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階段質(zhì)量檢測（四） 專題一~四“綜合檢測”
(時間：120分鐘 滿分：150分)
一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．橢圓＋＝1的焦距是( )
A．2 B．4
C．2 D．20
解析：選A 由橢圓的方程＋＝1，知a2＝8，b2＝6，故c＝＝，所以焦距2c＝2.故選A.
2．已知角α為第三象限角，且tan α＝，則sin α＋cos α＝( )
A．－ B．－
C． D．
解析：選A 由題可得因為α是第三象限角，所以故sin α＋cos α＝－.選A.
3．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是( )
A. B．6
C. D．4
解析：選A 由三視圖可知，該幾何體的直觀圖如圖所示，所以該幾何體的體積V＝23－221＝.故選A.
4．已知{an}是公差為d的等差數(shù)列，則“a1a8
0”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
解析：選B 因為a1a8－a4a5＝a1(a1＋7d)－(a1＋3d)(a1＋4d)＝－12d2≤0，所以a1a80”的必要不充分條件．所以選B.
5．已知雙曲線mx2＋ny2＝1(mn<0)的離心率為，此雙曲線上的點(x0，y0)滿足y>4x，則該雙曲線的一條漸近線方程為( )
A．y＝2x B．y＝x
C．y＝x D．y＝x
解析：選A 因為雙曲線上的點(x0，y0)滿足y>4x，所以焦點在y軸上．設雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)，則e＝＝，得＝，所以漸近線方程為y＝2x.
6．已知O為坐標原點，點A，B在雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)上，且關于坐標原點O對稱．若雙曲線C上與點A，B橫坐標不相同的任意一點P滿足kPAkPB＝3，則雙曲線C的離心率為( )
A．2 B．4
C. D．10
解析：選A 設A(x1，y1)，P(x0，y0)(|x0|≠|(zhì)x1|)，則B(－x1，－y1)，則kPAkPB＝＝.因為點P，A在雙曲線C上，所以b2x－a2y＝a2b2，b2x－a2y＝a2b2，兩式相減可得＝，故＝3，于是b2＝3a2.又因為c2＝a2＋b2，所以雙曲線C的離心率e＝ ＝2.故選A.
7．已知AD與BC是三棱錐ABCD中相互垂直的棱，若AD＝BC＝6，且∠ABD＝
∠ACD＝60，則三棱錐ABCD的體積的最大值是( )
A．36 B．36
C．18 D．18
解析：選D 如圖，過C作CF⊥AD，垂足為F，連接BF，
∵BC⊥AD，CF⊥AD，BC∩CF＝C，BC?平面BCF，CF?平面BCF，
∴AD⊥平面BCF，
∴V三棱錐ABCD
＝V三棱錐ABCF＋V三棱錐DBCF
＝S△BCFAF＋S△BCFFD
＝S△BCF(AF＋FD)＝S△BCFAD.
∵AD＝BC＝6，∴V三棱錐ABCD＝2S△BCF，
∴當△BCF的面積最大時，V三棱錐ABCD取得最大值，
易知當△BCF為等腰三角形時，S△BCF取得最大值，即V三棱錐ABCD取得最大值．
取BC的中點E，連接EF，當△BCF為等腰三角形時，EF⊥BC，
∴2S△BCF＝2BCEF＝6EF，
又∵EF＝＝，
∴當CF最長時，V三棱錐ABCD最大，
∵∠ACD＝60，AD＝6，AD⊥CF，
∴當AC＝CD時，CF取得最大值，
此時CF＝3，∴EF＝3，∴6EF＝18.
∴三棱錐ABCD體積的最大值為18.故選D.
8．已知F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，過F2且垂直于x軸的直線與橢圓交于A，B兩點，若△ABF1是銳角三角形，則該橢圓離心率e的取值范圍是( )
A．(－1，＋∞) B．(0，－1)
C．(－1,1) D．(－1，＋1)
解析：選C 由題意可知，A，B的橫坐標均為c，且A，B都在橢圓上，所以＋＝1，
從而可得y＝，不妨令A，B.
由△ABF1是銳角三角形知∠AF1F2<45，
所以tan ∠AF1F2<1，
所以tan∠AF1F2＝＝<1，故<1，即e2＋2e－1>0，解得e>－1或e<－－1，又因為橢圓中，00，
∴2cos C＝1，cos C＝，∴C＝.
∴sin A＋sin B＝sin A＋sin(A＋C)＝sin A＋sin A＋cos A＝sin，
∵C＝，∴00)和動直線l：y＝kx＋b(k，b是參變量，且k≠0，b≠0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，平面直角坐標系的原點為O，記直線OA，OB的斜率分別為kOA，kOB，且kOAkOB＝恒成立，則當k變化時，直線l經(jīng)過的定點為________．
解析：聯(lián)立消去y，得k2x2＋(2kb－2p)x＋b2＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
∵kOAkOB＝，∴y1y2＝x1x2，
又∵y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)＝k2x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2＝，
∴＝，解得b＝，
∴y＝kx＋＝k.
