回扣驗(yàn)收特訓(xùn)（三） 不等式 1．若＜＜0，則下列不等式不正確的是(　　) A．a(chǎn)＋b＜ab　　　　　　 　B.＋＞0 C．a(chǎn)b＜b2 D．a(chǎn)2＞b2 解析：選D　由＜＜0，可得b＜a＜0，故選D. 2．已知不等式x2－2x－3＜0的解集為A，不等式x2＋x－6＜0的解集為B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集是A∩B，那么a＋b等于(　　) A．－3 B．1 C．－1 D．3 解析：選A　由題意：A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}．A∩B＝{x|－1＜x＜2}，由根與系數(shù)的關(guān)系可知： a＝－1，b＝－2，∴a＋b＝－3. 3．函數(shù)y＝(x＞1)的最小值是(　　) A．2＋2 B．2－2 C．2 D．2 解析：選A　∵x＞1， ∴x－1＞0. ∴y＝＝ ＝ ＝ ＝x－1＋＋2 ≥2＋2（當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝，即x＝＋1時(shí)等號(hào)成立）． 4．不等式|x－2|－|x－1|＞0的解集為(　　) A. B. C. D. 解析：選A　不等式|x－2|－|x－1|＞0即|x－2|＞|x－1|，平方化簡(jiǎn)可得 2x＜3，解得x＜，故選A. 5．已知圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面區(qū)域Ω：若圓心C∈Ω，且圓C與x軸相切，則a2＋b2的最大值為(　　) A．5 B．29 C．37 D．49 解析：選C　由已知得平面區(qū)域Ω為△MNP內(nèi)部及邊界．∵圓C與x軸相切，∴b＝1.顯然當(dāng)圓心C位于直線y＝1與x＋y－7＝0的交點(diǎn)(6,1)處時(shí)，amax＝6.∴a2＋b2的最大值為62＋12＝37.故選C. 6．設(shè)正實(shí)數(shù)x，y，z滿足x2－3xy＋4y2－z＝0，則當(dāng)取得最大值時(shí)，＋－的最大值為(　　) A．0 B．1 C. D．3 解析：選B　由x2－3xy＋4y2－z＝0，得z＝x2－3xy＋4y2， ∴＝＝. 又x，y，z為正實(shí)數(shù)，∴＋≥4，即≤1， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y時(shí)取等號(hào)，此時(shí)z＝2y2. ∴＋－＝＋－ ＝－2＋＝－2＋1， 當(dāng)＝1，即y＝1時(shí)，上式有最大值1. 7．若x，y滿足約束條件則的最大值為_(kāi)_______． 解析：畫(huà)出可行域如圖陰影部分所示， ∵表示過(guò)點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0,0)的直線的斜率， ∴點(diǎn)(x，y)在點(diǎn)A處時(shí)最大． 由得 ∴A(1,3)． ∴的最大值為3. 答案：3 8．設(shè)正數(shù)a，使a2＋a－2>0成立，若t>0，則logat________loga(填“>”“≥”“≤”或“<”)． 解析：因?yàn)閍2＋a－2>0，所以a<－2或a>1， 又a>0，所以a>1， 因?yàn)閠>0，所以≥ ， 所以loga≥loga＝logat. 答案：≤ 9．若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件已知點(diǎn)(x，y)所表示的平面區(qū)域?yàn)槿切危瑒t實(shí)數(shù)k的取值范圍為_(kāi)_______，又z＝x＋2y有最大值8，則實(shí)數(shù)k＝________. 解析：作出一元二次不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示．要想點(diǎn)(x，y)所表示的平面區(qū)域?yàn)槿切?，則B(2,2)必須在直線2x－y＝k的右下方，即22－2>k，則k<2，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為(－∞，2)． 觀察圖象可知，當(dāng)直線z＝x＋2y過(guò)點(diǎn)A時(shí)，z有最大值，聯(lián)立解得即A，代入z＝x＋2y中，即＋2＝8，解得k＝－4. 答案：(－∞，2)?。? 10．已知函數(shù)f(x)＝|x－2|. (1)解不等式：f(x＋1)＋f(x＋2)＜4； (2)已知a＞2，求證：對(duì)任意x∈R，f(ax)＋af(x)＞2恒成立． 解：(1)f(x＋1)＋f(x＋2)＜4，即|x－1|＋|x|＜4， ①當(dāng)x≤0時(shí)，不等式為1－x－x＜4，即x＞－， ∴－＜x≤0是不等式的解； ②當(dāng)0＜x≤1時(shí)，不等式為1－x＋x＜4，即1＜4恒成立，∴0＜x≤1是不等式的解； ③當(dāng)x＞1時(shí)，不等式為x－1＋x＜4，即x＜， ∴1＜x＜是不等式的解． 綜上所述，不等式的解集為.　 (2)證明：∵a＞2， ∴f(ax)＋af(x)＝|ax－2|＋a|x－2| ＝|ax－2|＋|ax－2a|＝|ax－2|＋|2a－ax|≥|ax－2＋2a－ax|＝|2a－2|＞2， ∴對(duì)任意x∈R，f(ax)＋af(x)＞2恒成立． 11．某外商到一開(kāi)發(fā)區(qū)投資72萬(wàn)美元建起一座蔬菜加工廠，第一年各種經(jīng)費(fèi)12萬(wàn)美元，以后每年增加4萬(wàn)美元，每年銷售蔬菜收入50萬(wàn)美元．設(shè)f(n)表示前n年的純利潤(rùn)總和． (注：f(n)＝前n年的總收入－前n年的總支出－投資額) (1)從第幾年開(kāi)始獲利？ (2)若干年后，外商為開(kāi)發(fā)新項(xiàng)目，有兩種處理方案： ①年平均利潤(rùn)最大時(shí)以48萬(wàn)美元出售該廠； ②純利潤(rùn)總和最大時(shí)，以16萬(wàn)美元出售該廠； 問(wèn)哪種方案最合算？為什么？ 解：由題意知，每年的經(jīng)費(fèi)是以12為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，∴f(n)＝－2n2＋40n－72. (1)獲利就是要求f(n)>0，所以－2n2＋40n－72>0，解得2<n<18.由n∈N知從第三年開(kāi)始獲利． (2)①年平均利潤(rùn)＝＝40－2≤16. 當(dāng)且僅當(dāng)n＝6時(shí)取等號(hào)． 故此方案共獲利616＋48＝144(萬(wàn)美元)，此時(shí)n＝6. ②f(n)＝－2(n－10)2＋128. 當(dāng)n＝10時(shí)，f(n)max＝128. 故第②種方案共獲利128＋16＝144(萬(wàn)美元)， 故比較兩種方案，獲利都是144萬(wàn)美元． 但第①種方案只需6年，而第②種方案需10年，故選擇第①種方案最合算． 12．已知α，β是方程x2＋ax＋2b＝0的兩根，且α∈[0,1]，β∈[1,2]，a，b∈R，求的最大值和最小值． 解：設(shè)f(x)＝x2＋ax＋2b， 由題意f(x)在[0,1]和[1,2]上各有一個(gè)零點(diǎn)， ∴即 建立平面直角坐標(biāo)系aOb，則上述不等式組表示的平面區(qū)域如圖． 由 解得即C(－3,1)． 令k＝，可以看成動(dòng)點(diǎn)P(a，b)與定點(diǎn)A(1,3)的連線的斜率． 又B(－1,0)，C(－3,1)，則kAB＝，kAC＝， ∴≤≤. 故的最大值是，最小值是.