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課時跟蹤檢測（十四） 小題考法——圓錐曲線的方程與性質
A組——10＋7提速練
一、選擇題
1．(2018浙江高考)雙曲線－y2＝1的焦點坐標是( )
A．(－，0)，(，0) B．(－2,0)，(2,0)
C．(0，－)，(0，) D．(0，－2)，(0,2)
解析：選B ∵雙曲線方程為－y2＝1，
∴a2＝3，b2＝1，且雙曲線的焦點在x軸上，
∴c＝＝＝2，
即得該雙曲線的焦點坐標為(－2,0)，(2,0)．
2．雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率e＝，則它的漸近線方程為( )
A．y＝x B．y＝x
C．y＝x D．y＝x
解析：選A 由雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率e＝，可得＝，∴＋1＝，可得＝，故雙曲線的漸近線方程為y＝x.
3．(2017全國卷Ⅲ)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切，則C的離心率為( )
A. B.
C. D.
解析：選A 以線段A1A2為直徑的圓的方程為x2＋y2＝a2，由圓心到直線bx－ay＋2ab＝0的距離d＝＝a，得a2＝3b2，所以C的離心率e＝ ＝.
4．(2018溫州適應性測試)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率e∈(1,2]，則其經過第一、三象限的漸近線的傾斜角的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
解析：選C 因為雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率e∈(1,2]，所以1<≤2，所以1<≤4，又c2＝a2＋b2，所以0<≤3，所以≥，所以≥.
因為－＝1(a>0，b>0)經過第一、三象限的漸近線的方程為y＝x，設其傾斜角為α，則tan α＝≥，又α∈，所以α∈，故選C.
5．(2017全國卷Ⅱ)過拋物線C：y2＝4x的焦點F，且斜率為的直線交C于點M(M在x軸的上方)，l為C的準線，點N在l上且MN⊥l，則M到直線NF的距離為( )
A. B．2
C．2 D．3
解析：選C 由題意，得F(1,0)，
則直線FM的方程是y＝(x－1)．
由得x＝或x＝3.
由M在x軸的上方，得M(3,2)，
由MN⊥l，得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4.
又∠NMF等于直線FM的傾斜角，即∠NMF＝60，
因此△MNF是邊長為4的等邊三角形，
所以點M到直線NF的距離為4＝2.
6．已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，若橢圓C上存在點P使∠F1PF2為鈍角，則橢圓C的離心率的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
解析：選A 法一：設P(x0，y0)，由題意知|x0|
x＋y，即c2>(x＋y)min，又y＝b2－x，0≤xb2，又b2＝a2－c2，所以e2＝>，解得e>，又0，又00，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點M與雙曲線C的焦點不重合，點M關于F1，F(xiàn)2的對稱點分別為A，B，線段MN的中點在雙曲線的右支上，若|AN|－|BN|＝12，則a＝( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：選A 如圖，設MN的中點為P.
∵F1為MA的中點，F(xiàn)2為MB的中點，∴|AN|＝2|PF1|，|BN|＝2|PF2|，又|AN|－|BN|＝12，∴|PF1|－|PF2|＝6＝2a，∴a＝3.故選A.
9．設AB是橢圓的長軸，點C在橢圓上，且∠CBA＝，若AB＝4，BC＝，則橢圓的兩個焦點之間的距離為( )
A. B.
C. D.
解析：選A 不妨設橢圓的標準方程為＋＝1(a>b>0)，如圖，由題意知，2a＝4，a＝2，∵∠CBA＝，BC＝，∴點C的坐標為(－1,1)，∵點C在橢圓上，∴＋＝1，∴b2＝，
∴c2＝a2－b2＝4－＝，c＝，則橢圓的兩個焦點之間的距離為2c＝.
10．過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，與雙曲線的漸近線交于C，D兩點，若|AB|≥|CD|，則雙曲線離心率e的取值范圍為( )
A. B.
C. D.
解析：選B 將x＝c代入－＝1得y＝，不妨取A，B，所以|AB|＝.
將x＝c代入雙曲線的漸近線方程y＝x，得y＝，不妨取C，D，所以|CD|＝.
因為|AB|≥|CD|，所以≥，即b≥c，則b2≥c2，即c2－a2≥c2，即c2≥a2，所以e2≥，所以e≥，故選B.
二、填空題
11．過拋物線y＝x2的焦點F作一條傾斜角為30的直線交拋物線于A，B兩點，則|AB|＝________.
解析：依題意，設點A(x1，y1)，B(x2，y2)，題中的拋物線x2＝4y的焦點坐標是F(0,1)，直線AB的方程為y＝x＋1，即x＝(y－1)．由消去x得3(y－1)2＝4y，即3y2－10y＋3＝0，Δ＝(－10)2－433>0，y1＋y2＝，則|AB|＝|AF|＋|BF|＝(y1＋1)＋(y2＋1)＝y(tǒng)1＋y2＋2＝.