令x＝－，得y＝0，
∴直線l過定點.
答案：
15．向量a與b的夾角為90，|a|＝|b|＝1，若|c－a|＋|c－2b|＝，則|c＋2a|的最大值為________，最小值為________．
解析：因為|c－a|＋|c－2b|＝，且 ＝，a⊥b，所以向量c的終點在a和2b的終點的連線上(如圖)，故|c＋2a|的取值范圍為|SK―→|的長度變化．當SK⊥FG時，長度最短，連接SG，由SFOG＝FGSK，得SK＝＝.又SF＝3，SG＝2，所以當a＝c時，SK最長，為3.
答案：3
16．已知F為拋物線y2＝x的焦點，點A，B在該拋物線上，且位于x軸的兩側(cè)，＝2(其中O為坐標原點)，則△AFO與△BFO面積之和的最小值是________．
解析：法一：設直線lAB：x＝my＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
聯(lián)立?y2－my－t＝0，
∴y1＋y2＝m，y1y2＝－t，
∵點A，B位于x軸兩側(cè)，
∴y1y2＝－t<0，∴t>0.
又＝x1x2＋y1y2＝(y1y2)2＋y1y2＝t2－t＝2，
解得t＝2或t＝－1(舍去)．
∴S△AFO＋S△BFO＝|OF||y1－y2|＝|y1－y2|＝≥，
∴△AFO與△BFO面積之和的最小值為.
法二：設A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∵＝x1x2＋y1y2＝(y1y2)2＋y1y2＝2，
∴y1y2＝－2或y1y2＝1(舍去)．
∴S△AFO＋S△BFO＝|y1－y2|＝＝ ≥＝.
答案：
17．已知雙曲線C1：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，拋物線C2：y2＝2px(p>0)的焦點與雙曲線C1的一個焦點重合，C1與C2在第一象限相交于點P，且|F1F2|＝|PF1|，則雙曲線C1的離心率為________．
解析：由題意可知，F(xiàn)1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)．設點P(x0，y0)，過點P作拋物線C2：y2＝2px(p>0)準線的垂線，垂足為A，連接PF2.根據(jù)雙曲線的定義和|F1F2|＝|PF1|＝2c，可知|PF2|＝2c－2a.由拋物線的定義可知|PF2|＝|PA|＝x0＋c＝2c－2a，則x0＝c－2a.由題意可知＝c，又點P在拋物線C2上，所以y＝2px0＝4c(c－2a)，在Rt△F1AP中，|F1A|2＝|PF1|2－|PA|2＝(2c)2－(2c－2a)2＝8ac－4a2, 即y＝8ac－4a2，所以8ac－4a2＝4c(c－2a)，化簡可得c2－4ac＋a2＝0，即e2－4e＋1＝0，又e>1，所以e＝2＋.
答案：2＋
三、解答題(本大題共5小題，共74分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
18．(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)＝2cos2－cos＋m(ω>0)的最小正周期為π.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)當x∈時，函數(shù)f(x)的最大值為2，求f的值．
解：(1)f(x)＝2cos2－cos＋m
＝1＋cos－cos 2ωxcos－sin 2ωxsin＋m
＝1＋sin 2ωx－cos 2ωx－sin 2ωx＋m
＝sin 2ωx－cos 2ωx＋m＋1
＝sin＋m＋1.
∵函數(shù)f(x)的最小正周期為π，
∴T＝＝π，∴ω＝1，
∴f(x)＝sin＋m＋1.
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z.
(2)由(1)知，f(x)在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，
∴f(x)max＝f＝1＋m＋1＝2，
解得m＝0.
∴f(x)＝sin＋1，
∴f＝sin＋1
＝sincos－cossin＋1
＝.
19．(本小題滿分15分)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右頂點分別為A，B，且長軸長為8，T為橢圓上任意一點，直線TA，TB的斜率之積為－.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設O為坐標原點，過點M(0,2)的動直線與橢圓C交于P，Q兩點，求＋的取值范圍．
解：(1)設T(x，y)，由題意知A(－4,0)，B(4，0)，
設直線TA的斜率為k1，直線TB的斜率為k2，則k1＝，k2＝.
由k1k2＝－，得＝－，
整理得＋＝1.
故橢圓C的方程為＋＝1.
(2)當直線PQ的斜率存在時，設直線PQ的方程為y＝kx＋2，點P，Q的坐標分別為
(x1，y1)，(x2，y2)，直線PQ與橢圓方程聯(lián)立，
得消去y，得(4k2＋3)x2＋16kx－32＝0.
所以x1＋x2＝－，x1x2＝－.
從而，＋＝x1x2＋y1y2＋[x1x2＋(y1－2)(y2－2)]＝2(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝＝－20＋.
