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功能關系 功和能的概念是物理學中重要的概念。能的轉化和守恒定律是自然界最重要、最普遍、最基本的客觀規(guī)律，運用功和能量的轉化關系解題是解決物理學習題的一條重要途徑和方法．因此，功能問題是歷年高考的重中之重．考查的特點是：涉及知識面廣、靈活性大、綜合性強、對能力要求高．掌握好這部分下車對真正實現(xiàn)知識、方法、能力的三維發(fā)展作用重大． 一、功和動能定理 功是能量轉化的量度．外力對物體做正功，將使物體的動能增加，是其他形式的能轉化為物體的動能的過程；物體克眼外力做功，物體的動能將減少，是動能轉化為其他形式的能的過程．這就是動能定理所揭示的本質。應用動能定理解題時，關鍵是分析物體在運動過程中受到哪些力的作用，每個力是否做功，是做正功還是負功，并求出功的代數(shù)和．另外就是明確做功過程始末兩個狀態(tài)的動能． 動能定理既適用于直線運動，也適用于曲線運動；既適用于恒力做功，也適用于變力做功：且力做功時可以是連續(xù)的，也可以是不連續(xù)的；可以在一條直線上，也可以不在一條直線上．另外，動能定理既適用于力學中物體的機械運動，也適用于電磁學中電場力做功、電流做功、安培力做功等問題．因此，動能定理的應用具有很大的普遍性和優(yōu)越性． 二、功和能量守恒 能量守恒定律是自然界普遍遵循的規(guī)律．系統(tǒng)只有重力(或彈簧彈力)做功時，系統(tǒng)內部動能和勢能相互轉化，機械能守恒；系統(tǒng)克服摩擦力做功時；損失的機械能轉化為等量的內能．做功和熱傳遞，都可以改變物體的內能；電流力作功使電能轉化；電場力做功，使電荷的電勢能改變：電磁感應現(xiàn)象中，安阿片力作功，使電能發(fā)生改變等．應用能的轉化和守恒定律解題，由于不考慮中間復雜的變化過程，往往顯示出很大的優(yōu)越性，因此也是高考物理中的熱點問題． 需要注意的是：功是一種過程量，它和一段位移（一段時間）相對應；而能是一種狀態(tài)量，它個一個時刻相對應。兩者的單位是相同的（都是J），但不能說功就是能，也不能說“功變成了能”。在研究功和能的關系時，尤其要突出：“功是能量轉化的量度”這一基本概念。 ⑴物體動能的增量由外力做的總功來量度：W外=ΔEk，這就是動能定理。 ⑵物體重力勢能的增量由重力做的功來量度：WG= -ΔEP，這就是勢能定理。 ⑶物體機械能的增量由重力以外的其他力做的功來量度：W其它=ΔE機，（W其它表示除重力以外的其它力做的功），這就是機械能定理。 ⑷當W其它=0時，說明只有重力做功，所以系統(tǒng)的機械能守恒。 ⑸一對互為作用力反作用力的摩擦力做的總功，用來量度該過程系統(tǒng)由于摩擦而減小的機械能，也就是系統(tǒng)增加的內能。f ?d=Q（d為這兩個物體間相對移動的路程）。 經(jīng)典例題總質量為M的列車，沿水平直線軌道勻速前進，其末節(jié)車廂質量為m，中途脫節(jié)，司機發(fā)覺時，機車已行駛L的距離，于是立即關閉油門，除去牽引力。設運動的阻力與質量成正比，機車的牽引力是恒定的。當列車的兩部分都停止時，它們的距離是多少？ 分析與解答：對車頭，脫鉤后的全過程用動能定理得： 對車尾，脫鉤后用動能定理得： 而，由于原來列車是勻速前進的，所以F=kMg 由以上方程解得。 小錦囊 力對物體所做的功的多少，只決定于力、位移、力和位移間夾角的大小，而跟物體的運動狀態(tài)無關。在一定的條件下，物體做勻加速運動時力對物體所做的功，可以大于、等于或小于物體做勻速直線運動時該力的功。 