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新版?zhèn)鋺?zhàn)高考黃金100題解讀與擴展系列之不等式:專題六 基本不等式的應用 Word版含解析

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1、 1

2、 1 I.題源探究·黃金母題 【例1】已知直角三角形的面積等于50,兩條直角邊各為多少時,兩條直角邊的和最小,最小值是多少? 【解析】設兩條直角邊為,,根據(jù)基本不等式 ,即,當且僅當 時,等號成立,即最小值是. 精彩解讀 【試題來源】人教版A版必修5 第100頁,練習2. 【母題評析】本題考查應用基本不等式求最值.作為基礎題,是歷年來高考的??键c. 【思路方法

3、】和定積有最大值,積定和有最小值. II.考場精彩·真題回放 【例2】【20xx高考湖南,文7】若實數(shù)滿足 ,則的最小值為 ( ) A. B.2 C.2 D.4 【答案】C. 【解析】 (當且僅當 時取等號),的最小值為,故選C. 【命題意圖】本題主要考查基本不等式的應用.本題能較好的考查考生分析問題解決問題的能力、轉化與化歸能力等. 【考試方向】這類試題在考查題型上,通常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn),難度中等. 【難點中心】解答此類問題,關鍵在于靈活運用基本不等式首先和與積互化. 【例3】【2

4、0xx高考福建文5】若直線過點,則的最小值等于 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【解析】由已知得,則 . ,故, 當,即時取等號. 【命題意圖】本題考查直線方程以及運用均值不等式求解析幾何中的最值問題. 【考試方向】這類試題在考查題型上,通常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn),難度較大,往往是高中數(shù)學主要知識的交匯題. 【難點中心】活用“1”,“以常馭變”運用均值不等式求解有關的最值問題. III.理論基礎·解題原理 不等式稱為基本不等式,常見的與這個不等式有關的其它不等式有:

5、 . 等. IV.題型攻略·深度挖掘 【考試方向】 這類試題在考查題型上,通常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn),一般難度中等或偏難. 【技能方法】 (1)基本不等式具有將“和式”與“積式”互化的放縮功能,創(chuàng)造運用基本不等式的條件,合理拆添項或配湊因式是解題的關鍵,滿足取等條件是前提.“和定積最大,積定和最小”“一正二定三相等”是常用的口訣. (2)必須掌握的三個不等式:①,,則(當且僅當時取等號);②,,則(當且僅當時取等號);③,,則(當且僅當時取等號). 【易錯指導】 (1)注意不等式成立的條件是,若,應先轉化為,再運用基本不等式求解. (2)“當且僅當時等號成立”的含義是“

6、”是等號成立的充要條件,這一點至關重要,忽略它往往會導致解題錯誤. (3)有些題目要多次運用基本不等式才能求出最后結果,針對這種情況,要切記等號成立的條件. V.舉一反三·觸類旁通 考向1 利用基本不等式求函數(shù)最大值、最小值 【例3】【20xx全國大聯(lián)考1山東卷】已知不等式對一切恒成立,則實數(shù)的取值范圍是 ( ) A. B. C. D. 【答案】A. 【名師點睛】(1)利用基本不等式求函數(shù)最大(小)值:“和定

7、積最大,積定和最小”; (2)應用基本不等式求函數(shù)最值時“一正、二定、三相等”三個條件缺一不可. 【跟蹤訓練】【20xx海南中學考前模擬】設均為正數(shù),且,則的最小值為( ) A.16 B.15 C.10 D.9 【答案】D 考向2 均值不等式應用題 【例4】【吉林省長春外國語學校高三上學期期末數(shù)學(理)試題】某公司生產(chǎn)一批A產(chǎn)品需要原材料500噸,每噸原材料可創(chuàng)造利潤12萬元.該公司通過設備升級,生產(chǎn)這批A產(chǎn)品所需原材料減少了x噸,且每噸原材料創(chuàng)造的利潤提高0.5x%

8、;若將少用的x噸原材料全部用于生產(chǎn)公司新開發(fā)的B產(chǎn)品,每噸原材料創(chuàng)造的利潤為12(a﹣x)萬元(a>0). (Ⅰ)若設備升級后生產(chǎn)這批A產(chǎn)品的利潤不低于原來生產(chǎn)該批A產(chǎn)品的利潤,求x的取值范圍. (Ⅱ)若生產(chǎn)這批B產(chǎn)品的利潤始終不高于設備升級后生產(chǎn)這批A產(chǎn)品的利潤,求a的最大值. 【考點】基本不等式在最值問題中的應用;函數(shù)的零點. 【專題】應用題;轉化思想;綜合法;函數(shù)的性質及應用;不等式. 【分析】(Ⅰ)由題意,12(500﹣x)(1+0.5x%)≥12×500,即可求x的取值范圍. (Ⅱ)利用生產(chǎn)這批B產(chǎn)品的利潤始終不高于設備升級后生產(chǎn)這批A產(chǎn)品的利潤,建立不等式,即可求a的最

9、大值. ∴a≤++.∵+≥2=4,當且僅當=,即x=250時等號成立,∴0<a≤5.5,∴a的最大值是5.5. 【名師點睛】本題考查利用數(shù)學知識解決實際問題,考查學生解不等式的能力,屬于中檔題. 選擇適當?shù)暮瘮?shù)模型,列車函數(shù)解析式,利用基本不等式求函數(shù)最值. 【跟蹤訓練】為了降低能源損耗,某體育館的外墻需要建造隔熱層.體育館要建造可使用20年的隔熱層,每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元.該建筑物每年的能源消耗費用C(單位:萬元)與隔熱層厚度(單位:cm)滿足關系:(,為常數(shù)),若不建隔熱層,每年能源消耗費用為8萬元.設為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和. (1)求的值及的表達式; (2)隔熱層修建多厚時,總費用達到最?。坎⑶笞钚≈担? 【答案】(1),;(2)隔熱層修建5 cm厚時,總費用達到最小,最小值為70萬元. 【解析】 (1)當時,,,,. (2),設,. 當且僅當,即時,等號成立.這時,因此的最小值為70. 即隔熱層修建5 cm厚時,總費用達到最小,最小值為70萬元.

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