(浙江專版)2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 階段質(zhì)量檢測(二)平面向量 新人教A版必修4.doc
階段質(zhì)量檢測(二) 平面向量
(時(shí)間120分鐘 滿分150分)
一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1.已知平面向量a=(2,-1),b=(1,3),那么|a+b|等于( )
A.5 B.
C. D.13
解析:選B 因?yàn)閍+b=(3,2),所以|a+b|==,故選B.
2.已知向量m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)⊥(m-n),則λ=( )
A.-4 B.-3
C.-2 D.-1
解析:選B 因?yàn)閙+n=(2λ+3,3),m-n=(-1,-1),由(m+n)⊥(m-n),可得(m+n)(m-n)=(2λ+3,3)(-1,-1)=-2λ-6=0,解得λ=-3.
3.設(shè)點(diǎn)A(-1,2),B(2,3),C(3,-1),且=2-3,則點(diǎn)D的坐標(biāo)為( )
A.(2,16) B.(-2,-16)
C.(4,16) D.(2,0)
解析:選A 設(shè)D(x,y),由題意可知=(x+1,y-2),=(3,1),=
(1,-4),
∴2-3=2(3,1)-3(1,-4)=(3,14).
∴∴故選A.
4.某人在靜水中游泳,速度為4 km/h,水流的速度為4 km/h.他沿著垂直于對岸的方向前進(jìn),那么他實(shí)際前進(jìn)的方向與河岸的夾角為( )
A.90 B.30
C.45 D.60
解析: 選D 如圖,用表示水速,表示某人垂直游向?qū)Π兜乃俣龋瑒t實(shí)際前進(jìn)方向與河岸的夾角為∠AOC.
于是tan∠AOC====,
∴∠AOC=60,故選D.
5.設(shè)D、E、F分別是△ABC的三邊BC、CA、AB上的點(diǎn),且=2,=2,=2,則++與 ( )
A.反向平行
B.同向平行
C.互相垂直
D.既不平行也不垂直
解析:選A ∵++=(+)+(+)+(+)
=++
=+++=-,
∴(++)與平行且方向相反.
6.設(shè)a,b是兩個(gè)非零向量( )
A.若|a+b|=|a|-|b|,則a⊥b
B.若a⊥b,則a+b=|a|-|b|
C.若|a+b|=|a|-|b|,則存在實(shí)數(shù)λ,使得b=λa
D.若存在實(shí)數(shù)λ,使得b=λa,則|a+b|=|a|-|b|
解析:選C 若|a+b|=|a|-|b|,則a,b共線,即存在實(shí)數(shù)λ,使得a=λb,故C正確;選項(xiàng)A:當(dāng)|a+b|=|a|-|b|時(shí),a,b可為異向的共線向量;選項(xiàng)B:若a⊥b,由矩形得|a+b|=|a|-|b|不成立;選項(xiàng)D:若存在實(shí)數(shù)λ,使得b=λa,a,b可為同向的共線向量,此時(shí)顯然 |a+b|=|a|-|b|不成立.
7.已知平面上直線l與e所在直線平行且e=,點(diǎn)O(0,0)和A(1,-2)在l上的射影分別是O′和A′,則=λe,其中λ等于( )
A. B.-
C.2 D.-2
解析:選D 由題意可知||=||cos(π-θ)(θ為與e的夾角).
∵O(0,0),A(1,-2),∴=(1,-2).
∵e=,∴e=1+(-2)=-2=|||e|cos θ,∴||cos θ=-2.
又∵||=|λ||e|,∴λ=2.
又由已知可得λ<0,∴λ=-2,故選D.
8.在△ABC中,有下列四個(gè)命題:
①-=;
②++=0;
③若(+)(-)=0,則△ABC為等腰三角形;
④若>0,則△ABC為銳角三角形.
其中正確的命題有( )
A.①② B.①④
C.②③ D.②③④
解析:選C ∵-==-≠,∴①錯(cuò)誤.++=+=-=0,∴②正確.由(+)(-)=-=0,得||=||,∴△ABC為等腰三角形,③正確.>0?cos〈,〉>0,即cos A>0,∴A為銳角,但不能確定B,C的大小,∴不能判定△ABC是否為銳角三角形,∴④錯(cuò)誤,故選C.
二、填空題(本大題共7小題,多空題每題6分,單空題每題4分,共36分.請把正確答案填在題中橫線上)
9.已知向量a,b的夾角為120,|a|=1,|b|=3,則|5a-b|=________.
解析:|5a-b|==
=
=
=7.
答案:7
10.在△ABC中,點(diǎn)M,N滿足=2,=.若=x+y,則x=________,y=________.
解析:∵=2,∴=.
∵=,∴=(+),
∴=-=(+)-
=-.
又=x+y,
∴x=,y=-.
答案: -
11.已知向量a,b是互相垂直的單位向量,且ca=cb=-1,則|c|=________,|a-2b+3c|=________.
解析:不妨設(shè)a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y),則ca=x=-1,cb=y(tǒng)=-1,所以c=(-1,-1),|c|=.所以a-2b+3c=(-2,-5),所以|a-2b+3c|==.
答案:
12.若向量a與b滿足|a|=,|b|=2,(a-b)⊥a.則向量a與b的夾角等于________,|a+b|=________.
解析:因?yàn)?a-b)⊥a,所以(a-b)a=a2-ab=0,所以ab=2,所以cos〈a,b〉===,所以〈a,b〉=.因?yàn)閨a+b|2=a2+2ab+b2=2+22+4=10,所以|a+b|=.
