＝－2. 又∵||＝|λ||e|，∴λ＝2. 又由已知可得λ<0，∴λ＝－2，故選D. 8．在△ABC中，有下列四個(gè)命題： ①－＝； ②＋＋＝0； ③若(＋)(－)＝0，則△ABC為等腰三角形； ④若>0，則△ABC為銳角三角形． 其中正確的命題有(　　) A．①② B．①④ C．②③ D．②③④ 解析：選C　∵－＝＝－≠，∴①錯(cuò)誤．＋＋＝＋＝－＝0，∴②正確．由(＋)(－)＝－＝0，得||＝||，∴△ABC為等腰三角形，③正確．>0?cos〈，〉>0，即cos A>0，∴A為銳角，但不能確定B，C的大小，∴不能判定△ABC是否為銳角三角形，∴④錯(cuò)誤，故選C. 二、填空題(本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分．請把正確答案填在題中橫線上) 9．已知向量a，b的夾角為120，|a|＝1，|b|＝3，則|5a－b|＝________. 解析：|5a－b|＝＝ ＝ ＝ ＝7. 答案：7 10．在△ABC中，點(diǎn)M，N滿足＝2，＝.若＝x＋y，則x＝________，y＝________. 解析：∵＝2，∴＝. ∵＝，∴＝(＋)， ∴＝－＝(＋)－ ＝－. 又＝x＋y， ∴x＝，y＝－. 答案：　－ 11．已知向量a，b是互相垂直的單位向量，且ca＝cb＝－1，則|c|＝________，|a－2b＋3c|＝________. 解析：不妨設(shè)a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，則ca＝x＝－1，cb＝y(tǒng)＝－1，所以c＝(－1，－1)，|c|＝.所以a－2b＋3c＝(－2，－5)，所以|a－2b＋3c|＝＝. 答案：　 12．若向量a與b滿足|a|＝，|b|＝2，(a－b)⊥a.則向量a與b的夾角等于________，|a＋b|＝________. 解析：因?yàn)?a－b)⊥a，所以(a－b)a＝a2－ab＝0，所以ab＝2，所以cos〈a，b〉＝＝＝，所以〈a，b〉＝.因?yàn)閨a＋b|2＝a2＋2ab＋b2＝2＋22＋4＝10，所以|a＋b|＝. 答案：　 13．設(shè)非零向量a，b的夾角為θ，記f(a，b)＝acos θ－bsin θ，若e1，e2均為單位向量，且e1e2＝，則向量f(e1，e2)的模為________，向量f(e1，e2)與f(e2，－e1)的夾角為________． 解析：∵e1e2＝，且e1，e2均為單位向量，∴向量e1與e2的夾角為30， ∴f(e1，e2)＝e1cos 30－e2sin 30＝e1－e2， ∴|f(e1，e2)|＝ ＝ ＝. ∵向量e1與e2的夾角為30，∴向量e2與－e1的夾角為150， ∴f(e2，－e1)＝e2cos 150＋e1sin 150＝e1－e2， ∴f(e1，e2)f(e2，－e1)＝＝e－e1e2＋e＝0， 故向量f(e1，e2)與f(e2，－e1)的夾角為. 答案：　 14．已知向量與的夾角為120 ，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，則實(shí)數(shù)λ的值為________． 解析：＝－，由于⊥，所以＝0，即(λ＋)(－)＝－λ2＋2＋(λ－1)＝－9λ＋4＋(λ－1)32＝0，解得λ＝. 答案： 15.如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，AD＝DC＝1，P是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，Q是線段DC上一動(dòng)點(diǎn)，＝λ，＝(1－λ)，則的取值范圍是________． 解析：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則D(0,1)，C(1,1)．設(shè)Q(m，n)，由＝λ得，(m，n－1)＝λ(1,0)，即m＝λ，n＝1.