（浙江專版）2018年高中數(shù)學(xué) 階段質(zhì)量檢測（一）解三角形 新人教A版必修5.doc
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階段質(zhì)量檢測（一） 解三角形 (時(shí)間120分鐘 滿分150分) 一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．在△ABC中，a＝k，b＝k(k＞0)，A＝45，則滿足條件的三角形有( ) A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．無數(shù)個(gè) 解析：選A 由正弦定理得＝， ∴sin B＝＝＞1，即sin B ＞1，這是不成立的．所以沒有滿足此條件的三角形． 2．在△ABC中，A＝，BC＝3，AB＝，則C＝( ) A.或 B. C. D. 解析：選C 由＝，得sin C＝. ∵BC＝3，AB＝，∴A>C，則C為銳角，故C＝. 3．在△ABC中，a＝15，b＝20，A＝30，則cos B＝( ) A． B. C．－ D. 解析：選A 因?yàn)椋?，所以＝，解得sin B＝.因?yàn)閎>a，所以B>A，故B有兩解，所以cos B＝. 4．在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，則sin A∶sin B∶sin C等于( ) A．6∶5∶4 B．7∶5∶3 C．3∶5∶7 D．4∶5∶6 解析：選B ∵(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6， ∴＝＝.令＝＝＝k(k>0)， 則解得 ∴sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝7∶5∶3. 5．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且sin2＝，則△ABC的形狀為( ) A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 解析：選B 由已知可得＝－， 即cos A＝，b＝ccos A. 法一：由余弦定理得cos A＝， 則b＝c， 所以c2＝a2＋b2，由此知△ABC為直角三角形． 法二：由正弦定理，得 sin B＝sin Ccos A．在△ABC中，sin B＝sin(A＋C)， 從而有sin Acos C＋cos Asin C＝sin Ccos A， 即sin Acos C＝0.在△ABC中，sin A≠0， 所以cos C＝0.由此得C＝，故△ABC為直角三角形． 6．已知圓的半徑為4，a，b，c為該圓的內(nèi)接三角形的三邊，若abc＝16，則三角形的面積為( ) A．2 B．8 C. D. 解析：選C ∵＝＝＝2R＝8， ∴sin C＝，∴S△ABC＝absin C＝＝＝. 7．在△ABC中，三邊長分別為a－2，a，a＋2，最大角的正弦值為，則這個(gè)三角形的面積為( ) A. B. C. D. 解析：選B ∵三邊不等，∴最大角大于60.設(shè)最大角為α，故α所對的邊長為a＋2，∵sin α＝，∴α＝120.由余弦定理得(a＋2)2＝(a－2)2＋a2＋a(a－2)，即a2＝5a，故a＝5，故三邊長為3,5,7，S△ABC＝35sin 120＝. 8.如圖，在△ABC中，D是邊AC上的點(diǎn)，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，則sin C的值為( ) A. B. C. D. 解析：選D 設(shè)BD＝a，則BC＝2a，AB＝AD＝a. 在△ABD中，由余弦定理，得 cos A＝＝＝. 又∵A為△ABC的內(nèi)角，∴sin A＝. 在△ABC中，由正弦定理得，＝. ∴sin C＝sin A＝＝. 二、填空題(本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分．把答案填在題中橫線上) 9．在△ABC中，已知＝＝，則這個(gè)三角形的形狀是________． 解析：由正弦定理＝＝得＝＝，∴tan A＝tan B＝tan C，∴A＝B＝C，三角形ABC為等邊三角形． 答案：等邊三角形 10．在△ABC中，B＝30，C＝120，則A＝________，a∶b∶c＝________. 解析：A＝180－B－C＝30，由正弦定理得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C， 即a∶b∶c＝sin 30∶sin 30∶sin 120＝1∶1∶. 答案：30 1∶1∶ 11．已知△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對邊長分別為a，b，c，若A＝，b＝2acos B，c＝1，則B＝________，△ABC的面積等于________． 解析：由正弦定理得sin B＝2sin Acos B， 故tan B＝2sin A＝2sin＝，又B∈(0，π)，所以B＝， 又A＝B＝，則△ABC是正三角形， 所以S△ABC＝bcsin A＝11＝. 答案： 12．