答案:
13.設(shè)非零向量a,b的夾角為θ,記f(a,b)=acos θ-bsin θ,若e1,e2均為單位向量,且e1e2=,則向量f(e1,e2)的模為________,向量f(e1,e2)與f(e2,-e1)的夾角為________.
解析:∵e1e2=,且e1,e2均為單位向量,∴向量e1與e2的夾角為30,
∴f(e1,e2)=e1cos 30-e2sin 30=e1-e2,
∴|f(e1,e2)|=
= =.
∵向量e1與e2的夾角為30,∴向量e2與-e1的夾角為150,
∴f(e2,-e1)=e2cos 150+e1sin 150=e1-e2,
∴f(e1,e2)f(e2,-e1)==e-e1e2+e=0,
故向量f(e1,e2)與f(e2,-e1)的夾角為.
答案:
14.已知向量與的夾角為120 ,且||=3,||=2.若=λ+,且⊥,則實(shí)數(shù)λ的值為________.
解析:=-,由于⊥,所以=0,即(λ+)(-)=-λ2+2+(λ-1)=-9λ+4+(λ-1)32=0,解得λ=.
答案:
15.如圖,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2,AD=DC=1,P是線段BC上一動(dòng)點(diǎn),Q是線段DC上一動(dòng)點(diǎn),=λ,=(1-λ),則的取值范圍是________.
解析:建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則D(0,1),C(1,1).設(shè)Q(m,n),由=λ得,(m,n-1)=λ(1,0),即m=λ,n=1.又B(2,0),設(shè)P(s,t),由=(1-λ)得,(s-1,t-1)=(1-λ)(1,-1),即s=2-λ,t=λ,所以=λ(2-λ)+λ=-λ2+3λ,λ∈[0,1].故∈[0,2].
答案:[0,2]
三、解答題(本大題共5小題,共74分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
16.(本小題滿分14分)平面內(nèi)有向量=(1,7),=(5,1),=(2,1),點(diǎn)M為直線OP上的一動(dòng)點(diǎn).
(1)當(dāng)取最小值時(shí),求的坐標(biāo);
(2)在(1)的條件下,求cos∠AMB的值.
解:(1)設(shè)=(x,y),∵點(diǎn)M在直線OP上,
∴向量與共線,又=(2,1).
∴x1-y2=0,即x=2y.
∴=(2y,y).又=-,=(1,7),
∴=(1-2y,7-y).
同理=-=(5-2y,1-y).
于是=(1-2y)(5-2y)+(7-y)(1-y)=5y2-20y+12.
可知當(dāng)y==2時(shí),有最小值-8,此時(shí)=(4,2).
(2)當(dāng)=(4,2),即y=2時(shí),
有=(-3,5),=(1,-1),
||=,||=,
=(-3)1+5(-1)=-8.
cos∠AMB===-.
17.(本小題滿分15分)已知O,A,B是平面上不共線的三點(diǎn),直線AB上有一點(diǎn)C,滿足2+=0,
(1)用,表示.
(2)若點(diǎn)D是OB的中點(diǎn),證明四邊形OCAD是梯形.
解:(1)因?yàn)? +=0,
所以2(-)+(-)=0,
2-2+-=0,
所以=2-.
(2)證明:如圖,
=+=-+
=(2-).
故=.即DA∥OC,且DA≠OC,故四邊形OCAD為梯形.
18.(本小題滿分15分)
如圖,平行四邊形ABCD中,=a,=b,H,M分別是AD,DC的中點(diǎn),F(xiàn)使BF=BC.
(1)以a,b為基底表示向量與;
(2)若|a|=3,|b|=4,a與b的夾角為120,求.
解:(1)連接AF,由已知得=+DM―→=a+b.
∵=+=a+b,
∴=HA―→+=-b+=a-b.
(2)由已知得ab=|a||b|cos 120=34
=-6,
從而
=
=|a|2+ab-|b|2
=32+(-6)-42=-.
19.(本小題滿分15分)在△ABC中,=0,||=12,||=15,l為線段BC的垂直平分線,l與BC交于點(diǎn)D,E為l上異于D的任意一點(diǎn).
(1)求的值;
(2)判斷的值是否為一個(gè)常數(shù),并說明理由.
解:(1)∵=0,∴AB⊥AC.
又||=12,||=15,∴||=9.
由已知可得=(+),=-,
∴=(+)(-)
=(-)
=(144-81)=.
(2)的值為一個(gè)常數(shù).
理由:∵l為線段BC的垂直平分線,l與BC交于點(diǎn)D,E為l上異于D的任意一點(diǎn),∴=0.
故=(+)=+==.
20.(本小題滿分15分)在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),已知向量a=(-1,2),且點(diǎn)A(8,0),B(n,t),C(ksin θ,t),θ∈.
(1)若⊥a,且||=||,求向量;
(2)若向量與向量a共線,當(dāng)k>4,且tsin θ取最大值4時(shí),求.
解:(1)因?yàn)椋?n-8,t),且⊥a,
所以8-n+2t=0,即n=8+2t.
又||=||,
所以564=(n-8)2+t2=5t2,解得t=8.
所以=(24,8)或(-8,-8).
(2)因?yàn)椋?ksin θ-8,t),與a共線,
所以t=-2ksin θ+16.
又tsin θ=(-2ksin θ+16)sin θ
=-2k2+,
當(dāng)k>4時(shí),1>>0,
所以當(dāng)sin θ=時(shí),tsin θ取得最大值;
由=4,得k=8,此時(shí)θ=,故=(4,8),
所以=84+80=32.