所以－20<＋≤－.
當直線PQ的斜率不存在時，＋的值為－20.
綜上，＋的取值范圍為.
20．(本小題滿分15分)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝4，a2＝7，且當n≥3時，Sn＋Sn－2＝2Sn－1＋3，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，b1＋b2＝8(b4＋b5)，a5b4＝1.
(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式；
(2)證明：數(shù)列{anbn}的前n項和Tn<7.
解：(1)由已知可得當n≥3時，Sn－Sn－1＝(Sn－1－Sn－2)＋3，
即an＝an－1＋3，
又a2＝a1＋3，
所以數(shù)列{an}是以a1＝4為首項，3為公差的等差數(shù)列，
所以an＝4＋3(n－1)＝3n＋1.
設等比數(shù)列{bn}的公比為q，
則由已知可得＝，
即q3＝，解得q＝.
又a5＝35＋1＝16，
所以b4＝＝，
故bn＝b4qn－4＝n－4＝.
(2)證明：由(1)知anbn＝.
所以Tn＝a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋an－1bn－1＋anbn＝＋＋＋…＋＋， ①
Tn＝＋＋＋…＋＋， ②
①－②得
Tn＝＋＋＋…＋＋－
＝2＋－
＝2＋－
＝－，
所以Tn＝7－.
因為>0，所以Tn<7.
21．(本小題滿分15分)已知動圓C過定點F2(1,0)，并且內(nèi)切于定圓F1：(x＋1)2＋y2＝16.
(1)求動圓圓心C的軌跡方程；
(2)若y2＝4x上存在兩個點M，N，(1)中曲線上有兩個點P，Q，并且M，N，F(xiàn)2三點共線，P，Q，F(xiàn)2三點共線，PQ⊥MN，求四邊形PMQN的面積的最小值．
解：(1)設動圓的半徑為r，則|CF2|＝r，|CF1|＝4－r，∴|CF1|＋|CF2|＝4>|F1F2|，
由橢圓的定義知動圓圓心C的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點的橢圓，a＝2，c＝1，
∴b＝，故動圓圓心C的軌跡方程是＋＝1.
(2)當直線MN的斜率不存在時，直線PQ的斜率為0，易得|MN|＝4，|PQ|＝4，四邊形PMQN的面積S＝8.
當直線MN的斜率存在時，設其方程為y＝k(x－1)(k≠0)，聯(lián)立消去y，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則
∴|MN|＝＝＋4.
∵PQ⊥MN，∴直線PQ的方程為y＝－(x－1)，
聯(lián)立消去y，
得(3k2＋4)x2－8x＋4－12k2＝0.
設P(x3，y3)，Q(x4，y4)，則
∴|PQ|＝ ＝.
∴四邊形PMQN的面積S＝|MN||PQ|＝＝24.
令k2＋1＝t，t>1，上式S＝24＝24，
令2t＋1＝z(z>3)，
則S＝8＝8＝8.
∵z＋>(z>3)，∴3－10>0，∴S>8.
綜上可得，S≥8，即四邊形PMQN的面積的最小值為8.
22．(本小題滿分15分)已知橢圓＋＝1(a>b>0)與拋物線y2＝2px(p>0)的公共焦點為F2，拋物線上的點M到y(tǒng)軸的距離等于|MF2|－1，且橢圓與拋物線的交點Q滿足|QF2|＝.
(1)求拋物線的方程和橢圓的方程；
(2)過拋物線上的點P作拋物線的切線y＝kx＋m，交橢圓于A，B兩點，求此切線在x軸上的截距的取值范圍．
解：(1)∵拋物線上的點M到y(tǒng)軸的距離等于|MF2|－1，
∴點M到直線x＝－1的距離等于點M到焦點F2的距離，
∴直線x＝－1是拋物線y2＝2px的準線，即－＝－1，解得p＝2，
∴拋物線的方程為y2＝4x.
可知橢圓的右焦點F2(1,0)，
設橢圓的左焦點為F1，則F1(－1,0)，
由拋物線的定義及|QF2|＝，得xQ＋1＝，
∴xQ＝，
又∵y＝4xQ，∴Q，
由橢圓的定義得2a＝|QF1|＋|QF2|＝＋＝6，
∴a＝3，又∵c＝1，∴b2＝a2－c2＝8，
∴橢圓的方程為＋＝1.
(2)顯然k≠0，m≠0，
由消去x，得ky2－4y＋4m＝0，
由題意知Δ1＝16－16km＝0，得km＝1，
∵k≠0，m≠0，∴k＝.
由消去y，得(9k2＋8)x2＋18kmx＋9m2－72＝0，
由題意知Δ2＝(18km)2－4(9k2＋8)(9m2－72)>0，
即9k2－m2＋8>0，
又∵k＝，∴m4－8m2－9<0，∴0
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