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若b＝2a，B＝A＋60，則A＝________，三角形的形狀為________． 解析：∵b＝2a，由正弦定理，得sin B＝2sin A，又B＝A＋60，∴sin(A＋60)＝2sin A，即sin A＋cos A＝2sin A，∴tan A＝.又0＜A＜180，∴A＝30，B＝90. 答案：30 直角三角形 13．已知三角形ABC中，BC邊上的高與BC邊長相等，則＋＋的最大值是________． 解析：由題意得， bcsin A＝a2?bcsin A＝a2，因此＋＋＝＋＋＝＝＝2cos A＋2sin A＝2sin≤2，從而所求最大值是2. 答案：2 14．在△ABC中，已知cos A＝，cos B＝，b＝3，則sin C＝________，c＝________. 解析：在△ABC中，∵cos A＝>0， ∴sin A＝. ∵cos B＝>0，∴sin B＝. ∴sin C＝sin [π－(A＋B)]＝sin(A＋B) ＝sin Acos B＋cos Asin B＝＋＝. 由正弦定理知＝， ∴c＝＝＝. 答案： 15．太湖中有一小島，沿太湖有一條正南方向的公路，一輛汽車測得小島在公路的南偏西15的方向上，汽車行駛1 km后，又測得小島在南偏西75的方向上，則小島到公路的距離是________km. 解析：如圖，∠CAB＝15， ∠CBA＝180－75＝105， ∠ACB＝180－105－15＝60， AB＝1(km)． 由正弦定理得＝， ∴BC＝sin 15＝(km)． 設(shè)C到直線AB的距離為d， 則d＝BCsin 75＝＝(km)． 答案： 三、解答題(本大題共5小題，共74分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟) 16．(14分)在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝2A. (1)求cos A的值； (2)求c的值． 解：(1)因?yàn)閍＝3，b＝2，B＝2A，所以在△ABC中，由正弦定理得＝. 所以＝.故cos A＝. (2)由(1)知cos A＝， 所以sin A＝＝. 又因?yàn)锽＝2A， 所以cos B＝2cos2A－1＝. 所以sin B＝＝. 在△ABC中，sin C＝sin(A＋B) ＝sin Acos B＋cos Asin B＝. 所以c＝＝5. 17.(15分)如圖，觀測站C在目標(biāo)A的南偏西20方向，經(jīng)過A處有一條南偏東40走向的公路，在C處觀測到與C相距31 km的B處有一人正沿此公路向A處行走，走20 km到達(dá)D處，此時(shí)測得C，D相距21 km，求D，A之間的距離． 解：由已知，得CD＝21 km，BC＝31 km，BD＝20 km， 在△BCD中，由余弦定理，得cos∠BDC＝＝－. 設(shè)∠ADC＝α，則cos α＝，sin α＝， 在△ACD中，由正弦定理得，＝， 得＝， 所以AD＝sin(60＋α)＝ ＝15(km)， 即所求D，A之間的距離為15 km. 18.(15分)如圖，某海輪以60海里/小時(shí)的速度航行，在A點(diǎn)測得海面上油井P在南偏東60，向北航行40分鐘后到達(dá)B點(diǎn)，測得油井P在南偏東30，海輪改為北偏東60的航向再行駛80分鐘到達(dá)C點(diǎn)，求P，C間的距離． 解：由題意知AB＝40，∠A＝120，∠ABP＝30， 所以∠APB＝30，所以AP＝40， 所以BP2＝AB2＋AP2－2APABcos 120 ＝402＋402－24040＝4023， 所以BP＝40. 又∠PBC＝90，BC＝60＝80， 所以PC2＝BP2＋BC2＝(40)2＋802＝11 200， 所以PC＝40海里． 19．(15分)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足sin(2A＋B)＝2sin A＋2cos(A＋B)sin A. (1)求的值； (2)若△ABC的面積為，且a＝1，求c的值． 解：(1)∵sin(2A＋B)＝2sin A＋2cos(A＋B)sin A， ∴sin[A＋(A＋B)]＝2sin A＋2cos(A＋B)sin A， ∴sin(A＋B)cos A－cos(A＋B)sin A＝2sin A， ∴sin B＝2sin A， 由正弦定理得b＝2a，∴＝. (2)∵a＝1，∴b＝2，S△ABC＝absin C＝12sin C＝， 所以sin C＝，cos C＝， 當(dāng)cos C＝時(shí)，∴cos C＝＝＝，∴c＝. 當(dāng)cos C＝－時(shí)，∴cos C＝＝＝－，∴c＝. 故c＝或c＝. 20．(15分)在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對的邊，且滿足sin A＋cos A＝2. (1)求角A的大??； (2)現(xiàn)給出三個(gè)條件：①a＝2；②B＝；③c＝b.試從中選出兩個(gè)可以確定△ABC的條件，寫出你的方案并以此為依據(jù)求△ABC的面積．(寫出一種方案即可) 解：(1)依題意得2sin＝2，即sin＝1， ∵0下載提示(請認(rèn)真閱讀)
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