變式1 用力將重物豎直提起，先是從靜止開始勻加速上升，緊接著勻速上升。如果前后兩過程的運動時間相同，不計空氣阻力，則（） A．加速過程中拉力做的功比勻速過程中拉力做的功大 B．勻速過程中拉力做的功比加速過程中拉力做的功大 C．兩過程中拉力做的功一樣大 D．上述三種情況都有可能 分析與解答：應先分別求出兩過程中拉力做的功，再進行比較。重物在豎直方向上僅受兩個力作用，重力mg、拉力F。 勻加速提升重物時，設拉力為F1，物體向上的加速度為a，根據(jù)牛頓第二定律得F1-mg=ma 拉力F1所做的功 勻速提升重物時，設拉力為F2，根據(jù)平衡條件得F2=mg 勻速運動的位移 所以勻速提升重物時拉力的功 比較可知：當a>g時，；當a=g時，；當afm 所以當F=12N時,A、B出現(xiàn)相對滑動, 　　 　　 ∴A、B相對運動距離是1m,即A相對B向后打滑1m, 給定車長為2m,所以2s時A仍在車上. F對車做功　WF=FSB=60J 摩擦力對A做功　Wf=fSA=8J 小車動能增加：△EK=(F-f)SB=50J 變式6 如圖所示，虛線上方有場強為E的勻強電場，方向豎直向下，虛線上下有磁感應強度相同的勻強磁場，方向垂直紙面向外，ab是一根長為L的絕緣細桿，沿電場線放置在虛線上方的場中，b端在虛線上將一套在桿上的帶正電的小球從a端由靜止釋放后，小球先做加速運動，后做勻速運動到達b端.已知小球與絕緣桿間的動摩擦因數(shù)μ=0.3，小球重力忽略不計，當小球脫離桿進入虛線下方后，運動軌跡是半圓，圓的半徑是L/3，求帶電小球從a到b運動過程中克服摩擦力所做的功與電場力所做功的比值. 分析與解答：小球在沿桿向下運動時，受力情況如圖所示： a b E B 在水平方向：N=qvB，所以摩擦力f=μN=μqvB 當小球做勻速運動時：qE=f=μqvbB 小球在磁場中做勻速圓周運動時， 又，所以 小球從a運動到b的過程中，由動能定理得： f qvB N qE 而 所以 則 經(jīng)典例題如圖所示，質量M＝4kg的木板長L＝1.4m，靜止在光滑水平面上，其上面右端靜止一質量m=1kg的小滑塊（可看作質點），滑塊與木板間的動摩擦因數(shù)μ＝0.4，先用一水平恒力F＝28N向右拉木板，要使滑塊從木板上恰好滑下來，力F至少應作用多長時間（g=10m/s2）？ 分析與解答：題中木板在恒力F的作用下由靜止開始向右加速運動，滑塊受摩擦力作用相對地面也向右滑動，因為am＝f/m=μg=4m/s2，aM=（F-f）/M=6m/s2。即木板的加速度大于滑塊的加速度。所以在力F作用時間內的任意時刻木板的速度必大于滑塊的速度，若力F作用停止后，當兩者的速度恰好能夠相等并且滑塊到達下滑的臨界狀態(tài)，這時滑塊相對于木板的位移為L，則力F作用在木板上的時間就是最短時間，設木板在力F作用期間的位移為sM，通過上述物理過程的分析可知，要使滑塊滑下來，其臨界條件是vM=vm=v，且滑塊的相對位移sM=L，明確這些條件后，求極值就不難了，對由M和m組成的系統(tǒng)有： 由動量定理得： 由功能關系得： 對木板有 解得s 變式1 將質量為2m的長木板靜止的放在光滑的水平面上，如圖7－4－3甲所示。以質量為m的小鉛塊（可視為質點）以水平初速度v0由木板左端恰能滑至木板的右端與木板相對靜止，鉛塊運動中所受的摩擦力始終不變。現(xiàn)在將木板分成長度與質量均相等的兩段（1、2）后緊挨著仍放在此水平面上，讓小鉛塊仍以相同的速度v0由木板的左端開始滑動，如圖4乙所示，則下列判斷正確的是（） A．