又B(2,0)，設(shè)P(s，t)，由＝(1－λ)得，(s－1，t－1)＝(1－λ)(1，－1)，即s＝2－λ，t＝λ，所以＝λ(2－λ)＋λ＝－λ2＋3λ，λ∈[0,1]．故∈[0,2]． 答案：[0,2] 三、解答題(本大題共5小題，共74分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 16．(本小題滿分14分)平面內(nèi)有向量＝(1,7)，＝(5,1)，＝(2,1)，點(diǎn)M為直線OP上的一動(dòng)點(diǎn)． (1)當(dāng)取最小值時(shí)，求的坐標(biāo)； (2)在(1)的條件下，求cos∠AMB的值． 解：(1)設(shè)＝(x，y)，∵點(diǎn)M在直線OP上， ∴向量與共線，又＝(2,1)． ∴x1－y2＝0，即x＝2y. ∴＝(2y，y)．又＝－，＝(1,7)， ∴＝(1－2y,7－y)． 同理＝－＝(5－2y,1－y)． 于是＝(1－2y)(5－2y)＋(7－y)(1－y)＝5y2－20y＋12. 可知當(dāng)y＝＝2時(shí)，有最小值－8，此時(shí)＝(4,2)． (2)當(dāng)＝(4,2)，即y＝2時(shí)， 有＝(－3,5)，＝(1，－1)， ||＝，||＝， ＝(－3)1＋5(－1)＝－8. cos∠AMB＝＝＝－. 17．(本小題滿分15分)已知O，A，B是平面上不共線的三點(diǎn)，直線AB上有一點(diǎn)C，滿足2＋＝0， (1)用，表示. (2)若點(diǎn)D是OB的中點(diǎn)，證明四邊形OCAD是梯形． 解：(1)因?yàn)? ＋＝0， 所以2(－)＋(－)＝0， 2－2＋－＝0， 所以＝2－. (2)證明：如圖， ＝＋＝－＋ ＝(2－)． 故＝.即DA∥OC，且DA≠OC，故四邊形OCAD為梯形． 18．(本小題滿分15分) 如圖，平行四邊形ABCD中，＝a，＝b，H，M分別是AD，DC的中點(diǎn)，F(xiàn)使BF＝BC. (1)以a，b為基底表示向量與； (2)若|a|＝3，|b|＝4，a與b的夾角為120，求. 解：(1)連接AF，由已知得＝＋DM―→＝a＋b. ∵＝＋＝a＋b， ∴＝HA―→＋＝－b＋＝a－b. (2)由已知得ab＝|a||b|cos 120＝34 ＝－6， 從而 ＝ ＝|a|2＋ab－|b|2 ＝32＋(－6)－42＝－. 19．(本小題滿分15分)在△ABC中，＝0，||＝12，||＝15，l為線段BC的垂直平分線，l與BC交于點(diǎn)D，E為l上異于D的任意一點(diǎn)． (1)求的值； (2)判斷的值是否為一個(gè)常數(shù)，并說明理由． 解：(1)∵＝0，∴AB⊥AC. 又||＝12，||＝15，∴||＝9. 由已知可得＝(＋)，＝－， ∴＝(＋)(－) ＝(－) ＝(144－81)＝. (2)的值為一個(gè)常數(shù)． 理由：∵l為線段BC的垂直平分線，l與BC交于點(diǎn)D，E為l上異于D的任意一點(diǎn)，∴＝0. 故＝(＋)＝＋＝＝. 20．(本小題滿分15分)在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知向量a＝(－1,2)，且點(diǎn)A(8,0)，B(n，t)，C(ksin θ，t)，θ∈. (1)若⊥a，且||＝||，求向量； (2)若向量與向量a共線，當(dāng)k>4，且tsin θ取最大值4時(shí)，求. 解：(1)因?yàn)椋?n－8，t)，且⊥a， 所以8－n＋2t＝0，即n＝8＋2t. 又||＝||， 所以564＝(n－8)2＋t2＝5t2，解得t＝8. 所以＝(24,8)或(－8，－8)． (2)因?yàn)椋?ksin θ－8，t)，與a共線， 所以t＝－2ksin θ＋16. 又tsin θ＝(－2ksin θ＋16)sin θ ＝－2k2＋， 當(dāng)k>4時(shí)，1>>0， 所以當(dāng)sin θ＝時(shí)，tsin θ取得最大值； 由＝4，得k＝8，此時(shí)θ＝，故＝(4,8)， 所以＝84＋80＝32.