答案：
12．(2018浙江高考猜題卷)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率e＝，若直線l：y＝k(x－2 018)與雙曲線C的右支有且僅有一個交點，則a－b＝_______；k的取值范圍是________．
解析：因為雙曲線的離心率e＝，所以＝，從而可得a＝b，即a－b＝0，故雙曲線的漸近線方程為xy＝0，其斜率為1，易知直線l必過定點(2 018,0)，且直線l：y＝k(x－2 018)與雙曲線C的右支有且僅有一個交點，所以由數(shù)形結合可知－1≤k≤1，即k的取值范圍是[－1,1]．
答案：0 [－1,1]
13．已知橢圓C：＋y2＝1的兩焦點為F1，F(xiàn)2，點P(x0，y0)滿足0<＋y<1，則|PF1|＋|PF2|的取值范圍是________．
解析：由點P(x0，y0)滿足0<＋y<1，可知P(x0，y0)一定在橢圓內(不包括原點)，因為a＝，b＝1，所以由橢圓的定義可知|PF1|＋|PF2|<2a＝2，又|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|＝2，故|PF1|＋|PF2|的取值范圍是[2,2)．
答案：[2,2)
14．已知點A(4,4)在拋物線y2＝2px(p>0)上，F(xiàn)為拋物線的焦點，過A作該拋物線準線的垂線，垂足為E，則p＝________，∠EAF的角平分線所在的直線方程為________．
解析：把A(4,4)代入拋物線方程，得p＝2.由拋物線的性質得|AE|＝|AF|，連接EF，則△EAF為等腰三角形．設EF的中點為B，則直線AB為∠EAF的角平分線所在的直線．由F(1,0)，E(－1,4)，得B(0,2)，則kAB＝＝，則直線AB的方程為y＝x＋2，故∠EAF的角平分線所在的直線方程為x－2y＋4＝0.
答案：2 x－2y＋4＝0
15．已知橢圓的方程為＋＝1，過橢圓中心的直線交橢圓于A，B兩點，F(xiàn)2是橢圓的右焦點，則△ABF2的周長的最小值為________，△ABF2的面積的最大值為________．
解析：設F1是橢圓的左焦點．如圖，連接AF1.由橢圓的對稱性，結合橢圓的定義知|AF2|＋|BF2|＝2a＝6，所以要使△ABF2的周長最小，必有|AB|＝2b＝4，所以△ABF2的周長的最小值為10.S△ABF2＝S△AF1F2＝2c|yA|＝|yA|≤2，所以△ABF2面積的最大值為2.
答案：10 2
16．已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，△ABC的頂點都在拋物線上，且滿足＋＋＝0，則＋＋＝________.
解析：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，F(xiàn)，由＋＝－，得＋＝－，y1＋y2＋y3＝0.因為kAB＝＝，kAC＝＝，kBC＝＝，所以＋＋＝＋＋＝＝0.
答案：0
17．如圖，已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2－＝1(b＞0)的左、右焦點，過點F1的直線與圓x2＋y2＝1相切于點T，與雙曲線的左、右兩支分別交于A，B，若|F2B|＝|AB|，則b的值是________．
解析：法一：因為|F2B|＝|AB|，所以結合雙曲線的定義，得|AF1|＝|BF1|－|AB|＝|BF1|－|BF2|＝2，連接OT，在Rt△OTF1中，|OT|＝1，|OF1|＝c，|TF1|＝b，所以cos∠F2F1A＝，sin∠F2F1A＝，所以A，將點A的坐標代入雙曲線得－＝1，化簡得b6－4b5＋5b4－4b3－4＝0，得(b2－2b－2)(b4－2b3＋3b2－2b＋2)＝0，而b4－2b3＋3b2－2b＋2＝b2(b－1)2＋b2＋1＋(b－1)2＞0，故b2－2b－2＝0，解得b＝1(負值舍去)，即b＝1＋.
法二：因為|F2B|＝|AB|，所以結合雙曲線的定義，得|AF1|＝|BF1|－|AB|＝|BF1|－|BF2|＝2，連接AF2，則|AF2|＝2＋|AF1|＝4.連接OT，在Rt△OTF1中，|OT|＝1，|OF1|＝c，|TF1|＝b，所以cos∠F2F1A＝.在△AF1F2中，由余弦定理得，cos∠F2F1A＝＝，所以c2－3＝2b，又在雙曲線中，c2＝1＋b2，所以b2－2b－2＝0，解得b＝1(負值舍去)，即b＝1＋.
答案：1＋
B組——能力小題保分練
1．雙曲線－＝1(a，b>0)的離心率為，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線右支上一點，∠F1PF2的角平分線為l，點F1關于l的對稱點為Q，|F2Q|＝2，則雙曲線的方程為( )
A．－y2＝1 B．x2－＝1
C．x2－＝1 D．－y2＝1
解析：選B ∵∠F1PF2的角平分線為l，點F1關于l的對稱點為Q，∴|PF1|＝|PQ|，P，F(xiàn)2，Q三點共線，而|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PQ|－|PF2|＝2a，即|F2Q|＝2＝2a，解得a＝1.又e＝＝，∴c＝，∴b2＝c2－a2＝2，∴雙曲線的方程為x2－＝1.故選B.
2．(2018浙江高考原創(chuàng)卷)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦點F1關于直線y＝－c的對稱點Q在橢圓上，則橢圓的離心率是( )
A.－1 B.
C．2－ D.
解析：選C ∵左焦點F1關于直線y＝－c的對稱點為Q，∴|F1Q|＝2c.
設橢圓的右焦點為F2，則|F1F2|＝2c.
由橢圓定義知，|F2Q|＝2a－|F1Q|＝2a－2c.
在Rt△F1QF2中，|F1F2|2＋|F1Q|2＝|F2Q|2，
即(2c)2＋(2c)2＝(2a－2c)2，
∴c2＋2ac－a2＝0，故e2＋2e－1＝0，
∴e＝2－(負值舍去)．故選C.
3.過橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左頂點A且斜率為k的直線交橢圓C于另一點B，且點B在x軸上的射影恰好為右焦點F.若
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