小鉛塊仍滑到木板2的右端保持相對靜止 B．小鉛塊滑過木板2的右端后飛離木板 C．小鉛塊滑過木板2的右端前就與之保持相對靜止 D．乙過程產(chǎn)生的熱量少于甲過程產(chǎn)生的熱量 分析與解答：小鉛塊在木板上滑動時，由于水平面是光滑的，小鉛塊和木板組成的系統(tǒng)在水平方向上動量守恒，木板的質量越大，小鉛塊在木板上滑動的距離越長，若是木板的質量無窮大，則鉛塊最終的速度為零，其動能全部轉化為熱，沒有動能轉移到長木板上，這說明了長木板的質量越大，獲得的動能越?。毁|量越小，獲得的動能越大。在乙圖中小鉛塊在木板1上運動時的情況與甲圖中的情況完全相同，小鉛塊滑上木板2之后，由于木板2的質量變小，動能轉移到木板2上多于轉移到甲中的情況，那么小鉛塊與木板2相對靜止時的速度比甲中的大，系統(tǒng)損失的動能小于甲中損失的動能。而ΔE損＝Q＝fΔs相對，說明在乙中的相對位移比甲中的小，故小鉛塊會滑到木板2的右端前就與之保持相對靜止，乙過程產(chǎn)生的熱量少于甲過程產(chǎn)生的熱量。答案為CD 位置 A B C 速度(m/s) 2.0 12.0 0 時刻(s) 0 4 10 變式2 如圖所示，某人乘雪橇從雪坡經(jīng)A點滑至B點，接著沿水平路面滑至C點停止．人與雪橇的總質量為70kg．表中記錄了沿坡滑下過程中的有關數(shù)據(jù)，請根據(jù)圖表中的數(shù)據(jù)解決下列問題： (1)人與雪橇從A到B的過程中，損失的機械能為多少？ (2)設人與雪橇在BC段所受阻力恒定，求阻力大小(g ＝10m／s2) 分析與解答： (1)從A到B的過程中，人與雪橇損失的機械能為： ΔE=(701020+702．02－7012．02)J＝9100J (2)人與雪橇在Bc段做減速運動的加速度： 根據(jù)牛頓第二定律：f=ma=70(-2)N=-140N 變式3 如圖所示，電動機牽引一根原來靜止的，長為L=1m、質量m=o.1kg的導體MN，其電阻R=1Ω，導體棒架在處于磁感應強度B=1T，豎直放置的框架上，當導體棒上升h=3.8m時獲得穩(wěn)定的速度，導體產(chǎn)生的熱量為12J，電動機牽引棒時，電壓表、電流表的讀數(shù)分別為7V、1A，電動機內阻r=1Ω，不計框架電阻及一切摩擦，g取10m/s2，求： (1)棒能達到的溫度速度. (2)棒從靜止到達到穩(wěn)定速度所需要的時間. M N A V 分析與解答：(1)電動機的輸出功率：P出=IU-Ir2=6W 棒達到穩(wěn)定速度時F=mg+BIL=mg+ 而電動機的輸出功率P出=Fvm 由以上各式解得vm=2/s (2)從棒開始運動到達到穩(wěn)定速度的過程中，由能量守恒定律，有 解得完成此過程所需要的時間t=1s. 變式4 探究能力是物理學研究的重要能力之一。物體因繞軸轉動而具有的動能叫轉動動能，轉動動能的大小與物體轉動的角速度有關。為了研究某一砂輪的轉動動能EK與角速度ω的關系。某同學采用了下述實驗方法進行探索：先讓砂輪由動力帶動勻速旋轉測得其角速度ω，然后讓砂輪脫離動力，由于克服轉軸間摩擦力做功，砂輪最后停下，測出砂輪脫離動力到轉動的圈數(shù)n，通過分析實驗數(shù)據(jù)，得出結論。經(jīng)實驗測得的幾組ω和n如下表所示： ω（rad/s） 0.5 1 2 3 4 n 5.0 20 80 180 320 EK（J） 另外已測得砂輪轉軸的直徑為1（cm），轉軸間的摩擦力為10/π（N）。 （1）計算出砂輪每次脫離動力的轉動動能，并填入上表中。 （2）由上述數(shù)據(jù)推導出該砂輪的轉動動能EK與角速度ω的關系式 （3）若測得脫離動力后砂輪的角速度為2.5（rad/s），求它轉過45圈后的角速度。 分析與解答：（1） 代入=10/π（N）后得 n 5.0 20 80 180 320 0.5 2 8 18 32 （2）分析后得其中 （3）根據(jù)能量守恒　　 經(jīng)典例題如圖所示，物體以100J的初動能從斜面底端向上運動，當它通過斜面某點M時，其動能減少了80Ｊ，機械能損失了32Ｊ．若物體能從斜面上返回底端，則返回底端時的動能為 v0 M q A.20J B.48J C.60J D.68J 分析與解答：設物體的質量為m，斜面的傾角為θ，物體從底端 到M點沿斜面運動的位移為s1.對物體做功的力有兩個：重力沿斜面的分力mgsinθ和滑動摩擦力F，而且上升的過程中這兩個力都對物體做負功. 根據(jù)動能定理可知：動能的減少量等于克服這兩個力所做的功，即 由功能關系可知：機械能的減少量為 得： 設物體從斜面底端運動到最高點位移為s2，則上升過程中由動能定理得： 得：Fs2=40J，即上升過程中物體克服滑動摩擦力做了40J的功.因為上升和下降過程中物體都克服滑動摩擦力做功，且數(shù)值相等，所以往返一次克服滑動摩擦力所做的總功為80J.由功能關系可知，往返一次機械能的減少量等于克服滑動摩擦力所做的總功，所以物體返回斜面底端時機械能減少了80J，也就是說物體的動能減少了80J(因為物體的重力勢能沒有變化),因此物體返回斜面底端時的動能為20J,答案為 A 變式1如圖所示,mA=4kg,mB=1kg,A與桌面動摩擦因數(shù)μ=0.2,B與地面間的距離s=0.8m,A、B原來靜止，求：①B落到地面時的速度？ ②B落地后,A在桌面上能繼續(xù)滑行多遠才能靜止下來？（g取10m/s2） 分析與解答：B下落過程中,它減少的重力勢能轉化為A的動能和A克服摩擦力做功產(chǎn)生的熱能,B下落高度和同一時間內A在桌面上滑動的距離相等、B落地的速度和同一時刻A的速度大小相等 由以上分析,根據(jù)能量轉化和守恒有： 　　 　　∵vA=vB、sA=sB 　　 　　vB=0.8m/s B落地后,A以vA=0.8m/s初速度繼續(xù)向前運動, 克服摩擦力做功最后停下, 　　 　　 故B落地后,A在桌面上能繼續(xù)滑動0.16m_ 變式2 如圖所示，在傾角=草藥37的絕緣斜面所在空間存在著豎直向上的勻強電場，場強E = 4.0103N/C,在斜面底端有一與斜面垂直的絕緣彈性擋板。質量m = 0.20kg的帶電滑塊從斜面頂端由靜止開始滑下，滑到斜面底端與擋板相碰前的速率返回。已拓斜面的高度h = 0.24m,滑塊與斜面間的動摩擦因數(shù)= 0.30，滑塊帶電荷q = -5.010-4C.取重力加速度g = 10m/s2,sin37= 0.60，cos37=0.80。求： （1）滑塊從斜面最高點滑到斜面底端時的速度大小。 （2）滑塊被擋板彈回能夠沿斜面上升的最大高度。 （3）滑塊從開始運動到停下來的整全過程中產(chǎn)生的熱量Q（計算結果保留2位有效數(shù)字） 分析與解答：（1）滑塊沿斜面滑下的過程中，受到的滑動磨擦力 f =（mg + qE）cos37， 設到達斜面底端時的速度為v1，根據(jù)動能定理 解得 v1 = 2.4m/s 。 （2）滑塊第一次與檔板碰撞后沿斜面返回上升的高度最大，設此高度為h1，根據(jù)動能定理， 代入數(shù)據(jù)解得 h1 = 0.10m。 （3）滑塊最終將靜止在斜面底端。；因此重力勢能和電勢能的減少等于克服摩擦力做的功，即等于產(chǎn)生的熱能， Q = （mg + qE）h = 0.96J 變式3 如圖所示，光滑水平面上放有A、B、C三個物塊，其質量分別為mA=2kg，mB=mC=1kg，用一輕彈簧連接A、B兩物塊，現(xiàn)用力壓縮彈簧使三物塊靠近，此過程外力做功72J，然后釋放，求： （1）釋放后物塊B對物塊C一共做了多少功？ （2）彈簧第二次被壓縮時，彈簧具有的最大彈性勢能為多大？ 分析與解答：釋放后，在彈簧恢復原長的過程中B和C和一起向左運動，當彈簧恢復原長后B和C的分離，所以此過程B對C做功。選取A、B、C為一個系統(tǒng)，在彈簧恢復原長的過程中動量守恒（取向右為正向）： 系統(tǒng)能量守恒： ∴B對C做的功： 聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)得： B和C分離后，選取A、B為一個系統(tǒng)，當彈簧被壓縮至最短時，彈簧的彈性勢能最大，此時A、B具有共同速度v，取向右為正向 由動量守恒： 彈簧的最大彈性勢能： 聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)得：Ep=48J 經(jīng)典例題如圖所示，一塊質量為M、長為l的勻質板放在很長的光滑水平桌面上，板的左端有一質量為m的物快，物快上連接一根很長的細線，細線跨過位于桌面邊緣的定滑輪，某人以恒定的速度v向下拉繩，物快最多只能到達板的中點，而且此時板的右端尚未到達桌邊定滑輪.求： (1)物快與板的動摩擦因數(shù)及物快到達板的中點時板的位移； (2)若板與桌面間有摩擦，為使物快能到達板的右端，板與桌面間動摩擦因數(shù)的范圍； (3)若板與桌面間的動摩擦因數(shù)取(2)問中的最小值，在物快從板的左端運動到右端的過程中，人拉繩的力所做的功(其它阻力均不計). 分析與解答：(1)對板由動量定理得 由物快和板的位移關系有 M v m L 解得 (2)要使物快到達板的右端，當二者保持速度相等時 對板由動量定理得 解得 (3)繩對物快的拉力 物快和板的位移關系有 所以物快的位移 則繩的拉力對物快所做的功為 乙甲 F 變式1 如圖所示，兩根平行的金屬導軌，固定在同一水平面上，磁感應強度B=0.50T的勻強磁場與導軌所在平面垂直，導軌的電阻很小，可忽略不計。導軌間的距離l=0.20m。兩根質量均為m=0.10kg的平行金屬桿甲、乙可在導軌上無摩擦地滑動，滑動過程中與導軌保持垂直，每根金屬桿的電阻為R=0.50Ω。在t=0時刻，兩桿都處于靜止狀態(tài)?，F(xiàn)有一與導軌平行、大小為0.20N的恒力F作用于金屬桿甲上，使金屬桿在導軌上滑動。經(jīng)過t=5.0s，金屬桿甲的加速度為a=1.37m/s2，問此時兩金屬桿的速度各為多少？ 分析與解答：設任一時刻t兩金屬桿甲、乙之間的距離為x，速度分別為v1和v2,經(jīng)過很短的時間△t，桿甲移動距離v1△t，桿乙移動距離v2△t，回路面積改變 由法拉第電磁感應定律，回路中的感應電動勢 回路中的電流 桿甲的運動方程 由于作用于桿甲和桿乙的安培力總是大小相等，方向相反，所以兩桿的動量時為0）等于外力F的沖量 聯(lián)立以上各式解得 代入數(shù)據(jù)得 應用動能定理解題的一般思路是： (1)選取研究對象，分析并明確其運動過程． (2)分析變力及各力做功情況，弄清受哪些力?每個力是否做功?是做正功還是做負功?做多少功?求出功的代數(shù)和． (3)明確過程始末狀態(tài)的動能和 (4)列方程，必要時通過分析題目的潛在條件，列出補充方程進行求解．